以問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考

【摘 要】在數(shù)學(xué)課堂上如何以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，以“網(wǎng)格中的特殊三角形”為例，需要教師設(shè)定教學(xué)的主題，根據(jù)主題設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)研究，培養(yǎng)學(xué)生合理猜想及計(jì)算驗(yàn)證的能力，讓學(xué)生沉浸、深入、徹底地思考，促進(jìn)學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動(dòng);數(shù)學(xué)思考;網(wǎng)格

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2022）03-0040-04

【作者簡(jiǎn)介】張鋒，江蘇省無錫市雪浪中學(xué)（江蘇無錫，214125）黨支部書記、校長(zhǎng)，高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師。

問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，有價(jià)值的問題促使學(xué)生積極思考。數(shù)學(xué)教學(xué)要以問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“想”，學(xué)會(huì)“問”，在知識(shí)探究中產(chǎn)生自己的體驗(yàn)、理解和思考，從而促進(jìn)有效建構(gòu)知識(shí)、發(fā)展能力、積淀經(jīng)驗(yàn)、感悟思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)課上教師如何引導(dǎo)學(xué)生“既見樹木，又見森林”？本文以筆者在2020年11月江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究網(wǎng)絡(luò)教研平臺(tái)“教學(xué)新時(shí)空·名師課堂”（初中數(shù)學(xué)）活動(dòng)中執(zhí)教“網(wǎng)格中的特殊三角形”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)課堂上以問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考。

一、課前思考

網(wǎng)格類試題是近幾年比較熱門的一類新題型，其立意新穎、綜合性強(qiáng)，又有較強(qiáng)的可操作性，考查學(xué)生幾何直觀、識(shí)圖、猜想、計(jì)算、推理等能力，是“數(shù)”與“形”結(jié)合的最好載體，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、幾何直觀、轉(zhuǎn)化與分類思想的運(yùn)用。

本節(jié)課的授課時(shí)間是在11月下旬，期中考試剛結(jié)束，授課對(duì)象是九年級(jí)學(xué)生。學(xué)生剛學(xué)過相似三角形，已經(jīng)掌握了相似三角形的知識(shí)體系。因此，筆者進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)想借助網(wǎng)格，讓學(xué)生通過實(shí)踐操作感悟幾何直觀、計(jì)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本節(jié)課的備課素材主要是教材和試卷中的題目，在備課過程中，筆者主要思考以下幾個(gè)問題。

思考1：網(wǎng)格中構(gòu)圖如何體現(xiàn)圖形性質(zhì)？

利用作圖問題考查圖形的性質(zhì)是一種常見的命題方式，尤其是在網(wǎng)格中，利用無刻度直尺作圖是比較典型的問題。網(wǎng)格中單位長(zhǎng)度固定、圖形位置關(guān)系相對(duì)的性質(zhì)，使得網(wǎng)格問題具有確定性，我們可以借助網(wǎng)格并結(jié)合題目所給條件，運(yùn)用幾何性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行分析解答。

網(wǎng)格類問題幾乎都可通過幾何直觀解決，當(dāng)然這樣的前提是作答者對(duì)已有圖形的性質(zhì)非常清楚。無論是思路的分析、還是問題的解決，一般都會(huì)用到基本圖形，如全等或相似三角形、勾股定理、等腰三角形、特殊平行四邊形、圓等圖形基本的性質(zhì)。

思考2：網(wǎng)格中構(gòu)圖的特點(diǎn)和關(guān)鍵是什么？

網(wǎng)格構(gòu)圖的基本特點(diǎn)是等距平行線、特殊作用的格點(diǎn)較多（等分點(diǎn)），較易構(gòu)造平行線（垂線），易求線段的長(zhǎng)度（利用勾股定理或三角形相似），可構(gòu)造一些特殊的圖形（直角三角形、相似三角形、平行四邊形等）。當(dāng)然，在網(wǎng)格中構(gòu)圖時(shí)，還應(yīng)關(guān)注所構(gòu)圖形本身的特點(diǎn)：是否容易找出線段的特殊分割點(diǎn)（按比例分割線段）;是否較方便用勾股定理計(jì)算;是否易計(jì)算圖形的面積（割補(bǔ)、等積變形等）;是否易于畫或求某些特定條件下的角度（如45°等）;是否方便實(shí)施圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似等變換;是否易于構(gòu)造某些幾何模型。

網(wǎng)格中作圖的關(guān)鍵是確定“點(diǎn)”。在網(wǎng)格中要確定一個(gè)點(diǎn)，必須知道兩條直線的位置關(guān)系，借助全等、相似、兩線相對(duì)位置和圖形基本性質(zhì)，利用網(wǎng)格畫平行線、垂線，構(gòu)造相似或全等圖形，得到相應(yīng)的“交點(diǎn)”。

