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    “平面向量數(shù)量積的最值問題”微專題研究

    2022-03-07 18:47:41韓瑋
    關(guān)鍵詞:知識(shí)遷移感悟

    韓瑋

    摘? 要:從高考試題入手,探求“平面向量數(shù)量積”的不同解法,引導(dǎo)學(xué)生回顧、完善平面向量的基礎(chǔ)知識(shí),建構(gòu)解題方法,從感知、領(lǐng)會(huì)逐漸發(fā)展到應(yīng)用、分析,有意識(shí)地將原有知識(shí)遷移到新的情境中做出決策并解決問題.

    關(guān)鍵詞:知識(shí)遷移;感悟;高階知能

    一、引言

    數(shù)學(xué)課堂中,教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行歸納、整理,形成知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò),更重要的是指導(dǎo)學(xué)生將已有知識(shí)與技能進(jìn)行遷移訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通、舉一反三、統(tǒng)籌運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 以“平面向量數(shù)量積的最值問題”微專題單元學(xué)習(xí)為例,筆者談?wù)剶?shù)學(xué)課堂中引導(dǎo)學(xué)生思維不斷走向深入的一些教學(xué)啟示.

    二、示例研究

    1. 試題入手,探求解法

    題目1 (2020年北京卷·13)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足[AP=12AB+AC,] 則[PD]的值為? ? ? ? ;[PB ? PD]的值為? ? ? ?.

    解析:第一空解答的關(guān)鍵是根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,畫出示意圖,易知點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),故[PD=5.]

    第二空方法1:利用向量的數(shù)量積公式[PB ? PD=][PBPDcosPB, PD]直接計(jì)算即可. [∠BPD]的余弦值可以借助[Rt△PCD]求得,也可以連接BD,利用余弦定理求解.

    第二空方法2:利用向量射影的概念,可知在公式[PB ? PD=PBPDcosPB, PD]中,[PDcosPB, PD]表示[PD]在[PB]方向上的射影,如圖1所示,顯然[PD]在[PB]方向上的射影是[-PC=-1,] 故[PB ? PD=-1.]

    第二空方法3:如圖2,以A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,易知點(diǎn)B的坐標(biāo)為[2,0,] 點(diǎn)P的坐標(biāo)為[2,1,] 點(diǎn)D的坐標(biāo)為[0,2,] 所以[PB=0,-1, PD=-2,1.] 由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,得[PB ? PD=-1.]

    第二空方法4:利用平面向量基本定理:選取不共線向量[AB, AD]為一組基底,則[PB=-12AD, PD=][12AD-AB.] 所以[PB ? PD=-12AD12AD-AB=-14AD2+][0=-1.]

    由上述高考試題探求了求解平面向量數(shù)量積的四種不同方法:數(shù)量積公式、平面向量射影定義、建系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算、平面向量基本定理. 這四種方法涉及平面向量的基本內(nèi)容,也是平面向量的核心知識(shí). 教學(xué)中,要對(duì)應(yīng)不同方法引導(dǎo)學(xué)生回顧、完善平面向量的基礎(chǔ)知識(shí),建構(gòu)解題方法,從感知、領(lǐng)會(huì)逐漸發(fā)展到應(yīng)用、分析,有意識(shí)地將原有知識(shí)遷移到新的情境中,做出決策并解決問題.

    2. 優(yōu)化解法,深化認(rèn)知

    (1)平面向量的基礎(chǔ)知識(shí).

    基本概念:向量;向量的三種運(yùn)算——加減、數(shù)乘、數(shù)量積;向量的兩種表示方法——幾何、代數(shù).

    深度認(rèn)知:平面向量射影定義在解題中的靈活運(yùn)用.

    變式1:已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),求[PB ? PD]的最大值.

    解析:如圖3,利用平面向量射影概念,結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),易知[PB ? PD]的最大值為0.

    變式2:已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn),若點(diǎn)Q是正方形ABCD內(nèi)(含邊界)的任意一點(diǎn),求[AP ? AQ]的最大值.

    解析:如圖4,利用平面向量射影概念,結(jié)合點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng),易知當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí),[AQ]在[AP]方向上的射影最長(zhǎng)為[AM=655,] 故[AP ? AQ]的最大值為6.

    真題演練:(2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷·7)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則[AP ? AB]的取值范圍是(? ? ).

