立足全局 深挖教材

張敏

一、教材內(nèi)容

本節(jié)課是冀教版教材七年級(jí)上冊(cè)第三章“代數(shù)式”第3節(jié)的第2課時(shí)。前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，進(jìn)而用代數(shù)式表示現(xiàn)實(shí)問題中的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，為代數(shù)式的值的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。第3節(jié)“代數(shù)式的值”分兩個(gè)課時(shí)，第1課時(shí)主要是抽象的代數(shù)式求值，認(rèn)識(shí)代數(shù)式也是一個(gè)計(jì)算程序，按規(guī)定的程序進(jìn)行計(jì)算，提高計(jì)算能力。本節(jié)課是第2課時(shí)，主要研究在實(shí)際問題中，通過求代數(shù)式的值解決更廣泛的具體問題，按照由特殊到一般再到特殊的過程，設(shè)計(jì)滲透模型的思想，感受代數(shù)式的值隨字母的變化而變化，為將來函數(shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊，同時(shí)讓學(xué)生初步感受數(shù)量關(guān)系可以有文字、表格、圖像、符號(hào)等不同呈現(xiàn)方式。

二、教學(xué)目標(biāo)

第一，在解決實(shí)際問題的過程中，初步感受兩個(gè)數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)意識(shí)，滲透函數(shù)的思想。

第二，初步感受數(shù)量關(guān)系有文字、表格、圖像、符號(hào)多種呈現(xiàn)方式，體會(huì)它們是可以互相轉(zhuǎn)化的。

第三，獨(dú)立思考與交流展示相結(jié)合，讓學(xué)生充分感受利用代數(shù)式可以解決更多的實(shí)際問題。

三、教學(xué)過程

帶著下面的問題，獨(dú)立完成課本113頁“做一做”：

你認(rèn)為問題中涉及哪些基本量？哪個(gè)量是保持不變的？量與量之間具有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

（該問題的設(shè)置是讓學(xué)生繼續(xù)養(yǎng)成在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，先找量，再找關(guān)系，最后列代數(shù)式的習(xí)慣，并提醒學(xué)生思考數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。）

做一做 小亮家離學(xué)校1280m ，他每天步行上學(xué)，速度約是80m/min ，我們用t（min）分表示小亮從離開家開始的步行時(shí)間，s1（m）表示離開家的路程，s2（m）表示距學(xué)校的路程.

（1）寫出用t分別表示s1和s2的代數(shù)式：

s1=______ s2=? ______ .

（2）對(duì)具體的t 值計(jì)算s1和s2的值，并填寫下表：

（3）當(dāng)t=7時(shí)，請(qǐng)你比較小亮離開家的路程與離學(xué)校的路程哪個(gè)遠(yuǎn)？

學(xué)生展示：

（1）學(xué)生分析文字信息中的關(guān)鍵詞和語句，弄清楚字母的含義和涉及到的量，借助文字信息和畫線型圖找到涉及到的量及量之間的關(guān)系，列出代數(shù)式。

（教師提醒注意區(qū)分路程的不同，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)量關(guān)系的呈現(xiàn)可以是文字信息，也可以是圖像。）

（2）讓學(xué)生展示結(jié)果， 并讓學(xué)生說出是怎么得到的結(jié)果。學(xué)生說：我把t=0代入80t，得到s1的值0，代入1280-80t得到s2的值1280；把t=4代入80t，得到s1的值320，代入1280-80t得到s2的值960；后面的都一樣。

師：對(duì)于t的每一個(gè)取值，大家得到的s1和s2的值都一樣嗎？（學(xué)生回答都一樣）由此可見，每取一個(gè)t的值，對(duì)應(yīng)一個(gè)s1的值；也對(duì)應(yīng)一個(gè)s2的值，而且隨著t的變化，s1、s2的值也隨著變化。

（3）學(xué)生講解：當(dāng)t=7時(shí)，s1=80×7=560，s2=1280-80×7=720.所以小亮離學(xué)校的路程遠(yuǎn)。

師：大家還能提出其他問題嗎？

學(xué)生1：已知t=6時(shí)，哪個(gè)路程遠(yuǎn)？

師：只要知道t的值就可以代入代數(shù)式求得s1、s2的值。通過求代數(shù)式的值，可以解決更多的這類具體問題。

學(xué)生2：t等于多少時(shí)，路程一樣遠(yuǎn)？

老師追問：如果給出s1的某個(gè)具體值，如何求t ？給出s2的一個(gè)具體值，怎么求t？讓學(xué)生體會(huì)知道代數(shù)式的值求字母t可以轉(zhuǎn)化為解t的方程。

下面老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度的觀察與思考。

問題1：觀察（2）中表格的數(shù)值，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

生1：一個(gè)t值可以求一個(gè)s1的值和一個(gè)s2的值，t越大，s1越大， s2越小.

生2：表格中s1和s2的值相加都等于1280.

