基于四個(gè)理解的“弧度制”教學(xué)設(shè)計(jì)

林偉芬

摘? 要：在三角函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)下，本教學(xué)設(shè)計(jì)利用圓周運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象引入弧度制，并說明其必要性和價(jià)值，借助信息技術(shù)與弧長(zhǎng)公式探究1弧度的意義，讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)新的單位制的研究路徑及其應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到四個(gè)理解：理解數(shù)學(xué)，明確課堂研究路徑;理解學(xué)生，立足學(xué)生思維發(fā)展;理解技術(shù)，為高效課堂助力;理解教學(xué)，以問題串引領(lǐng)課堂.

關(guān)鍵詞：弧度制;研究路徑;思維發(fā)展;問題串;四個(gè)理解

本節(jié)課力求體現(xiàn)新課程和新教材的理念，構(gòu)建高效課堂，真正讓學(xué)生理解概念、學(xué)會(huì)思維，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析

本節(jié)課為人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”第一節(jié)“任意角與弧度制”第2課時(shí)的內(nèi)容.

1. 內(nèi)容

弧度制的概念及弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.

2. 內(nèi)容解析

（1）弧度制的本質(zhì).

弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度度量角的大小，即定義長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)圓心角的大小為1弧度，將弧長(zhǎng)與半徑的度量單位統(tǒng)一為十進(jìn)制. 高中函數(shù)的概念中要求函數(shù)必須是實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)，只有這樣才能進(jìn)行基本初等函數(shù)的運(yùn)算（四則運(yùn)算、復(fù)合、求反函數(shù)等），使函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性. 三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的函數(shù)模型，但有些現(xiàn)象中的自變量不是角度，如鐘擺、潮汐現(xiàn)象等的自變量是時(shí)間，因此必須建立弧度制，將角與實(shí)數(shù)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而為建立三角函數(shù)的概念做鋪墊.

（2）蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

在如何合理用十進(jìn)制實(shí)數(shù)定義弧度制這一新概念的探究過程中，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的探究過程及推理思想方法;通過類比角度制的1度角，定義弧度制中的“1個(gè)單位”角，滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法.

（3）知識(shí)的上下位關(guān)系.

小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的[0°]～[360°]角是任意角中的一部分內(nèi)容. 弧度制是角度制外另一種度量角大小的單位制度，兩者屬于并列關(guān)系. 角的推廣及弧度制的引入建立了角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

（4）育人價(jià)值.

弧度制的引入是在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造，讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)新的單位制的研究路徑及其應(yīng)用價(jià)值，落實(shí)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”的核心素養(yǎng)理念. 融入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生追溯弧度制的來(lái)源和價(jià)值，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和深化的過程，體會(huì)其中蘊(yùn)涵的人文精神.

3. 教學(xué)重點(diǎn)

1弧度的意義，角度與弧度的互化.

二、目標(biāo)及目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）理解1弧度角的意義，建立弧度制的概念，知道弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度來(lái)度量角的大小. 掌握角度制與弧度制的互化，知道一些特殊角的弧度;能夠通過弧度制的定義推導(dǎo)出弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.

（2）在探究如何科學(xué)、合理地定義弧度制這一新概念的過程中，體會(huì)從特殊到一般、類比的探究過程，以及數(shù)學(xué)思想方法.

（3）通過弧度概念的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，體會(huì)引入弧度制的必要性及其價(jià)值，感受數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折性，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的人文精神.

2. 目標(biāo)解析

（1）能用自己的語(yǔ)言解釋弧度制的本質(zhì)，并能說明其合理性.

（2）能夠利用弧度制的定義推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.

（3）能進(jìn)行角度制和弧度制的換算.

（4）能說明弧度制下角的集合可以與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在弧度制建立的數(shù)學(xué)史中體會(huì)它曲折的發(fā)展歷程（人文價(jià)值）和在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用價(jià)值及科學(xué)價(jià)值.

