基于應(yīng)用能力培養(yǎng)的線性代數(shù)課程教學(xué)改革

汪妍++劉智++于巍

[摘要]文章針對線性代數(shù)傳統(tǒng)教學(xué)方式方法中存在的問題，對本校部分專業(yè)的線性代數(shù)課程進行了教學(xué)改革。在課堂教學(xué)改革中增加了對Matlab工具的講解和具體上機操作，提高了學(xué)生實際應(yīng)用能力；在課后教學(xué)改革中引入了CAI軟件，實現(xiàn)了大面積因材施教，同時減輕了教師的重復(fù)性勞動。本次教學(xué)改革取得了預(yù)期的成果，獲得了師生的認可。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù)；CAI；教學(xué)改革

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.31.244

1選題背景

線性代數(shù)作為一門重要的工科專業(yè)必修數(shù)學(xué)課程，是多門后續(xù)課程的基礎(chǔ)課，在培養(yǎng)大學(xué)生的計算能力、抽象思維能力和邏輯推導(dǎo)能力等方面發(fā)揮著重要的作用。隨著科技的迅速發(fā)展，僅研究單個變量之間的關(guān)系已不能滿足解決實際問題的需要，還需進一步研究多個變量之間的關(guān)系，然而涉及多個變量關(guān)系的各種實際問題大多可以線性化，伴隨計算機技術(shù)的發(fā)展，線性化問題可以通過線性代數(shù)這一工具解決。因此，今天線性代數(shù)已經(jīng)在圖像處理、計算機輔助設(shè)計、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域中起著重要的理論基礎(chǔ)作用。然而從一般高校線性代數(shù)教學(xué)實際來看，從教學(xué)內(nèi)容和方法上都注重理論體系完整，強調(diào)線性代數(shù)的基本定義、定理、性質(zhì)及其證明，反而對線性代數(shù)的應(yīng)用不夠重視。因此，有必要探索新的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生認識到線性代數(shù)在工程中的應(yīng)用性，逐步提高學(xué)生的線性代數(shù)應(yīng)用能力和計算能力，進而提高學(xué)生的就業(yè)能力和創(chuàng)業(yè)能力。

目前，線性代數(shù)的教學(xué)模式改革已被很多國家所關(guān)注。美國大學(xué)數(shù)學(xué)教育從1990年就開始了一次大的改革，成立了線性代數(shù)課程研究組（Linear Algebra Curriculum Study Group，LACSG）。1992年美國科學(xué)基金會又資助了一個ATLAST（Augment the Teaching of Linear Algebra using Software Tools）計劃，即用軟件工具（MATLAB）增強線性代數(shù)教學(xué)，強調(diào)了計算機對線性代數(shù)的重要性。到今天，國外所有線性代數(shù)教材都用了數(shù)學(xué)軟件，并且充實了大量的應(yīng)用實例，但國產(chǎn)的幾乎所有教材卻還都是20年前的老面孔。

在我國，線性代數(shù)課中不談計算機、教線性代數(shù)的老師幾乎不使用計算機，已經(jīng)成為我國線性代數(shù)教育界與發(fā)達國家的明顯差距。于是我國的線性代數(shù)課程出現(xiàn)了這樣一種奇怪的狀況——理論抽象愈來愈深，而很少應(yīng)用于實際計算，它成了一門學(xué)生感到抽象、枯燥的課程。由于缺乏感性的認識和實際應(yīng)用的推動，后續(xù)課程又往往怕麻煩而避開矩陣方程，教出來的學(xué)生當然是理論上害怕矩陣、實踐中不會用矩陣算題的。因此，線性代數(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)必然是線性代數(shù)課程體系改革的重點內(nèi)容，是教育改革的必然趨勢。

2實踐教學(xué)改革工作

2.1分析需求，確定任務(wù)

