利用GeoGebra軟件分析高考試題

葉媛敏 胡典順

摘? 要：GeoGebra軟件是一款功能豐富的動(dòng)態(tài)幾何軟件，將其融入教學(xué)活動(dòng)，以新的視角解析高考試題，在師與生的互動(dòng)中實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的雙贏.

關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件;高考試題;數(shù)學(xué)教學(xué)

一、引言

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》提出要把教育信息化擺在支撐引領(lǐng)教育現(xiàn)代化的戰(zhàn)略地位.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本，以落實(shí)立德樹人為根本任務(wù)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì). 數(shù)學(xué)是抽象的，不僅數(shù)學(xué)的研究對象是抽象的、形式化的思想材料，還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)符號的抽象性. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的直觀想象有助于數(shù)學(xué)抽象問題的解決. 直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決問題的素養(yǎng). 學(xué)生在發(fā)展幾何直觀和空間想象能力的同時(shí)，借助數(shù)形結(jié)合的思想，化抽象為形象，化深?yuàn)W為具體.

GeoGebra軟件是一款結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，可以將抽象的數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)換為直觀的圖象信息，即信息的可視化. 它的功能豐富，適用于函數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)、圖表、代數(shù)等多個(gè)領(lǐng)域. 它可以巧妙地將數(shù)與形結(jié)合起來，幫助學(xué)生通過空間形式感知數(shù)的特點(diǎn)和規(guī)律，借助數(shù)的奧妙來體會空間形式的變換，讓學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和空間想象來思考問題，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性. 因此，將GeoGebra軟件融入課堂能夠讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感受“學(xué)數(shù)學(xué)”和“做數(shù)學(xué)”;在數(shù)學(xué)情境中啟發(fā)思維，提升創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力;在數(shù)學(xué)活動(dòng)中激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高參與度，成為建構(gòu)知識的主體. 本文以GeoGebra軟件為視角，分析2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科中的部分典型試題，旨在探討如何將GeoGebra軟件應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué).

二、典型試題分析

1. 解決定點(diǎn)問題

解析幾何是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一. 解析幾何不僅對數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想有較高的要求，而且常與向量、參數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識點(diǎn)結(jié)合在一起進(jìn)行綜合考查，具有綜合性高、靈活性強(qiáng)的特點(diǎn). 它能夠全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法. 這就要求學(xué)生具有深厚的知識基礎(chǔ)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，并且能夠靈活運(yùn)用知識，以便建立起實(shí)質(zhì)上的聯(lián)系，從而找到解決問題的突破口. GeoGebra軟件作為一款動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，數(shù)形結(jié)合是其最顯著的特點(diǎn)，可以完美展示幾何與代數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，給學(xué)生以最直觀的感受.

例1 （第20題）已知[A，B]分別為橢圓[E]：[x2a2+y2=1][a>1]的左、右頂點(diǎn)，[G]為[E]的上頂點(diǎn)，[AG · GB=8]，[P]為直線[x=6]上的動(dòng)點(diǎn)，[PA]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[D].

（1）求[E]的方程;

（2）證明：直線[CD]過定點(diǎn).

該題考查解析幾何中橢圓的相關(guān)知識，要求學(xué)生結(jié)合平面向量求解橢圓的方程，并證明解析幾何中的定點(diǎn)問題.

第（1）小題實(shí)則要通過參數(shù)[a]對[AG]和[GB]進(jìn)行坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和已知等量關(guān)系[AG · GB=8]，求解出參數(shù)[a]的值. 教師可以運(yùn)用GeoGebra軟件來解決此類問題.

具體操作步驟如下.

（1）在命令框中輸入函數(shù)“[x ^ 2a ^ 2+y ^ 2=1 a>1]”，并創(chuàng)建滑動(dòng)條[a].

（2）選取點(diǎn)[A]和點(diǎn)[G]，設(shè)置向量[u=AG]. 選取點(diǎn)[G]和點(diǎn)[B]，設(shè)置向量[v=GB].

（3）在命令框中輸入“[t=u · v]”，移動(dòng)滑動(dòng)條[a]，使得[t=8]，代數(shù)區(qū)中顯示對應(yīng)參數(shù)[a=3]. 如圖1所示.所以橢圓[E]的方程為[x29+y2=1].

第（2）小題考查解析幾何中動(dòng)直線過定點(diǎn)的問題，即直線在變化運(yùn)動(dòng)的過程中始終經(jīng)過某一點(diǎn). 在解決這類問題時(shí)，一般要先選擇參變量，然后求出定點(diǎn)所在直線的含參變量的方程，最后對方程進(jìn)行化簡求解，得到定點(diǎn)坐標(biāo).