三、教學(xué)問題診斷解析

1. 問題診斷

讓學(xué)生體會(huì)引入弧度制的必要性是第一個(gè)教學(xué)問題. 學(xué)生在小學(xué)和初中已經(jīng)習(xí)慣使用角度制對(duì)角進(jìn)行度量，如果不能體會(huì)到引入弧度制的合理性和必要性，認(rèn)為它是一種“規(guī)定”，可能會(huì)對(duì)弧度制學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸情緒. 我們通過摩天輪的情境引入，讓學(xué)生感受用弧長(zhǎng)、半徑和圓心角來(lái)刻畫點(diǎn)的位置時(shí)，由于弧長(zhǎng)（十進(jìn)制）和圓心角（六十進(jìn)制）的進(jìn)制不同給解決問題帶來(lái)不便，從而引發(fā)用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的需求的思考;通過數(shù)學(xué)史背景的介紹，了解數(shù)學(xué)家們?cè)谌菍W(xué)的發(fā)展中統(tǒng)一角度和弧長(zhǎng)單位上所做的努力，感知弧度制產(chǎn)生的必要性;通過角度制和弧度制的換算的鞏固練習(xí)，感受角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并讓學(xué)生了解這種對(duì)應(yīng)關(guān)系能夠解決角度制下無(wú)法解決的基本初等函數(shù)的運(yùn)算問題，體會(huì)弧度制的價(jià)值;利用弧度制下的扇形弧長(zhǎng)和面積公式，體會(huì)弧度制的優(yōu)越性.

如何構(gòu)建弧度制是第二個(gè)教學(xué)問題. 我們將教育信息技術(shù)探究和公式推理論證相結(jié)合，讓學(xué)生在直觀感知的前提下，從特殊到一般地體會(huì)利用[lr]刻畫圓心角的大小的合理性，并類比角度制中1度角的概念自主建構(gòu)1弧度的概念，經(jīng)歷概念生成的過程，從而加深對(duì)概念的理解，突破難點(diǎn).

2. 教學(xué)難點(diǎn)

弧度制所反映的數(shù)學(xué)思想方法.

四、教學(xué)支持條件分析

本節(jié)課需要借助教育信息技術(shù)手段幫助學(xué)生深入理解弧度的概念，改變圓形和扇形的半徑，體會(huì)利用弧長(zhǎng)與半徑的比定義弧度的合理性，還需要利用計(jì)算器進(jìn)行弧度制與角度制的互化. 因此，本節(jié)課將采用作圖軟件和計(jì)算器作為教學(xué)支持條件.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

引導(dǎo)語(yǔ)：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了任意角的概念，將角的范圍從[0°]～[360°]擴(kuò)大到了任意角. 作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，我們有必要研究任意角的度量問題. 說到度量，生活中度量一個(gè)量有很多不同的單位制，為解決不同的問題帶來(lái)了方便. 例如，度量長(zhǎng)度可以用米、千米、英尺、碼等單位. 你還能舉個(gè)例子嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生舉例交流. 例如，度量溫度可以用攝氏度、華氏度、開爾文等單位;度量質(zhì)量可以用克、千克、噸、磅等單位.

環(huán)節(jié)1：情境引入.

深圳前海灣畔美麗的“灣區(qū)之光”摩天輪，目前已成為了粵港澳大灣區(qū)的新地標(biāo). 當(dāng)摩天輪不斷旋轉(zhuǎn)時(shí)，轎廂會(huì)周而復(fù)始運(yùn)動(dòng). 我們用數(shù)學(xué)眼光來(lái)看待轎廂，可以將它抽象成一個(gè)點(diǎn).

問題1：如圖1，轎廂從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，點(diǎn)P的位置可以由哪些量確定？

預(yù)設(shè)：可以由半徑和圓心角決定;可以由半徑和弧[PP0]的長(zhǎng)度決定.

追問1：點(diǎn)P的位置可由半徑、圓心角或弧長(zhǎng)確定，但是這些量的進(jìn)制不同，會(huì)給我們研究問題帶來(lái)不便，這個(gè)問題該怎么解決？

追問2：我們學(xué)過的哪個(gè)公式體現(xiàn)了弧長(zhǎng)與圓心角之間的關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)確定點(diǎn)的位置時(shí)角（六十進(jìn)制）與弧長(zhǎng)（十進(jìn)制）的進(jìn)制不同會(huì)給解決問題帶來(lái)不便，引出要用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)表示角的大小，并回顧扇形弧長(zhǎng)公式[l=nπr180.]