要保證高的教學(xué)水平，必須研究課程內(nèi)容該如何滿足專業(yè)課的需要。我們在進行這項工作時，以量大面廣的機械、電子、計算機專業(yè)為對象，通過分析其后續(xù)課程在矩陣建模和計算方面的需求，以確定線性代數(shù)課程的任務(wù)。我們找到了這幾個專業(yè)大學(xué)三年級前能用到線性方程的十多門課程：高等數(shù)學(xué)、化學(xué)、電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、數(shù)字信號處理、計算方法、物理、傳熱學(xué)、計算機圖形學(xué)、信號與系統(tǒng)、機械振動等。但在實際教材及教學(xué)過程中，這些課程基本上都不會用矩陣進行計算，原因就在于目前線性代數(shù)所教的內(nèi)容與后續(xù)課程的需求脫節(jié)。

根據(jù)以上分析，教改中我們將課程的實踐目標定位為：學(xué)完線性代數(shù)課程以后，學(xué)生應(yīng)該會做不低于6 階的復(fù)數(shù)矩陣運算，會解6元以上的代數(shù)方程組，會解6階三元以上的超定方程組，這是我們?yōu)榫€性代數(shù)制訂的課程要求。怎樣在不增加太多學(xué)時的前提下達到這個要求，唯一的方法就是引入計算機和軟件工具。

2.2教學(xué)資源的準備

因現(xiàn)有線性代數(shù)任課教師的計算機水平參差不齊，所以我們先后為教改小組的教師們配發(fā)了《線性代數(shù)實踐及MATLAB入門》、《工程線性代數(shù)（MATLAB版）》等教材，并利用暑假時間對教師進行培訓(xùn)，只有先提高了教師的計算機水平，能夠熟練運用軟件工具解決各類線性代數(shù)問題，才能進一步提高學(xué)生建模應(yīng)用和解題計算的能力。學(xué)生方面，我們分別選取2013級、2014級計算機專業(yè)、2015級電氣工程自動化專業(yè)作為實驗班進行教學(xué)改革實踐。

2.3課堂教學(xué)改革實踐

在教學(xué)過程中主要采用的策略是：在重視線性代數(shù)基本理論掌握的同時，在教學(xué)過程中專門安排一定課時講解Matlab工具的使用，側(cè)重Matlab計算思維方式的訓(xùn)練，讓傳統(tǒng)教學(xué)與科學(xué)工程計算相互融合。采取的主要措施如下：

2.3.1確定目標，依次教學(xué)

由于線性代數(shù)是大一第二學(xué)期開設(shè)，新生對計算機工程計算的思維并不具備，因此在上第一節(jié)課時就具體介紹線性代數(shù)教學(xué)的主要任務(wù)及需要具備的工具條件，并在課程教學(xué)中，根據(jù)課程內(nèi)容進度，基本每章都安排2學(xué)時講解相關(guān) Matlab 工具的具體使用并上機操作。

2.3.2注重理論銜接，強化應(yīng)用思維

由于面對新生，在回憶高中教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上，依次引進行列式與矩陣內(nèi)容，分析高中階段的解法，現(xiàn)在課程的解決方法及 Matlab 的工程解法，在對比學(xué)習(xí)中縮短各階段學(xué)習(xí)的思維跳躍。

2.3.3強化理論基礎(chǔ)，突出應(yīng)用培訓(xùn)

理論是解決問題的基礎(chǔ)，沒有堅實的理論基礎(chǔ)，在實用中是無法實現(xiàn)突破的，因此在線性代數(shù)教學(xué)中仔細分析相應(yīng)定義、定理及具體示例的推導(dǎo)過程，但弱化理論證明，如求矩陣的逆運算和秩比較復(fù)雜，而在 Matlab 中，矩陣的逆運算只需用函數(shù)“inv”來實現(xiàn)，矩陣的秩只需用函數(shù)“rank”就可實現(xiàn)，讓復(fù)雜煩瑣的任務(wù)交給計算機處理，大大簡化了線性代數(shù)的計算過程的復(fù)雜度。因此在課堂訓(xùn)練中，對于同一題目，大多由兩組同學(xué)進行解答，一組在黑板上用傳統(tǒng)方法進行演算，另一組在講臺上用電腦通過投影儀利用Matlab工具進行解答，然后老師再分析這兩種方案的各自特點。

2.3.4拓展思維，積極創(chuàng)新

學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論的目的是為解決具體應(yīng)用，因此在講授線性代數(shù)過程中，也不忘記拓展學(xué)生思維，因為Matlab除了能解決矩陣問題，還有更多應(yīng)用，如圖像處理、數(shù)據(jù)分類與聚集仿真、小波分析與模式識別等算法的解決，這些都可以通過程序設(shè)計解決。