該題求解的關(guān)鍵是要通過橢圓與直線[PA]和直線[PB]的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)找出直線[CD]的含參解析式. 由于該題涉及圓錐曲線和直線的交點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)直線的定點(diǎn)問題，所以GeoGebra軟件可以發(fā)揮重要作用. 教師運(yùn)用GeoGebra軟件可以讓學(xué)生直觀感受到直線的運(yùn)動(dòng)變化及發(fā)展規(guī)律. 通過在直線[x=6]上構(gòu)造動(dòng)點(diǎn)[P]，找出橢圓與直線[PA]和直線[PB]的另兩個(gè)交點(diǎn)[C，D]，構(gòu)建動(dòng)直線[CD]，此時(shí)不斷移動(dòng)點(diǎn)[P]，讓學(xué)生觀察直線[CD]的運(yùn)動(dòng)情況，形成感性認(rèn)識，并對定點(diǎn)進(jìn)行猜想，再通過計(jì)算來檢驗(yàn)猜想.

GeoGebra軟件的具體操作步驟如下.

（1）在命令框中輸入“[x ^ 29+y ^ 2=1]”，繪制出橢圓[E];輸入“[x=6]”繪制直線[l].

（2）選擇直線[l]，運(yùn)用“對象上的點(diǎn)”命令在直線[l]上作出動(dòng)點(diǎn)[P]. 選擇直線[PA]和直線[PB]，運(yùn)用“交點(diǎn)”命令作出直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)[C，D]，并選取點(diǎn)[C，D]作出直線[CD].

（3）移動(dòng)點(diǎn)[P]，觀察動(dòng)直線[CD]的位置變換，如圖2和圖3所示.

（4）選定直線[CD]啟動(dòng)“開啟跟蹤”命令，對點(diǎn)[P]進(jìn)行速度設(shè)置，隨后啟動(dòng)動(dòng)畫，可以繪出直線[CD]隨著動(dòng)點(diǎn)[P]的變化而變化的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4所示. 學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)直線[CD]始終圍繞著直線與[x]軸的交點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).

通過GeoGebra軟件對解析幾何的動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的直觀演示，可以將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化. 在觀察動(dòng)態(tài)演示的過程中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)直線[CD]始終相交于一點(diǎn)，即圍繞這點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，強(qiáng)化對“定點(diǎn)”的理解.

除了對“形”的觀察，還需要對“數(shù)”進(jìn)行驗(yàn)證. 在學(xué)生掌握了動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)直線的變化規(guī)律后，教師進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法對猜想進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論.

借助GeoGebra軟件解答解析幾何問題：一方面，能讓學(xué)生直觀地感受幾何形態(tài)與代數(shù)方程的同步變化，從多角度、深層次來理解問題，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);另一方面，活躍的課堂探索氛圍可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在獨(dú)立思考和智力參與中培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識.

2. 解決函數(shù)問題

函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是《標(biāo)準(zhǔn)》的主線之一. 通過對函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用幾個(gè)方面的內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，促進(jìn)學(xué)生把握知識的內(nèi)在聯(lián)系并建立完整的函數(shù)知識體系，這不僅是對函數(shù)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)鞏固、基本思想方法的習(xí)得運(yùn)用，也是對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)發(fā)展.“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的應(yīng)用是函數(shù)知識綜合考查的體現(xiàn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值和函數(shù)的零點(diǎn)問題一般作為高考試卷的壓軸題出現(xiàn). 因此，有必要對此類型的問題展開研究.

例2 （第21題）已知函數(shù)[fx=ex+ax2-x].

（1）當(dāng)[a=1]時(shí)，討論[fx]的單調(diào)性;

（2）當(dāng)[x≥0]時(shí)，[fx≥12x3+1]，求[a]的取值范圍.

第（1）小題的討論方法在第（2）小題中有所涉及，所以此處不進(jìn)行單獨(dú)討論.

第（2）小題是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)上的應(yīng)用問題，通過恒成立，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和最值來求解參數(shù)的范圍. 通常有兩種解決方法. 第一種方法，構(gòu)造新函數(shù)[y=fx-][12x3-1 x≥0]，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)[y]的最值與0的大小關(guān)系問題. 第二種方法，分離出參數(shù)[a]，即要證[a≥][12x3+x+1-exx2]. 構(gòu)造函數(shù)[hx=12x3+x+1-exx2 x>0]（注：此時(shí)要分類討論，當(dāng)[x=0]時(shí)，對于任意[a∈R]都滿足題意），則可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[hx]的最大值問題. 運(yùn)用GeoGebra軟件繪制函數(shù)圖象、觀察單調(diào)性、求解極值點(diǎn)等是極為方便的.