【設(shè)計(jì)意圖】本情境基于大單元教學(xué)的理念，與借助三角函數(shù)來(lái)刻畫周期現(xiàn)象的單元教學(xué)目標(biāo)相呼應(yīng). 圓周運(yùn)動(dòng)是典型的周期性變化現(xiàn)象，而摩天輪上的點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)又不失一般性，這個(gè)過程可以理解為一個(gè)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的過程. 同時(shí)，由弧長(zhǎng)與圓心角的進(jìn)制不同產(chǎn)生認(rèn)知上的矛盾，讓學(xué)生體會(huì)引入新的單位制來(lái)表示角的必要性，從而自然引出本節(jié)課的探究問題——如何用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)表示角的大小.

環(huán)節(jié)2：合作探究.

探究：如何用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)表示角的大??？

問題2：根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式[l=nπr180，] 發(fā)現(xiàn)角的大小與什么量有關(guān)？

追問1：只確定半徑能確定角的大小嗎？只確定弧長(zhǎng)呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察扇形弧長(zhǎng)公式，并發(fā)現(xiàn)角的大小與弧長(zhǎng)和半徑有關(guān)，但是只確定半徑或者弧長(zhǎng)都不能確定角的大小，教師引導(dǎo)學(xué)生思考要尋找弧長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系.

追問2：當(dāng)角的大小確定時(shí)，改變扇形的半徑，觀察實(shí)驗(yàn)規(guī)律.

師生活動(dòng)：教師借助GeoGebra軟件演示弧長(zhǎng)隨著半徑變化的過程，學(xué)生觀察、探究、歸納.

觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果：當(dāng)角[α]的大小確定時(shí)，[lr]也是確定的.

追問3：能推理論證你觀察到的規(guī)律嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生利用扇形弧長(zhǎng)公式的變式[lr=nπ180]推理論證——[lr]隨著[α]的確定而唯一確定.

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，利用扇形的弧長(zhǎng)公式引發(fā)學(xué)生對(duì)弧長(zhǎng)與半徑關(guān)系的思考，借助GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)后再進(jìn)行推理論證，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“猜想—證明”的探究過程，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

環(huán)節(jié)3：生成概念.

在定義一種度量制度時(shí)，必須先對(duì)1個(gè)單位進(jìn)行規(guī)定，然后再用它去度量其他的量. 例如，度量長(zhǎng)度時(shí)，1個(gè)單位就是1米;角度制下，1個(gè)單位就是1度角.

問題3：角度制下，1個(gè)單位是1度角，它的大小是怎么規(guī)定的？

追問1：能否類比角度制，利用比值[lr]來(lái)定義新的“1個(gè)單位”？

師生活動(dòng)：小組討論交流并展示，教師點(diǎn)評(píng).

預(yù)設(shè)生成如下.

生1：類比角度制，我們組定義[lr=π]時(shí)的角是新的“1個(gè)單位”角.

生2：類比角度制，我們組定義[lr=1]時(shí)的角是新的“1個(gè)單位”角.

……

師：其實(shí)只要角能由比值唯一確定，這些規(guī)定都是合理的，同學(xué)們更喜歡哪一種定義？為什么？

生：更喜歡第二種，因?yàn)楸容^簡(jiǎn)潔.

師：好，出于簡(jiǎn)潔性我們選擇第二種定義，那么當(dāng)[lr=1]時(shí)，這個(gè)新的“1個(gè)單位”角是唯一確定的嗎？試回答追問2.

追問2：你定義的“1個(gè)單位”與圓的大小有關(guān)嗎？是唯一確定的角嗎？試著用角度來(lái)表示你定義的“1個(gè)單位”角.

師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下小組討論回答問題并展示方案，比較不同的定義方案，得到相對(duì)比較合適的“1個(gè)單位”角的定義——取[lr=1.] 新的“1個(gè)單位”角與圓的大小無(wú)關(guān)，當(dāng)[lr=1，] 即[nπ180=1]時(shí)，定義的單位角是唯一確定的，而且該角在角度制下可表示為[n°°°=180π°°]≈57.3°，此時(shí)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑剛好相等.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷概念的自主建構(gòu)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過程，并在追問2中讓學(xué)生體會(huì)定義“1個(gè)單位”角的合理性，即1弧度角的大小由[lr=1]唯一確定.