2.4課后教學(xué)改革實踐

在注重提高學(xué)生應(yīng)用能力和計算能力的同時，也不能忽視對基本理論的掌握，為此，我們引入了北京信息工程學(xué)院課題組開發(fā)的線性代數(shù)課程的CAI軟件：《線性代數(shù)練習(xí)題庫管理系統(tǒng)》（下文簡稱LAMES）。該系統(tǒng)以學(xué)生通過計算機自己進行課下練習(xí)為核心，系統(tǒng)為用戶提供了1200多道6種類型三種不同難度的練習(xí)題，覆蓋面較廣，對每道題都提供了多級幫助、參考解答和答案，系統(tǒng)還對教師提供課件編輯、打印試卷及對學(xué)生練習(xí)結(jié)果進行評價和統(tǒng)計的輔助教學(xué)功能。它為學(xué)生提供了一個良好的練習(xí)環(huán)境，給教學(xué)提供了一個得力的助手。

LAMES系統(tǒng)由練習(xí)子系統(tǒng)、編輯子系統(tǒng)、統(tǒng)計子系統(tǒng)及打印子系統(tǒng)四個模塊組成。在練習(xí)子系統(tǒng)中用戶可以根據(jù)需要選擇章、類型、難度、題量、每題得分，并可隨機給出一份練習(xí)題；在編輯子系統(tǒng)中用戶可以方便地對題庫和試卷進行管理；統(tǒng)計子系統(tǒng)主要用于統(tǒng)計成績、題庫信息、成績排序；打印子系統(tǒng)可根據(jù)用戶需求組合和打印試卷。

將CAI軟件引入教學(xué)改革實踐具有以下優(yōu)點：

第一，實現(xiàn)大面積因材施教，線性代數(shù)CAI軟件可以對每個學(xué)生的學(xué)習(xí)策略作出及時判斷和反應(yīng)，并可對不同程度的學(xué)生給出具體幫助。使學(xué)生真正成為教學(xué)主體，教學(xué)不再是被動的灌輸。線性代數(shù)CAI軟件提供良好的學(xué)習(xí)和練習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生自己主動練習(xí)，從而調(diào)動了他們的積極性和主動性，提高了學(xué)習(xí)效率。

第二，線性代數(shù)CAI軟件可以減輕教師的重復(fù)性勞動（復(fù)習(xí)性輔導(dǎo)、上習(xí)題課、批改作業(yè)等），從而使教師把更多的精力用于更有創(chuàng)造性的活動中。

3應(yīng)用與評價

此次教學(xué)改革實踐起始于2011年，實踐對象為2013級、2014級計算機專業(yè)、2015級電氣工程自動化專業(yè)學(xué)生。對各年級實驗班學(xué)生的問卷調(diào)查結(jié)果顯示：通過改革后的教學(xué)模式，76.14%的學(xué)生激發(fā)了學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣；63.64%的學(xué)生認為提高了個人計算能力；75%的學(xué)生認為提高了個人自主學(xué)習(xí)能力。

而從近幾年學(xué)生課程考試成績、校教學(xué)督導(dǎo)組課堂及教學(xué)檢查情況通報、教務(wù)處期中教學(xué)檢查通報、學(xué)生對教學(xué)的反饋意見、后繼課程的評價可以看到，通過教學(xué)環(huán)節(jié)的優(yōu)化、課程資源的建設(shè)及教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段的改革，線性代數(shù)課的教學(xué)效果有了非常大的提高，受到了各級領(lǐng)導(dǎo)及全校師生的一致認可。

4拓展空間及發(fā)展前景

在線性代數(shù)中教會了學(xué)生用軟件工具解題，后續(xù)其他課程中就有了進行推廣的基礎(chǔ)。當然后續(xù)課程的老師也要再學(xué)習(xí)，其教程也要進行改造。所以提高大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和科學(xué)計算能力是一項很大的系統(tǒng)工程，需要領(lǐng)導(dǎo)機關(guān)和廣大教師長期的、持之以恒的努力，而線性代數(shù)課程的改革則是其中關(guān)鍵的、必不可少的第一步。

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