具體操作步驟如下.

（1）在命令框中輸入“[hx=（12x ^ 3+x+1-e ^ x）x ^ 2]”和“extremum[h]”，繪圖區(qū)中即可出現(xiàn)函數(shù)[hx]的圖象和極大值[h2].

（2）在命令框中輸入“[hx]”，代數(shù)區(qū)中直接顯示出[hx]的導(dǎo)函數(shù)[hx]的函數(shù)方程，繪圖區(qū)中相應(yīng)繪制出[hx]的圖象;輸入“[rooth]”顯示出[hx]的零點(diǎn)，當(dāng)[x=2]時(shí)，[hx=0]. 觀察圖象，當(dāng)[x∈0，2]時(shí)，[hx>0]，當(dāng)[x∈2，+∞]時(shí)，[hx<0]. 所以函數(shù)[hx]在[0，2]上單調(diào)遞增，在[2，+∞]上單調(diào)遞減，此時(shí)對應(yīng)的極大值即函數(shù)的最大值[h2].

（3）創(chuàng)建滑動(dòng)條[a]，輸入“[y=a]”，改變滑動(dòng)條[a]的數(shù)值，直線[y=a]的位置也相應(yīng)變動(dòng)，如圖5所示. 當(dāng)[y≥h2]時(shí)，即直線[y=a]在函數(shù)[hx]的圖象的上方時(shí)，滿足[a≥12x3+x+1-exx2].

該題是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題. 在GeoGebra軟件中輸入不同的命令，可以直接繪制出原函數(shù)圖象，求解導(dǎo)函數(shù)，解出極值. 學(xué)生可以直觀感受到函數(shù)的形態(tài)變化和規(guī)律特點(diǎn)，這對理解函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題有很大幫助. 此外，學(xué)生還可以運(yùn)用GeoGebra軟件來檢驗(yàn)自己的判斷正確與否.

需要注意的是，教師在教學(xué)過程中將GeoGebra軟件融入課堂充分發(fā)揮其直觀性的特點(diǎn)，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的把握和數(shù)學(xué)結(jié)果的判斷，但數(shù)學(xué)的具體運(yùn)算過程涉及較少，學(xué)生的運(yùn)算能力沒有得到鍛煉. 例如，該題運(yùn)用GeoGebra軟件可以簡潔、直觀分析函數(shù)的性質(zhì)，但在實(shí)際的解題過程中需要分類討論，分離參數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，并且在運(yùn)算過程中還涉及自然對數(shù)[e]. 而此軟件的最終運(yùn)算結(jié)果只是具體數(shù)值的呈現(xiàn)，不涉及詳細(xì)的計(jì)算過程. 因此，教師應(yīng)該尋找培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，在直觀教學(xué)的同時(shí)加強(qiáng)解題運(yùn)算的練習(xí). 把GeoGebra軟件作為教學(xué)的輔助，而不是獲取數(shù)學(xué)結(jié)果的手段.

3. 解決立體幾何問題

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生以抽象思維為主，由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維發(fā)展到理論型抽象思維和辯證邏輯思維. 立體幾何學(xué)習(xí)是鍛煉學(xué)生抽象思維的重要途徑之一. 通過對立體幾何的研究，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). GeoGebra軟件相較于其他信息技術(shù)軟件的一個(gè)顯著優(yōu)勢就是三維視角的應(yīng)用. 將GeoGebra軟件的3D繪圖功能應(yīng)用于立體幾何問題的解決是直觀且高效的. 它可以提高學(xué)生的空間想象能力，讓學(xué)生更精準(zhǔn)地抓住幾何問題的本質(zhì)，從而找到解決問題的突破點(diǎn).

例3 （第3題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一（如圖6），它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該

四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（? ? ）.

（A）[5-14] （B）[5-12]

（C）[5+14] （D）[5+12]

該題以古埃及文明的胡夫金字塔為背景，通過實(shí)際建筑構(gòu)造立體模型，化抽象為形象，降低解題的難度. 將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)也是對數(shù)學(xué)文化的一種發(fā)揚(yáng)與傳承，能夠讓學(xué)生深刻感受數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值和文化底蘊(yùn). 解答該題的關(guān)鍵在于通過正四棱錐的幾何特征找到等量關(guān)系，構(gòu)建方程. 運(yùn)用GeoGebra軟件的3D繪圖區(qū)可以清晰地畫出立體幾何圖形，不斷改變其位置，學(xué)生可以從不同的視角觀察圖形，抓住解題的關(guān)鍵.