定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做[1]弧度（radian）的角，記作1 rad，讀作1弧度. 我們把這種用弧度作為單位來(lái)度量角的單位制稱為弧度制.

既然角的大小與半徑無(wú)關(guān)，為了方便，我們可以直觀地取成單位圓（半徑為[1]的圓）來(lái)表示，在單位圓[O]中，弧[AB]的長(zhǎng)等于[1]，[∠AOB]就是[1]弧度的角.簡(jiǎn)記為[1rad]，讀作1弧度.

師生活動(dòng)：教師用希沃?jǐn)?shù)學(xué)畫板演示1弧度角的生成動(dòng)畫，并追問如何作出[2 rad，-0.5 rad，2π rad]等弧度制下的角，學(xué)生思考并回答.

追問3：如何用弧度制來(lái)表示任意角？

師生活動(dòng)：學(xué)生利用定義，結(jié)合用希沃?jǐn)?shù)學(xué)畫板探究的過程，從特殊角推廣到任意角，考慮到任意角[α]終邊的旋轉(zhuǎn)方向，得到定量表示：[α=lr.]

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體驗(yàn)單位定義的過程——定義一種新的單位制，往往先定義1個(gè)單位，然后再以它為標(biāo)準(zhǔn)去表示其他的量，從而得到弧度角的絕對(duì)值公式.

師生活動(dòng)：教師播放介紹弧度制曲折發(fā)展歷程及應(yīng)用價(jià)值的小視頻（時(shí)長(zhǎng)[1]分[30]秒），學(xué)生觀看. 教師板書定義和公式，并在視頻播放后補(bǔ)充：隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，同學(xué)們對(duì)弧度制的價(jià)值能體會(huì)更深.

【設(shè)計(jì)意圖】利用數(shù)學(xué)史料讓學(xué)生更全面、深入地了解弧度制的概念，感受數(shù)學(xué)知識(shí)曲折的發(fā)展歷程，體會(huì)其中蘊(yùn)涵的人文精神，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

環(huán)節(jié)4：概念深化.

問題4：對(duì)于一個(gè)角的大小，我們已經(jīng)有了兩種角的度量制，對(duì)此你能想到什么？你還想研究什么問題？

預(yù)設(shè)：度量同一種對(duì)象的兩種度量制，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，我想研究弧度制的價(jià)值，以及弧度制與角度制之間的聯(lián)系和區(qū)別……

追問：你認(rèn)為聯(lián)系兩種度量制的橋梁是什么？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從最熟悉的周角或平角出發(fā)，用角度制和弧度制分別表示，從而建立聯(lián)系. 利用[180°=π rad]，接下來(lái)只要單位化就可以得出換算公式了.

[180°=π rad?1°°=π180 rad≈0.017 45 rad，1rad=180π°°≈57.3°°=57°°18.]

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題4提醒學(xué)生研究問題是怎么發(fā)現(xiàn)的，從不同角度去刻畫同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，所得到的結(jié)論之間一定存在內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)基本任務(wù). 關(guān)于換算公式的探究，關(guān)鍵是找到聯(lián)系兩種度量制的“橋梁”. 讓學(xué)生提出想研究的問題，促使學(xué)生開展主動(dòng)學(xué)習(xí)，在落實(shí)“四基”的過程中，培養(yǎng)學(xué)生一般觀念下對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究路徑的思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)5：學(xué)以致用.

例1? 按照下列要求，把[67°30]化成弧度.

（1）精確值;

（2）精確到[0.001]的近似值.

師生活動(dòng)：教師帶領(lǐng)學(xué)生一起思考，提醒學(xué)生換算的關(guān)鍵是利用[180°=][πrad]，教師板演. 對(duì)于第（2）問，教師演示利用windows自帶的計(jì)算器“（角）度”化“弧度”計(jì)算功能求近似值，如圖2所示.

預(yù)設(shè)答案：（1）因?yàn)閇67°30=1352°，]

所以[67°30=1352×π180 rad=3π8 rad.]