生3：表格里字母t的取值不能大于16，因?yàn)?6分的時(shí)候小亮就到學(xué)校了.

師：大家的觀察和思考都很深入，非常棒！

問題2：那t除了不能大于16還有別的限制嗎？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能小于0.）

問題3：t的取值在這個(gè)實(shí)際問題中是有限制條件的，那它對(duì)代數(shù)式的值有什么影響呢？（學(xué)生思考或觀察發(fā)現(xiàn)s1和s2的值都介于0到1280之間。）

師總結(jié)：代數(shù)式的字母雖然可以取不同的值，但是這些數(shù)值必須保證代數(shù)式和實(shí)際問題有意義。字母的取值范圍也就決定了代數(shù)式值的范圍。

問題4：如果題目中t和s1、s2的意義不變，通過表格你能獲取文字中提供的家離學(xué)校1280m，速度80m/min的信息嗎？

（此問題的設(shè)置意圖是讓學(xué)生充分感受可以由表格獲取信息，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，同時(shí)為下一道題利用表格獲取信息做好鋪墊。）

生1：由t=0，s1=0，s2=1280就可以知道家離學(xué)校1280m.

生2：由t=16，s1=1280，s2=0也可以知道家離學(xué)校1280m.并且可以知道速度是1280÷16=80m/min.

生3：由t=0時(shí)，s1=0；t=4時(shí)，s1=320，也可以知道速度是320÷4=80m/min.

師：看來我們也可以由表格中字母及代數(shù)式的幾組具體值得到s與t數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

師總結(jié)：通過這道題，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系可以通過文字信息或者符號(hào)語言（也就是代數(shù)式）呈現(xiàn)，也可以通過表格或者圖像呈現(xiàn)，表格能直觀地展示字母與代數(shù)式的值，但數(shù)據(jù)有限；符號(hào)語言（也就是代數(shù)式）既簡明又具有一般性，方便解決更多的問題，是解決數(shù)量關(guān)系問題的通法。下面我們來感受一下由圖像獲取信息，進(jìn)而列代數(shù)式解決問題。

一起探究（課本113頁）

某農(nóng)場(chǎng)購買了一臺(tái)新型拖拉機(jī)用來耕地.為了測(cè)試耕地時(shí)的耗油量，用它試耕了三塊地，其面積分別為0.4公頃、0.6公頃和1公頃.油量表的指針變化情況如圖（圖略）所示（油表中的一個(gè)大格表示10升油）。

（1）根據(jù)油量表指針的變化，估算耕地0.4公頃、0.6公頃、1公頃的耗油量（升），與同學(xué)交流，并將結(jié)果填入表中。

（2）如果設(shè)耕地a公頃耗油量為b升， 列代數(shù)式表示a和b之間的關(guān)系.

（3）根據(jù)所列的關(guān)系式求解下列問題：

①耕地面積為0.5公頃、2公頃時(shí)耗油量分別是多少？

②如果兩次耕地耗油量分別是12升和40升，那么所耕地的面積分別是多少公頃？

先獨(dú)立完成后小組交流：

（1）如何根據(jù)油表變化確定每塊地的耗油量？

（2）耕相同面積的地耗油量相同嗎？

（3）確定耕地面積與耗油量之間關(guān)系的關(guān)鍵是什么？

小組代表展示：

（1）觀察圖像可以知道：

油表的指針變化從55到45，知道耕第一塊地耗油55-45=10升；

油表的指針變化從45到30，知道耕第二塊地耗油45-30=15升；

油表的指針變化從30到5，知道耕第三塊地耗油30-5=25升。

師：圖像信息經(jīng)過加工，得到了數(shù)據(jù)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題。

（2）生1：確定耕地面積與耗油量之間關(guān)系的關(guān)鍵是每公頃耕地的耗油量。我們發(fā)現(xiàn)表格第3列1公頃耕地耗油量是25升，因此b=25a.

師：看來只耕第3塊地就可以知道每公頃的耗油量，為啥還要耕前兩塊呢？

生2：題目說為了測(cè)試耕地時(shí)的耗油量，只測(cè)試第三塊地，得到的數(shù)據(jù)可能不準(zhǔn)確。因此我們組驗(yàn)證了三塊地，發(fā)現(xiàn)10÷0.4=25，15÷0.6=25，25÷1=25，因此確定耕每公頃地的耗油量是25升，b=25a.

生3：我是直接通過表格發(fā)現(xiàn)的規(guī)律===25，所以=25.

師：很好，這位同學(xué)把它看做一個(gè)純數(shù)學(xué)問題，利用表格找規(guī)律，找到了b與a的關(guān)系。這也是我們經(jīng)常用到的方法。我們還可以從數(shù)值變化的角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)a由0.4增加到0.6時(shí)，b由10增加到了15，說明每增加1公頃地，耗油量增加=25升；當(dāng)a由0.6增加到1時(shí)，b由15增加到了25，也說明每增加1公頃地，耗油量增加=25升。這種分析的方法在以后遇到表格問題時(shí)會(huì)經(jīng)常用到。

（3）生：根據(jù)所列的關(guān)系式可以知道

當(dāng)a=0.5時(shí)，b=25×0.5=12.5；

當(dāng)a=2時(shí)，b=25×2=50；

當(dāng)b=12時(shí)，25a=12，a=12/25；

當(dāng)b=40時(shí)，25a=40，a=8/5.

