例說一類雙變量最值問題的求解策略

劉 艷

(四川省名山中學(xué),625100)

例題呈現(xiàn)已知a∈R,b>0,若a,b滿足ea-1-2-ln 2b=0,則a-b的最大值為______.

策略1配湊消元

解題思路首先由已知雙變量的等式關(guān)系,將兩個(gè)變量分離得到ea-1=2+ln 2b,利用左邊配湊出含有所求式的代數(shù)式結(jié)構(gòu)ea-b=ea-1e1-b=(2+ln 2b)e1-b,由此達(dá)到消元的目的,構(gòu)造一元函數(shù)f(b)=(2+ln 2b)e1-b(b>0),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

解法1由條件分離變量,可得ea-1=2+ln 2b.于是ea-b=ea-1e1-b=(2+ln 2b)e1-b.

策略2換元法

解法2由ea-1-2-ln 2b=0,得ea-1=2+ln 2b.

策略3切線轉(zhuǎn)化法

解題思路考慮到在已知雙變量等式關(guān)系中,a與b的地位相同,故可以將a(或者b)看成自變量,另一個(gè)看成因變量.例如，本題可將b看成自變量,a看成因變量,則可將已知等式轉(zhuǎn)化為a=1+ln(2+ln 2b),于是點(diǎn)(b,a)在相應(yīng)曲線a=1+ln(2+ln 2b)上.再令所求式為z=a-b,則可視a=b+z是一條斜率為1的直線.將直線進(jìn)行平移,當(dāng)且僅當(dāng)直線與曲線相切時(shí)z取得最值,求出切點(diǎn)坐標(biāo),可得出最值.

解法3由條件ea-1-2-ln 2b=0,可得a=1+ln(2+ln 2b).

策略4拉格朗日乘數(shù)法

解題思路利用拉格朗日乘數(shù)法,直接構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(a,b,λ)=a-b+λ(ea-1-2-ln 2b),其中a,b,λ都是變量.然后分別對(duì)a,b,λ求導(dǎo)(其他量均為常量),并令求導(dǎo)后的式子為0,解方程組,得到對(duì)應(yīng)的a,b,λ,可求出最值.

解法4構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(a,b,λ)=a-b+λ(ea-1-2-ln 2b),對(duì)L求偏導(dǎo)數(shù)并令其都為0,可得

綜上可見,針對(duì)這類雙變量最值問題,我們可以利用配湊消元法或換元法將雙變量轉(zhuǎn)化為一元變量最值問題;如果所求式為線性結(jié)構(gòu),也可以選擇切線轉(zhuǎn)化法,借助線性規(guī)劃的方法求得最值;而拉格朗日乘數(shù)法來源于高等數(shù)學(xué),理論上是解決多元變量的通法,雖超出高中數(shù)學(xué)范圍,但可供解題時(shí)參考.