（2）[67°30≈1.178 rad.]

【設(shè)計(jì)意圖】熟悉角度化弧度，學(xué)會(huì)借助計(jì)算工具來(lái)計(jì)算.

例2? 將[3.14 rad]換算成角度（用度數(shù)表示，精確到[0.001.]）

師生活動(dòng)：如圖3，教師演示計(jì)算器中“弧度”化“（角）度”功能的用法，學(xué)生讀出近似值. 得出[3.14 rad≈179.909°，]可以簡(jiǎn)寫為[3.14≈179.909°.°] 教師說明：今后用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“[rad]”通常省略不寫，而只寫該角所

對(duì)應(yīng)的弧度數(shù). 例如，[α=2]表示[2]弧度的角;[sinπ6]表示[π6 rad]角的正弦值.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉弧度化角度，教師在此向?qū)W生說明單位可以省略的寫法.

當(dāng)堂檢測(cè)1：填寫下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表.

師生活動(dòng)：一名學(xué)生在黑板上填寫，其余學(xué)生填在教材上. 利用[180°=π，] 師生共同批改和糾錯(cuò).

師：關(guān)于角度和弧度的換算，你找到竅門了嗎？

關(guān)鍵：[180°=π].

師：這種等量關(guān)系能體現(xiàn)任意角的集合與實(shí)數(shù)集之間怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生在教師引導(dǎo)下尋找一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：如圖4，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù);反之也成立.

師：有了這樣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，它就能解決一些在以前看起來(lái)沒有意義的問題. 例如，角度制下[30°]與[sin30°]相加無(wú)意義，而弧度制下[π6]和[sinπ6=12]可以進(jìn)行實(shí)數(shù)加法，是不是非常地神奇呢？實(shí)數(shù)是一種絕佳的度量工具，弧度制作為一種新的度量工具，使得這些量在實(shí)數(shù)意義下變得可測(cè)量、可比較、可運(yùn)算，為我們打開了一扇通往新世界的大門！

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)角度與弧度互化的本質(zhì)進(jìn)行過程性總結(jié)，體會(huì)角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為下節(jié)課學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)做鋪墊. 有了弧度制后能解決一些原來(lái)沒有意義的問題，打開學(xué)生的視野，對(duì)學(xué)生的思維提出了挑戰(zhàn)，讓學(xué)生感受新的單位制創(chuàng)立過程中的創(chuàng)新精神.

當(dāng)堂檢測(cè)2：利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式.

（1）[l=αR;]（2）[S=12αR2;]（3）[S=12lR.]

其中[R]是圓的半徑，[α 0<α<2π]為圓心角，[l]是扇形的弧長(zhǎng)，[S]是扇形的面積.

師生活動(dòng)：學(xué)生自主完成證明，體會(huì)弧度制下的扇形公式比角度制下簡(jiǎn)潔. 教師借助希沃白板手機(jī)端的工作臺(tái)拍照將具有代表性的學(xué)生解答上傳至大屏幕，師生共同糾錯(cuò)和點(diǎn)評(píng).

【設(shè)計(jì)意圖】在角度制下，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了扇形的弧長(zhǎng)和面積公式，讓學(xué)生在弧度制下證明以上三個(gè)公式，關(guān)鍵是將角度轉(zhuǎn)化為弧度，從而簡(jiǎn)化角度制下的扇形公式，通過對(duì)比讓學(xué)生體會(huì)弧度制的引入在簡(jiǎn)化三角公式方面的價(jià)值.

環(huán)節(jié)6：總結(jié)提升.