使用GeoGebra軟件的具體步驟如下.

（1）打開3D繪圖區(qū)，選擇工具“正多邊形”繪制出正四棱錐的底面，此時(shí)代數(shù)區(qū)出現(xiàn)“[poly1]”表示底面正四邊形.

（2）在命令框中輸入“錐形（[poly1]，[h]）”，繪圖區(qū)中出現(xiàn)立體幾何圖形正四棱錐.

（3）選擇工具“垂線”，分別做出點(diǎn)[E]、點(diǎn)[O]到線段[CD]的垂線，兩垂線交于一點(diǎn)，即垂足[G]. 線段[OE，EG，OG]分別為正四棱錐的高[h]、斜高[h]和斜高在底面內(nèi)的投影，如圖7所示.

教師應(yīng)該不斷變換視角讓學(xué)生觀察圖形的特征，找到線段[OE，EG，OG]之間的數(shù)量關(guān)系. 學(xué)生在觀察立體圖形時(shí)，應(yīng)該對正四棱錐的性質(zhì)有一定的知識儲備. 正四棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影組成一個(gè)直角三角形，這是運(yùn)用等量關(guān)系構(gòu)造方程的關(guān)鍵. 設(shè)底面邊長為[a]，結(jié)合題中已知的等量關(guān)系和[Rt△OEG]中的勾股定理[OE2+OG2=EG2]，構(gòu)造方程[h2=12ah，h2+12a2=h2.] 對方程進(jìn)行求解，即可得出結(jié)果. 在GeoGebra軟件的3D繪圖區(qū)中，立體幾何圖形的直觀呈現(xiàn)可以讓學(xué)生獲得清晰的表象，抓住[△OEG]是直角三角形這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，從而高效解決問題. 由于該題的題干對幾何圖形已經(jīng)有了準(zhǔn)確、清晰的描述，所以教師在教學(xué)過程中可以先隱藏實(shí)物圖形，讓學(xué)生根據(jù)已知條件運(yùn)用信息技術(shù)自己作圖，在此基礎(chǔ)上再呈現(xiàn)幾何原圖進(jìn)行驗(yàn)證. 一方面，能夠促進(jìn)學(xué)生在閱讀思考的過程中理解題意，把握立體幾何的特征，抓住解題的關(guān)鍵，理解問題的本質(zhì);另一方面，學(xué)生在動(dòng)手操作中會全身心地投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

三、總結(jié)與討論

1. 數(shù)形結(jié)合，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾指出“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，表明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性. 數(shù)形結(jié)合是分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何的相互轉(zhuǎn)化. 抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系通過直觀的幾何圖象來表示，使得抽象概念、數(shù)學(xué)理論更容易被學(xué)生理解和內(nèi)化;直觀的幾何圖象也可以通過代數(shù)語言來表達(dá)，使得數(shù)學(xué)關(guān)系更準(zhǔn)確，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性. 數(shù)形結(jié)合也是GeoGebra軟件的一大顯著優(yōu)勢. 它具有多種表征形式，如繪圖區(qū)、代數(shù)區(qū)、CAS窗口、3D繪圖區(qū)等，各個(gè)區(qū)域之間存在著對應(yīng)關(guān)系，改變某一區(qū)域信息，其他區(qū)域也會跟著相應(yīng)變化. GeoGebra軟件的多元呈現(xiàn)將數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)揮得淋漓盡致. 學(xué)生能從直觀的圖形變化和代數(shù)信息中獲得豐富的感性材料，作為進(jìn)一步分析問題的基礎(chǔ)，從而找到解決問題的關(guān)鍵.

在教學(xué)過程中，需要注意的是：不能只顧直觀而忽略數(shù)學(xué)運(yùn)算過程. 在很多情況下，運(yùn)用GeoGebra軟件將圖形作為思維的載體，可以直接呈現(xiàn)最終答案. 這樣的方式誠然直觀高效，卻忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng). 教師應(yīng)兼顧直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算，在使用GeoGebra軟件讓學(xué)生獲得直觀感受之后，引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算結(jié)果. 這樣不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，而且運(yùn)算過程實(shí)則也是對數(shù)學(xué)知識間邏輯關(guān)系的重新梳理，從而促進(jìn)學(xué)生理解知識的內(nèi)在聯(lián)系、擴(kuò)充數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、構(gòu)建完善的知識體系.