    (A)[-2,6] (B)[-6,2]

    (C)[-2,4] (D)[-4,6]

    解析:如圖5,利用平面向量射影概念,根據(jù)題意:[AB]固定,結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),易知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),[AP]在[AB]方向上的射影最長(zhǎng),為[AC=3;] 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí),[AP]在[AB]方向上的射影最短,為[-AF=-1.] 故[AP ? AB]的取值范圍是[-2,6.]

    從學(xué)情考慮,數(shù)量積公式的直接使用和建系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生易于接受和掌握,也是學(xué)生解答此類問題的首選方法,其中的難點(diǎn)是兩個(gè)向量夾角的計(jì)算,以及恰當(dāng)建系和在坐標(biāo)系中正確書寫點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)確進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算. 突破難點(diǎn)的方法則是提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng). 而平面向量的射影定義和平面向量基本定理這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在解題中的靈活運(yùn)用恰恰是學(xué)生所欠缺的,因此這兩個(gè)內(nèi)容值得花費(fèi)時(shí)間和精力引導(dǎo)學(xué)生的思維走向深入,力求在問題解決的過程中引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過程,通過變式訓(xùn)練和高考試題演練,幫助學(xué)生進(jìn)一步感悟、提煉、歸納和鞏固,從而促使學(xué)生有意識(shí)地從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā),多思少算,提升數(shù)學(xué)思維,達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的.

    (2)平面向量基本定理的運(yùn)用.

    基本概念:[e1,e2]是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量[a,] 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)[λ1,λ2,] 使[a=λ1e1+λ2e2,] 其中[e1,e2]是一組基底.

    深度認(rèn)知:平面向量基本定理在解題中的靈活運(yùn)用.

    題目2? 在平行四邊形[ABCD]中,[∠DAB=π3,AB=2,] [AD=1,] 若[M,N]分別是邊[BC,CD]上的點(diǎn),且滿足[BMBC=CNCD,] 則[AM ? AN]的最大值為(? ? ).

    (A)2? ? ?(B)4? ? ?(C)5? ? ?(D)6

    解析:如圖6,利用平面向量基本定理選取不共線向量[AB]和[AD]為一組基底.

    設(shè)[BMBC=CNCD=λ,0≤λ≤1,]

    則[AM=AB+BM=AB+λ?BC=AB+λ?AD, AN=AD+]

    [DN=AD+1-λDC=1-λAB+AD.]

    所以[AM ? AN=AB+λAD1-λAB+AD=1-λ ?][AB2+1+λ-λ2AB ? AD+λAD2=1-λ×22+1+λ-λ2×][2×1×cosπ3+λ×12=-λ2-2λ+5=-λ+12+6.]

    所以當(dāng)[λ=0]時(shí),[AM ? AN]取得最大值5.

    真題演練:(2018年天津卷·理8)如圖7,在平面四邊形[ABCD]中,[AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=][AD=1.] 若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則[AE ? BE]的最小值為(? ? ).

    (A)[2116] (B)[32]

    (C)[2516] (D)3

    解析:如圖8,根據(jù)題意,結(jié)合此題所涉及平面圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)O,易知[△CBO]為直角三角形,[∠BOC=30°,OA=2,OD=3.]

    連接BD,由已知條件,在[△BAD]中利用余弦定理易求出[BD=3.]

    由[AB=AD,∠BAD=120°,] 得

    [∠ADB=∠ABD=30°.]

    所以[∠BDC=60°.]

    而由已知易知[∠DCB=60°,]

    所以[△BDC]是正三角形.

    所以[DC=BC=DB=3.]

    所以[CO=23.]

    由平面向量基本定理,選取不共線向量[OA]和[OC]為一組基底,

    設(shè)[OE=λOC, 12≤λ≤1,]

    則[AE=AO+OE=AO+λOC=-OA+λOC, BE=]

    [BO+OE=-32OA+λOC.]

    所以[AE ? BE=-OA+λOC-32OA+λOC=32OA2-][52λ?OA ? OC+λ2OC2=12λ2-52λOAOCcosOA, OC+]

    [6=12λ2-15λ+6=12λ-582+2116.]

    所以當(dāng)[λ=58]時(shí),[AE ? BE]取得最小值[2116].