問題5：（1）回顧本節(jié)課的研究過程，我們是怎樣開展對(duì)弧度制的研究的？

（2）我們是根據(jù)什么思路展開對(duì)一種度量單位的制定的？

（3）你認(rèn)為利用弧度制我們可以解決怎樣的問題？

師生活動(dòng)：學(xué)生自主回顧、歸納和總結(jié)（可小組交流），教師適時(shí)點(diǎn)撥和提煉觀點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】前兩個(gè)問題意在促進(jìn)學(xué)生梳理本節(jié)課的研究問題和研究思路，讓學(xué)生不僅掌握知識(shí)和技能，還學(xué)會(huì)一種新的單位制的研究路徑：度量需要—尋找標(biāo)準(zhǔn)—制定單位—定量表示—單位換算，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，完善知識(shí)體系. 第三個(gè)問題意在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)弧度制作為一種新的度量工具，為我們打開了一扇通往新世界（三角函數(shù)）的大門，能夠解決一些我們從前解決不了的問題，讓學(xué)生充分體會(huì)引入弧度制的必要性和價(jià)值. 并且教會(huì)學(xué)生用一種新的數(shù)學(xué)眼光來(lái)看世界，用新的語(yǔ)言工具來(lái)表達(dá)世界，用新的思維來(lái)思考世界，讓學(xué)生對(duì)下節(jié)課三角函數(shù)的學(xué)習(xí)提前作出思考，且充滿期待.

環(huán)節(jié)7：目標(biāo)檢測(cè).

檢測(cè)1：把下列角度化成弧度.

（1）22°30′;（2）-210°;（3）1 200°.

檢測(cè)2：把下列弧度化成角度.

（1）[π12;]（2）[-4π3;]（3）[3π10.]

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)弧度與角度互化知識(shí)的掌握情況.

檢測(cè)3：用弧度表示：（1）終邊在[x]軸上的角的集合;（2）終邊在[y]軸上的角的集合.

【設(shè)計(jì)意圖】此題在任意角中已考查過，在弧度制下繼續(xù)考查，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用弧度制表示任意角，并且注意不同單位制不能混用.

檢測(cè)4：已知半徑為120 mm的圓上，有一條弧的長(zhǎng)是144 mm，求該弧所對(duì)的圓心角（正角）的弧度數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】考查弧度的概念，以及對(duì)弧度制下弧長(zhǎng)公式的掌握情況.

檢測(cè)5：已知扇形的周長(zhǎng)為40 cm，求此扇形面積的最大值.

【設(shè)計(jì)意圖】考查與扇形公式有關(guān)的綜合問題.

知識(shí)拓展： 弧度制與最重要的無(wú)理數(shù)[π]有著極密切的關(guān)系，任意圓周長(zhǎng)與直徑之比都等于[π，]它具有傳奇色彩和浪漫的詩(shī)意，對(duì)它的研究推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展. 請(qǐng)大家查閱數(shù)學(xué)史，感受[π]的無(wú)窮魅力和巨大威力，了解更多關(guān)于弧度制思想的發(fā)展歷史和應(yīng)用，或者了解一些其他的角的度量制及它們的應(yīng)用.

六、板書設(shè)計(jì)

本節(jié)課的整體板書設(shè)計(jì)如圖5所示.

七、教學(xué)評(píng)價(jià)及反思

1. 教學(xué)評(píng)價(jià)

評(píng)價(jià)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，教師可以基于對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)，反思教學(xué)過程，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而提出改進(jìn)思路.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)）》指出，教學(xué)評(píng)價(jià)要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能的掌握，還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和習(xí)慣，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成. 概念課的評(píng)價(jià)原則：一是重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成;二是重視評(píng)價(jià)的整體性與階段性;三是重視過程評(píng)價(jià);四是關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度. 筆者認(rèn)為，好的探究性問題和課堂的階段性小結(jié)就是對(duì)學(xué)生思維的一種很好的過程性評(píng)價(jià). 本節(jié)課中有相當(dāng)數(shù)量的開放性問題，給學(xué)生提供了思維空間和表達(dá)交流的機(jī)會(huì). 每個(gè)開放性問題，教師都可以通過學(xué)生的回答、展示和交流，在學(xué)習(xí)的過程中不斷推動(dòng)學(xué)生對(duì)知識(shí)間的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系做出自己的思考，并且從學(xué)生的反饋中對(duì)他們是否已經(jīng)掌握知識(shí)及其脈絡(luò)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是否有所提升做出過程性評(píng)價(jià). 當(dāng)然，評(píng)價(jià)方式除了傳統(tǒng)的習(xí)題書寫測(cè)驗(yàn)外，還可以采用課堂觀察、口頭檢測(cè)、開放式活動(dòng)中的表現(xiàn)、課內(nèi)外作業(yè)等評(píng)價(jià)方式.