2. 探究學(xué)習(xí)，突出過程價(jià)值

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是一種以獨(dú)立思考、深入鉆研數(shù)學(xué)問題為主的思維探究活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)參與. 學(xué)生只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積極思考，才能獲得深刻的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，也更容易獲取過程性知識. 過程性知識的獲得有助于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)文化精神的感悟. GeoGebra軟件作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的強(qiáng)有力工具，可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究搭建平臺，學(xué)生可以在課內(nèi)、外利用它開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)探究. 探究問題的過程化有助于學(xué)生在自主活動(dòng)中建構(gòu)對知識的理解，挖掘數(shù)學(xué)潛能，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的延伸拓展，獲得對數(shù)學(xué)過程性知識的體驗(yàn). 但需要指出的是，教師應(yīng)該給學(xué)生留出較多的思考空間，引導(dǎo)學(xué)生在操作過程中不斷思考，這樣才能產(chǎn)生問題與思維碰撞的火花. GeoGebra軟件在學(xué)習(xí)過程中充當(dāng)“腳手架”，搭建良好的學(xué)習(xí)平臺，讓學(xué)生能夠主動(dòng)探究、積極思考，從多角度理解數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建知識框架. 除了對數(shù)學(xué)結(jié)果知識的理解外，更重要的是獲得數(shù)學(xué)過程性知識. 讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，使用GeoGebra軟件不斷嘗試感悟，鉆研探索，有助于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，提升創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

3. 應(yīng)用廣泛，優(yōu)化教學(xué)過程

GeoGebra軟件具有較強(qiáng)的代數(shù)、繪圖、統(tǒng)計(jì)功能，并且操作簡單，應(yīng)用廣泛，為實(shí)現(xiàn)師與生、生與生互動(dòng)交流搭建了良好的平臺. 數(shù)學(xué)教學(xué)的過程大致包括備課、上課（教與學(xué)的雙向互動(dòng)）、測試與反饋三大環(huán)節(jié). 在備課環(huán)節(jié)，GeoGebra軟件主要用于繪制精美的數(shù)學(xué)圖形并融入教學(xué)設(shè)計(jì)中，提高備課效率，使課件集知識性與趣味性于一體. 在上課環(huán)節(jié)，將GeoGebra軟件融入課堂可以直接呈現(xiàn)直觀幾何圖象或進(jìn)行動(dòng)態(tài)變換，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的參與度. 在測評與反饋環(huán)節(jié)，運(yùn)用GeoGebra軟件進(jìn)行試題的制作和講解也是極為方便、高效的. GeoGebra軟件可以融入教學(xué)的全過程，優(yōu)化教學(xué)過程，提高教學(xué)效率. 由于教師在此過程中充當(dāng)著引路人的重要角色，所以教師應(yīng)具備一定的專業(yè)素養(yǎng)，以實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的最優(yōu)化. 一方面，教師應(yīng)該精通此軟件，能夠及時(shí)解答學(xué)生的操作實(shí)踐問題;另一方面，教師應(yīng)該對數(shù)學(xué)知識較為熟悉，能夠在教學(xué)活動(dòng)中適當(dāng)使用相關(guān)軟件，讓教學(xué)過程具有思想性和科學(xué)性. 并不是所有的知識點(diǎn)都適用軟件的教學(xué)，如果一味強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)知識強(qiáng)加關(guān)聯(lián)，反而會削弱教學(xué)效果，降低教學(xué)質(zhì)量.

綜上所述，GeoGebra軟件作為一款功能豐富的動(dòng)態(tài)幾何軟件，將其恰當(dāng)、合理地與數(shù)學(xué)課堂相結(jié)合，不僅能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，深入理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，體會數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，而且可以創(chuàng)造良好的教學(xué)互動(dòng)氛圍，對于教學(xué)方法的探索、教學(xué)過程的優(yōu)化、教學(xué)效率的提高也有極大的益處. 但這都需要教師與學(xué)生的共同參與、不斷學(xué)習(xí)、勇于嘗試，繼而實(shí)現(xiàn)GeoGebra軟件在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的效益最大化.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]左曉明，田艷麗，贠超. 基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)全過程優(yōu)化研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（1）：99-102.

[3]李偉，胡典順. 信息技術(shù)素養(yǎng)視角下的高考試題分析：以2018年理科全國Ⅰ卷為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（1 / 2）：110-115.

[4]寇恒青. GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用初探[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（9）：48-51.

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