    這兩道題目通過恰當(dāng)建系將向量問題代數(shù)化,均可獲解. 上述利用平面向量基本定理解答的方法則是在學(xué)生深刻理解題意,明確平面圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,選取一組基底,同時(shí)用基底表示待求問題中的兩個(gè)向量,再利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算公式將求向量數(shù)量積的最值問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題,這顯然進(jìn)入了求解最值問題的常見思路,這正是深度學(xué)習(xí)所要達(dá)到的目的——學(xué)會(huì)遷移,即在遇到新問題時(shí)能夠運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和技能加以解決. 遷移不僅是學(xué)習(xí)結(jié)果在變化了的條件下的運(yùn)用,更是完成新的學(xué)習(xí)任務(wù)的基本條件. 學(xué)生掌握的知識(shí)與技能、已獲得的經(jīng)驗(yàn),通過廣泛的遷移,不斷被歸納、強(qiáng)化和運(yùn)用,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解決問題的能力,因此在教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí),識(shí)別不同表象下知識(shí)、技能、方法間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和問題本質(zhì),才能發(fā)展學(xué)生觸類旁通、舉一反三、運(yùn)籌帷幄地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

    3. 拓展提升

    題目3? 如圖9,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦(球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦),P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí),[PM ? PN]的取值范圍是? ? ? ?.

    解法1:根據(jù)題意,MN是正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)切球的最長(zhǎng)弦,故MN應(yīng)該是內(nèi)切球的直徑,則MN = 2.

    設(shè)M,N分別是內(nèi)切球在正方體左、右側(cè)面的切點(diǎn). 如圖10,當(dāng)點(diǎn)P在正方體的表面運(yùn)動(dòng),且與正方體的某個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí),[PM ? PN]達(dá)到最大值.

    以點(diǎn)P與點(diǎn)[C1]重合為例,此時(shí)[PM ? PN=C1M ?][C1N=C1MC1NcosC1M, C1N. C1McosC1M, C1N]是[C1M]在[C1N]方向上的射影.

    如圖10,顯然[C1M]在[C1N]方向上的射影的最大值是[C1N=222=2.] 此時(shí)[PM ? PN=C1N2=2.]

    而當(dāng)點(diǎn)P與正方體的某個(gè)面的中心重合時(shí),[C1M]在[C1N]方向上的射影的最小值是0,所以[PM ? PN]的取值范圍是[0,2.]

    解法2:已知正方體的棱長(zhǎng)為2,由題意知正方體內(nèi)切球的半徑為1,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為[23.] 當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí),MN應(yīng)為內(nèi)切球的直徑.

    如圖11,設(shè)內(nèi)切球的球心為O,不妨選取不共線向量[OP, ON]為一組基底,

    可得[PM=PO+OM=-OP-ON, PN=PO+ON=][-OP+ON.]

    所以[PM ? PN=-OP-ON-OP+ON=OP2-ON2=][OP2-1.]

    因?yàn)辄c(diǎn)P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),

    故[OP∈1, 3,]

    所以[PM ? PN]的取值范圍是[0,2.]

    題目3將向量問題拓展到了空間,看似復(fù)雜,實(shí)則說明在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深入理解題意,并能從立體圖形中提取與待求量相關(guān)的最基本的平面圖形,最終追根溯源對(duì)基本圖形進(jìn)行深入分析,逐步建構(gòu)待求量與已知知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián),將所學(xué)知識(shí)遷移到待解決問題的思維結(jié)構(gòu)中,并在獨(dú)立思考和試誤中產(chǎn)生頓悟,最終利用平面向量的射影定義或找到一組恰當(dāng)?shù)幕?,借助平面向量基本定理獲解.

    學(xué)之道在于“悟”. 對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解需要有長(zhǎng)時(shí)間悟的過程,而這一過程恰恰是學(xué)生自我思考、自我試誤、自我反思、自我總結(jié)的過程. 不同的思維切入點(diǎn),往往能夠獲得不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和感悟,正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”. 這就要求學(xué)生在“悟”中不斷提升高階知能的生成,通過有啟發(fā)性的學(xué)習(xí)和活動(dòng)促使學(xué)生深度參與思考,恰切采用高層次學(xué)習(xí)方略,達(dá)到遷移應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)高階知能在全新情境中的應(yīng)用的有意義學(xué)習(xí).

    參考文獻(xiàn):

    [1]何玲,黎加厚. 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J]. 現(xiàn)代教學(xué),2005(5):29-30.

    2196501705379

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