2. 教學(xué)反思

無(wú)論是準(zhǔn)備這節(jié)課的過程還是上完這節(jié)課后，筆者都在思考，如何才能體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，構(gòu)建高效的課堂，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)？章建躍博士提出的理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)，筆者深以為然. 四個(gè)理解的水平是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效益的決定性因素，也是有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備條件. 因此，筆者從四個(gè)理解上進(jìn)行鉆研，力求使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在教學(xué)過程中.

（1）理解數(shù)學(xué)，明確課堂研究路徑.

理解數(shù)學(xué)，就是要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對(duì)內(nèi)容中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法要有深入理解，要對(duì)一些具有統(tǒng)攝性的“一般觀念（big idea）”有深入理解并能自覺應(yīng)用. 在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，在“一般觀念”的引領(lǐng)下，“弧度制”的學(xué)習(xí)屬于任意角概念研究路徑“背景—定義—度量—運(yùn)算—性質(zhì)”中的“任意角的度量”這一環(huán)，從這個(gè)宏觀視角切入，讓學(xué)生感到弧度制的學(xué)習(xí)是自然、合理的. 弧度制以用實(shí)數(shù)度量角為目標(biāo)，以建立一種度量制的基本原則和方法（度量需要—尋找標(biāo)準(zhǔn)—制定單位—定量表示—單位換算）為指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，解決了如何建立弧度制及角的度量制的內(nèi)在聯(lián)系等問題. 這節(jié)課弧度制的建構(gòu)過程是“背景（引入弧度制的必要性、如何定義是合理的）—定義—表示”，遵循了概念教學(xué)的一般套路，讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的概念建構(gòu)的過程，并引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出本節(jié)的核心問題. 在“一般觀念”的引領(lǐng)下，整個(gè)課堂的生成自然流暢、水到渠成.

（2）理解學(xué)生，立足學(xué)生思維發(fā)展.

理解學(xué)生，就是要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律，把握中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn). 為了幫助學(xué)生提高思維品質(zhì)，需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)采用符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方式，從學(xué)生的角度出發(fā)，立足他們的知識(shí)儲(chǔ)備，引發(fā)思考，探究數(shù)學(xué)知識(shí). 學(xué)生已經(jīng)有了一定的概念形成及角度制的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并且在初中學(xué)習(xí)過扇形的弧長(zhǎng)公式，生活中也有較多的圓周運(yùn)動(dòng)體驗(yàn). 立足于這些基礎(chǔ)，弧度制的學(xué)習(xí)應(yīng)該給學(xué)生設(shè)置合適的問題情境，從已有的公式出發(fā)，給學(xué)生提供充分的類比探究和自主建構(gòu)概念的空間. 通過回顧初中已學(xué)的弧長(zhǎng)公式，發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系，并利用信息技術(shù)進(jìn)行觀察而后借助公式進(jìn)行推理論證，再用類比的方法對(duì)1弧度的角進(jìn)行定義，啟發(fā)學(xué)生思考兩種已學(xué)度量制的內(nèi)在聯(lián)系，符合學(xué)生從形象到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生感受新、舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 這樣設(shè)計(jì)，既培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維，又引發(fā)了學(xué)生對(duì)新知的自主建構(gòu)過程，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的邏輯思維.

（3）理解技術(shù)，為高效課堂助力.

