例談恒成立問題中參數(shù)取值范圍的求解策略

袁小強(qiáng)

(江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校,225700)

求函數(shù)不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍一直是高考及各種?？贾谐Ｒ妴栴}，它覆蓋了各種數(shù)學(xué)思想方法的考查.筆者通過一道例題解法的歸納和梳理，總結(jié)出解決該類問題的常用幾種策略.不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

題目已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0]單調(diào)增,且對(duì)任意x∈(0,1],不等式f(aex+2x)+f(xlnx-x2)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解由f(aex+2x)+f(xlnx-x2)≥0,得f(aex+2x)≥-f(xlnx-x2),結(jié)合f(x)是奇函數(shù),得f(aex+2x)≥f(x2-xlnx).

由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在(-∞,0]單調(diào)增,得f(x)在R上單調(diào)增.故aex+2x≥x2-xlnx對(duì)任意x∈(0,1]恒成立.

策略1參變分離法

解法1參變分離法

評(píng)注參變分離法是處理函數(shù)不等式恒成立時(shí)求參數(shù)取值范圍的常見策略.其優(yōu)點(diǎn)是可將問題轉(zhuǎn)化為定函數(shù)的最值求解,缺點(diǎn)是函數(shù)最值的求解往往比較麻煩,有時(shí)需要運(yùn)用隱零點(diǎn)進(jìn)行代換,且使用時(shí)需注意參數(shù)a的系數(shù),有時(shí)需要對(duì)a的系數(shù)分類討論,解題思路雖然簡(jiǎn)單清晰,但運(yùn)算量較大.

策略2同構(gòu)法與函數(shù)分析法綜合

解法2函數(shù)最值法

解法3參變分離法

評(píng)注解法3在同構(gòu)的基礎(chǔ)上再分離參數(shù)，優(yōu)化運(yùn)算,簡(jiǎn)化了解題過程.

解法4切線法

由at≥lnt-2對(duì)任意t∈[e,+∞)恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-2與y=ax,其中t∈[e,+∞).

評(píng)注數(shù)形結(jié)合法也是研究恒成立問題的常見處理策略.切線策略需要把不等式轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)與一次函數(shù),研究切線這種臨界狀態(tài),利用數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)化復(fù)雜的運(yùn)算,可達(dá)到優(yōu)化解題的目的.

解法5放縮法

評(píng)注課本上有ex≥x+1, lnx≤x-1等常見結(jié)論,熟悉和運(yùn)用課本上習(xí)題的一些二級(jí)結(jié)論,對(duì)學(xué)生的能力有較高要求,在理解中運(yùn)用,如果放縮有度、有張有弛,同樣可以優(yōu)化解題.