2011年北大題

單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，210023)

我喜歡做大軸題，即最后一題.(有人稱之為壓軸題，其實不通.壓軸題倒數(shù)第二，在倒數(shù)第一前，最后一題是大軸.沒有軸，何來壓軸？)

試題(2021年北大第5題)已知圓x2+y2=1上有三個點，坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，且

x1+x2+x3=0，

①

y1+y2+y3=0.

②

③

證明先考慮一個簡單的情況：點(x1,y1)在x軸的正方向上，即x1=1,y1=0.

設(shè)x2=cosα,y2=sinα,-π≤α<π；x3=cosβ,y3=sinβ，其中-π≤β<π.則有sinα+sinβ=0.

再考慮一般情況，設(shè)i為虛數(shù)單位，zj=xj+iyj,j=1,2,3.

則由已知①，②兩式，得

z1+z2+z3=0.

④

令zj′=eiθzj(1≤j≤3),并且z1′=1.即將zj旋轉(zhuǎn)同一個角θ，使得z1′成為x1′=1,y1′=0的點.由④式可得

z1′+z2′+z3′=0.

所以x1′+x2′+x3′=0,y1′+y2′+y3′=0.

同前面的證明，可得

⑤

⑥

當(dāng)然，不先做簡單情況，直接做一般情況也無不可，但“從簡單的做起”，將一般情況化歸為簡單情況，也是一種趣向，一種愛好.