思考3：本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是什么？

通過在網(wǎng)格中作平行線、垂線等基本圖形，感悟圖形變換，掌握基本圖形的構(gòu)圖能力;會(huì)用勾股定理計(jì)算格點(diǎn)線段長(zhǎng)、圖形面積，生成自覺觀察網(wǎng)格本身“數(shù)”與“形”的特征的意識(shí);經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、探究的過程，學(xué)會(huì)構(gòu)造基本幾何模型，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算等能力，滲透數(shù)形結(jié)合、分類等數(shù)學(xué)思想方法。

二、教學(xué)過程

1.回憶。

如圖1，是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)都在格點(diǎn)上（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）。根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，嘗試編一道題并請(qǐng)同桌解答。

注：本節(jié)所用畫圖工具，僅限無刻度直尺。

通過討論，學(xué)生給出以下題目：

（1）畫出線段AB的中點(diǎn)C;

（2）在線段AB上畫出點(diǎn)C，使得AC︰BC=3︰2;

（3）找一格點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角;

（4）若用一個(gè)最小的圓去覆蓋△ABP，請(qǐng)畫出該圓的圓心;

（5）找一格點(diǎn)Q，使得△ABQ的面積為3;

…………

學(xué)生對(duì)于給出6×6的網(wǎng)格中長(zhǎng)為[10]的線段AB比較熟悉，編題的方式多樣，可以從“數(shù)”或“形”的角度思考，如找某些滿足特殊條件的點(diǎn)，也可畫特殊的三角形、四邊形、圓等;所設(shè)問題的答案可以直接看圖得到，也可以通過計(jì)算得到;可以從靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的角度去設(shè)置不同的問題;等等。

讓學(xué)生自己編題并設(shè)問，設(shè)計(jì)以作圖為目標(biāo)的探究活動(dòng)和學(xué)習(xí)任務(wù)，開展以問題解決為主題的單元學(xué)習(xí)，除了能夠提高學(xué)生的作圖技能之外，更能發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的。

2.畫圖。

如圖2，是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）。畫一個(gè)與△ABC相似，頂點(diǎn)在格點(diǎn)，且面積最大的三角形。

本題是對(duì)上一練習(xí)的延伸，本題解答的關(guān)鍵是對(duì)所給網(wǎng)格特征進(jìn)行分析，明確最長(zhǎng)邊為網(wǎng)格正方形的對(duì)角線，由此便可成倍放大，輕松畫出題目要求的三角形。教師在本環(huán)節(jié)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確本題的答案不止一個(gè)，從分類的思想和對(duì)稱的角度審題，通過“直觀判斷—推理演算—實(shí)踐操作”的過程，引發(fā)學(xué)生的深入思考，全班一起努力找出所有符合條件的三角形。這無疑對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、分類思想等能力是極好的機(jī)會(huì)，對(duì)發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

3.識(shí)圖。

如圖3，是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）。試在AC上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D、A、B組成的三角形與△ABC相似。

本環(huán)節(jié)教師可以安排學(xué)生自主思考，進(jìn)行小組合作研究。由結(jié)論“△DAB與△ABC相似”出發(fā)， 逆向推理點(diǎn)D應(yīng)滿足的條件，明確求出AD或CD的長(zhǎng)度即可，最終發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D是特殊的格點(diǎn)，△ADB和△BCD都是特殊的三角形（三邊之比為1∶[2]∶[5]）。

本例中的△ABC就是上例中面積最大的三角形，只是把它放置在6×6的網(wǎng)格背景中。借助相似三角形的基本性質(zhì)推得點(diǎn)D，這種通過計(jì)算來推理的方法在網(wǎng)格類試題中比較常見。

教師追問：解決了上述問題后，同學(xué)們可以得到∠A+∠C的度數(shù)嗎？請(qǐng)同學(xué)思考這一問題，并證明你的猜想。

在解決上述問題后，本題的答案顯而易見，但若一開始就讓學(xué)生求∠A+∠C的度數(shù)，則難度較大，且學(xué)生通常會(huì)進(jìn)行猜測(cè)，無法給出證明思路。此環(huán)節(jié)的問題以“格點(diǎn)”引發(fā)學(xué)生思考，將學(xué)習(xí)內(nèi)容逐漸深化，用到勾股定理、相似三角形等常規(guī)知識(shí)，借助格點(diǎn)圖形尋找不同的解題方法，讓學(xué)生從“數(shù)”和“形”的不同角度認(rèn)識(shí)圖形。

4.操作。

如圖4，是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1）。請(qǐng)只用無刻度直尺，畫出∠A的平分線AD。