師：這位同學(xué)有應(yīng)用的意識(shí)，非常好！大家注意過程規(guī)范，應(yīng)用題記著回答。

師總結(jié)：當(dāng)我們用含有a的代數(shù)式表示b之后，就用符號(hào)語言表示了b與a之間的關(guān)系。這兩個(gè)量中，知道a的值，可以代入求出b的值（即求代數(shù)式的值）；知道b的值（即代數(shù)式的值），代入關(guān)系式，可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程，進(jìn)而求出a的值。關(guān)系式就相當(dāng)于一個(gè)數(shù)學(xué)模型，利用它可以方便解決更多的問題。

師：你還能提出其他的問題并解決嗎？（再次讓學(xué)生感受關(guān)系式的方便，知道a可以求b，知道b可以求a.）

師：我提一個(gè)問題：可以耕3公頃的地嗎？（此問題是為了再次提醒學(xué)生，在利用關(guān)系式解決問題時(shí)必須注意字母的取值范圍。）

生1：不能。當(dāng)a=3時(shí)，b=25×3=75，而油表顯示，油箱只有55升油，因此不能耕3公頃的地。

生2：我有不同的方法。55升油最多耕地<3，所以不能耕3公頃地。

師：這個(gè)問題提醒我們用代數(shù)式解決問題時(shí)要注意什么問題？

生：注意字母的取值范圍。

師總結(jié)：我們?cè)賮砘仡欉@道題，由油表的圖像獲取了幾組a、b的具體數(shù)據(jù)，進(jìn)而得到了a與b的一般關(guān)系式，利用關(guān)系式，我們又解決了關(guān)于a、b的具體問題。這是我們研究數(shù)學(xué)問題常用的“由特殊到一般再到特殊”的方法，也是我們建立數(shù)學(xué)模型和求解的一般過程。

師：這節(jié)課接近尾聲，通過本節(jié)課你有哪些收獲呢？（讓學(xué)生從知識(shí)、過程、方法等方面進(jìn)行總結(jié)反思）

師總結(jié)并給出知識(shí)框圖，讓本節(jié)課的知識(shí)系統(tǒng)化。

實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的呈現(xiàn)方式一般有：文字、表格、圖像三種，通過分析數(shù)量關(guān)系，用符號(hào)表示即列出代數(shù)式，進(jìn)而可以通過求代數(shù)式的值或者解方程解決實(shí)際問題。

四、教學(xué)反思

（一）從整個(gè)初中教學(xué)的角度出發(fā)理解和實(shí)施教學(xué)

代數(shù)式是學(xué)習(xí)方程、不等式、函數(shù)的基礎(chǔ)，它對(duì)整個(gè)第三學(xué)段代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有重要的奠基作用。

本節(jié)課通過求代數(shù)式的值，讓學(xué)生初步感受變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為將來函數(shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。同時(shí)，本節(jié)課的教材背景中有文字信息，有表格，有圖像，也為后期學(xué)習(xí)函數(shù)表示形式形成了鋪墊。在教學(xué)中，意圖讓學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受代數(shù)式可以既簡明又具有一般性地表示現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系，方便解決更多的實(shí)際問題，而數(shù)量關(guān)系的獲取有文字、圖像和表格等多種途徑?！白鲆蛔觥敝小拔淖中畔ⅰ?hào)表示→代數(shù)式求值得到表格→代數(shù)式求值解決問題”，“一起探究”中“圖像→表格→列出代數(shù)式→解決問題”，讓學(xué)生感受到不同的表示形式是可以互相轉(zhuǎn)化的。

（二）深度挖掘教材，培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

在“做一做”的表格中，老師不僅讓學(xué)生感受到字母和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表格進(jìn)行深入觀察和思考，讓學(xué)生感受到表格中蘊(yùn)含的信息，既激發(fā)了學(xué)生鉆研的欲望，又讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)了成功。

“一起探究”中，教師采用了“由特殊到一般再到特殊”的方法，讓學(xué)生感受了建立數(shù)學(xué)模型求解的一般過程，為學(xué)生后期研究數(shù)學(xué)問題積累了重要的經(jīng)驗(yàn)?！耙黄鹛骄俊敝斜砀竦难芯孔寣W(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)了分析表格的方法。在根據(jù)所列關(guān)系式解決問題時(shí)，又拋出了需要深入思考的問題：能耕3公頃地嗎？再次引發(fā)了學(xué)生對(duì)代數(shù)式中字母和代數(shù)式值范圍的思考，鞏固強(qiáng)化了對(duì)字母取值范圍的理解。