理解技術(shù)，就是要懂得如何有效利用技術(shù)促進(jìn)學(xué)生的學(xué)和教師的教，將抽象內(nèi)容可視化，靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化，借助技術(shù)改變課堂生態(tài)，實(shí)現(xiàn)大面積個(gè)性化的教學(xué)和優(yōu)質(zhì)資源的共享. 這節(jié)課融入的信息技術(shù)手段，主要是為了解決以下幾個(gè)問題：① 在靜態(tài)的弧長(zhǎng)公式[l=nπr180]中變形得到[lr=nπ180，] 從而尋找度量角的十進(jìn)制實(shí)數(shù)有一定的難度，學(xué)生一般無(wú)法直接找到[lr]這個(gè)量，需要教師進(jìn)行適當(dāng)鋪墊. 使用信息技術(shù)可以動(dòng)態(tài)地表示角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程及可改變半徑的扇形，因此有利于學(xué)生觀察角、半徑及弧長(zhǎng)的大小變化. 利用GeoGebra軟件，從形的角度可以直觀看出角的大小確定時(shí)，弧長(zhǎng)與半徑的比值是不變的，學(xué)生再?gòu)臄?shù)的角度根據(jù)弧長(zhǎng)公式去推理證明方向就明確多了——信息技術(shù)的融合滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，也培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). ② 1弧度角無(wú)法尺規(guī)作圖. 為了讓學(xué)生感知1弧度角的大小和定義，利用希沃?jǐn)?shù)學(xué)畫板動(dòng)態(tài)展示它的形成過程（將長(zhǎng)度為1的半徑彎曲形成弧長(zhǎng)），加深了學(xué)生對(duì)概念的直觀感知. ③ 一些非特殊角不方便進(jìn)行角度與弧度互化的運(yùn)算，需要借助計(jì)算器. ④ 如何將靜態(tài)的數(shù)學(xué)文化的知識(shí)更生動(dòng)活潑地融入課堂. 本節(jié)課采用了將數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容錄制成微課小視頻的方式傳遞給學(xué)生，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多個(gè)感官，使其經(jīng)歷弧度制演變的歷史過程，了解其本質(zhì)，并加以適當(dāng)應(yīng)用，能幫助學(xué)生更好地理解弧度制及其優(yōu)勢(shì). 在增加趣味性的同時(shí)，作為課堂內(nèi)容的一種擴(kuò)展和補(bǔ)充，讓學(xué)生更深刻地感受到弧度制概念產(chǎn)生的曲折歷程，激發(fā)學(xué)生的研究動(dòng)力和科研精神.

（4）理解教學(xué)，以問題串引領(lǐng)課堂.

理解教學(xué)，就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律，按教學(xué)規(guī)律辦事. 章建躍博士提出，教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵詞是“情境—問題—活動(dòng)—結(jié)果”，在教學(xué)過程中幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解的數(shù)學(xué)知識(shí). 為了讓學(xué)生感受弧度制與三角函數(shù)大單元的聯(lián)系，本節(jié)課采用“灣區(qū)之光”摩天輪上的點(diǎn)周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)的生活情境，提出“問題[1]：轎廂從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，點(diǎn)P的位置可以由哪些量確定？”便于學(xué)生從中觀察和抽象出圓或扇形的弧長(zhǎng)、半徑與圓心角之間的關(guān)系，從而自然產(chǎn)生采用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的需要;提出“問題2：根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式[l=nπr180，] 發(fā)現(xiàn)角的大小與什么量有關(guān)？”促使學(xué)生從變量的角度來(lái)觀察已學(xué)公式，體驗(yàn)探究和歸納活動(dòng)，尋找變化過程中的不變性，滲透從特殊到一般的思想方法;提出“問題[3]：角度制下，1個(gè)單位是1度角，它的大小是怎么規(guī)定的？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)活動(dòng)，自主構(gòu)建1弧度的概念;提出“問題4：對(duì)于一個(gè)角的大小，我們已經(jīng)有了兩種角的度量制，對(duì)此你能想到什么？你還想研究什么問題？”推動(dòng)了學(xué)生尋找知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的思維活動(dòng)，給學(xué)生提供了自主發(fā)現(xiàn)和研究問題的空間;問題5的三個(gè)問題則是對(duì)整堂課的回顧，推進(jìn)學(xué)生歸納、總結(jié)的思維活動(dòng)，建構(gòu)和完善自身的知識(shí)體系，關(guān)注研究對(duì)象和研究路徑，理清整個(gè)知識(shí)的來(lái)龍去脈. 用五個(gè)關(guān)鍵問題形成的問題串來(lái)推進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考，讓學(xué)生根據(jù)問題解決的需要進(jìn)行觀察、思考、探究、歸納等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容展開過程中注重類比、歸納、特殊化、一般化等邏輯方法的使用，促使學(xué)生開展主動(dòng)學(xué)習(xí)，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，在落實(shí)“四基”的同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

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[5]章建躍. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)1）：《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（7）：6-11.

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