生1：我猜連接點(diǎn)A與右上方2×1矩形的對(duì)角格點(diǎn)D（如圖5）就是∠A的平分線，但我不清楚如何說明這條線就是∠A的平分線。

生2：我想利用角平分線的判定定理，將題目轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D到∠A兩邊AB、AC的距離（如下頁圖6），點(diǎn)D到AB的距離DG易求，但在求格點(diǎn)D到AC的距離DH時(shí)，我又陷入了困境！

師：同學(xué)們的思路非常好！但因?yàn)榇蠹覂H停留在網(wǎng)格的幾何特征上，沒有意識(shí)到網(wǎng)格還具有“數(shù)”的功能。在生2的基礎(chǔ)上，是否可以轉(zhuǎn)化為求△ACD的面積，再求底邊AC邊上的高？即可得到點(diǎn)D到AC的距離。除了上述方法，同學(xué)們能不能通過數(shù)形結(jié)合的思想，給出不同的解題思路？

學(xué)生展開討論。

師：事實(shí)上，△ABC的三邊易求，聯(lián)想前面的特殊三角形（三邊之比為1∶[2]∶[5]），結(jié)合網(wǎng)格中“數(shù)”的特征，自然想到將其放入△ABE、△ACE中（如圖7，只需找到格點(diǎn)E），進(jìn)而證明它們相似，再利用相似三角形的性質(zhì)得出兩個(gè)角∠BAE、∠EAC對(duì)應(yīng)相等，得出AE平分∠BAC的結(jié)論。其實(shí)本題中的BC是一條干擾線段。

本環(huán)節(jié)依托格點(diǎn)圖形的特點(diǎn)，探尋不同的解題方法，讓學(xué)生全面了解網(wǎng)格題目中可能遇到的問題，歸納解決格點(diǎn)問題的解題思路與方法，明白解題前應(yīng)先制定解題策略，可以采取“先猜后證”的解題策略，體會(huì)網(wǎng)格中“特殊三角形”的特征及作用，也讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到一些基本圖形重新“組合”后又會(huì)產(chǎn)生新的結(jié)論。

6.小結(jié)。

幫助學(xué)生一起梳理本節(jié)課的主題，并形成思維導(dǎo)圖（限于版面，圖略）。

三、教學(xué)反思

1.基于核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)教學(xué)問題。

本節(jié)課以網(wǎng)格為載體，重點(diǎn)研究格點(diǎn)與三角形的相關(guān)內(nèi)容，涉及勾股定理、全等、相似、三角函數(shù)、平行四邊形、圓等知識(shí)?；诮鉀Q問題的目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算推理能力;讓學(xué)生在解題過程中感悟數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察圖形、用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表達(dá)、用數(shù)學(xué)思維解決問題的學(xué)科素養(yǎng)。在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，教師不僅關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的掌握程度，而且關(guān)注學(xué)生的能力、素養(yǎng)、情感等，避免了知識(shí)的碎片化，把引領(lǐng)學(xué)生成長(zhǎng)的各方面因素聯(lián)系起來。

2.以問題驅(qū)動(dòng)發(fā)展學(xué)生的深度思維。

在以往的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于在網(wǎng)格中用“無刻度直尺”畫圖的問題，常覺得無計(jì)可施。本課結(jié)合試題素材，通過讓學(xué)生自己編題引入，將常見格點(diǎn)問題進(jìn)行題組變式，讓學(xué)生帶著問題主動(dòng)地思考、探究、合作、交流，為后面的解題及操作做準(zhǔn)備，激發(fā)學(xué)生探究的興趣。設(shè)計(jì)追問意在鞏固探究作圖方法、依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的靈活性和多樣性。

3.注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“結(jié)合點(diǎn)”。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)基于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和運(yùn)算推理兩大核心素養(yǎng)，以網(wǎng)格中的特殊三角形作為知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，融合初中階段所學(xué)圖形的基本內(nèi)容，串聯(lián)起多個(gè)知識(shí)的“結(jié)合點(diǎn)”，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系。為此，在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注不同學(xué)段數(shù)學(xué)課程對(duì)幾何直觀和運(yùn)算推理能力的要求，要根據(jù)學(xué)生學(xué)情設(shè)計(jì)活動(dòng)，確保在原有知識(shí)基礎(chǔ)上生成新的知識(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]朱德江.重塑學(xué)習(xí)：小學(xué)數(shù)學(xué)“深度學(xué)習(xí)”課堂樣態(tài)新探八講[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.

*本文系江蘇省無錫市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃2020年度課題“指向數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的核心內(nèi)容教學(xué)研究”（F/D/2020/11）的研究成果。

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