巧用“指數(shù)積求導(dǎo)法”探求一類函數(shù)最值

沈玉良

(浙江省湖州市濱湖高級(jí)中學(xué),313000)

一般來講,有些含有指數(shù)函數(shù)ex的函數(shù)是求不出極值點(diǎn)的.如f(x)=ex+x2,通過求導(dǎo)得到f′(x)=ex+2x,此時(shí)無法求出f′(x)零點(diǎn)的準(zhǔn)確值,也就是求不出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),從而求不出此類函數(shù)的極值與最值.

筆者通過研究發(fā)現(xiàn),有一類特殊的含有指數(shù)函數(shù)ex(或e-x)的函數(shù)可輕松求出極值點(diǎn),其形式如下:

(1)若f(x)=exg(x),則f′(x)=ex[g′(x)+g(x)];

(2)若f(x)=e-xg(x),則f′(x)=e-x[g′(x)-g(x)].

對(duì)于以上形式的函數(shù),其極值點(diǎn)與ex(或e-x)無關(guān),只與g′(x)±g(x)有關(guān),若g(x)的形式是多項(xiàng)式函數(shù),我們就可以通過函數(shù)乘積的求導(dǎo)法輕松地求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).筆者稱這種做法為“指數(shù)積求導(dǎo)法”.下面舉例說明其應(yīng)用.

例1證明:當(dāng)x≥0時(shí),ex≥ex+(x-1)2.

分析看到以上證明題,給人的直覺是先移項(xiàng)整理成ex-ex-(x-1)2≥0,再令f(x)=ex-ex-(x-1)2,求出它在x≥0時(shí)的最小值剛好為0,則原題可獲得證明.以上思路好像很自然簡單,然而實(shí)際操作就發(fā)現(xiàn)，確定f(x)的單調(diào)性與極小值存在困難,具體過程這里就不贅述了.下面改用“指數(shù)積求導(dǎo)法”來證明.

證明當(dāng)x≥0時(shí),要證ex≥ex+(x-1)2,即證e-x[ex+(x-1)2]≤1.

設(shè)f(x)=e-x[ex+(x-1)2],g(x)=ex+(x-1)2,則f(x)=e-xg(x),且f′(x)=e-x[g′(x)-g(x)]=e-x[e+2(x-1)-ex-(x-1)2]=e-x(x-1)(3-e-x).由此易見f(x)在[0,3-e), (1,+∞)單調(diào)減,在(3-e, 1)單調(diào)增.

又計(jì)算得到f(0)=1,f(1)=1,故f(x)在[0,+∞)的最大值為1.于是f(x)≤1,即原不等式得證.

評(píng)注由本題可見,當(dāng)函數(shù)解析式中出現(xiàn)單個(gè)的指數(shù)函數(shù)的時(shí)候,利用傳統(tǒng)方法求最值就顯得困難重重,而在解題方法和技巧上能夠充分認(rèn)識(shí)和掌握“指數(shù)積求導(dǎo)法”,可以起到化繁為簡的效果.

例2(2018年全國高考題改編)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.若a=1,試證明當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1恒成立.

分析本題的傳統(tǒng)做法涉及到二階求導(dǎo)、隱零點(diǎn)問題,解法比較繁瑣.故仿照以上“指數(shù)積求導(dǎo)法”求解,可使問題輕松得證.

解當(dāng)x≥0時(shí),不等式ex-x2≥1等價(jià)于ex≥x2+1,亦即等價(jià)于e-x(x2+1)≤1.

令g(x)=e-x(x2+1),則g′(x)=e-x(2x-x2-1)≤0,g(x)在 [0,+∞)單調(diào)減,可得g(x)≤g(0)=1.故原不等式成立.

例3(2020年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

解(1)略.

評(píng)注在最值問題、恒成立問題中,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛,在常規(guī)求導(dǎo)中可以留意指數(shù)函數(shù)是否有一個(gè)“黃金搭檔”,“指數(shù)積求導(dǎo)法”對(duì)解決這一類高考熱門題往往可以起到事半功倍的效果.“指數(shù)積求導(dǎo)法”往往與逆向思維、整體思想串聯(lián)在一起,有時(shí)也需要一定的洞察力(如例2,例3),有助于考查考生的綜合分析能力與應(yīng)變能力.通過對(duì)以上問題的探究,可以讓研究性學(xué)習(xí)深入課堂、深入人心,使學(xué)生切身體會(huì)到其實(shí)高考題就在身邊.