化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略

劉曉英

【摘要】新課標(biāo)背景下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)不但要傳授給學(xué)生一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)知識(shí)提高數(shù)學(xué)思維和解決生活問(wèn)題的能力.因此，作為一線數(shù)學(xué)老師就要重視在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，尤其是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想，因?yàn)樗蓪?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象問(wèn)題具體化，從而大大提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

【關(guān)鍵詞】化歸思想;初中數(shù)學(xué);滲透策略

【基金項(xiàng)目】本文系甘肅省教育科學(xué)規(guī)劃“十三五”規(guī)劃課題《“化歸思想”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略研究》（立項(xiàng)號(hào)：[2020]GHB2809）的階段性研究成果.

一、認(rèn)識(shí)化歸思想及其意義

在數(shù)學(xué)思想中，化歸思想是一種重要的思想，它可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向高階發(fā)展.所謂化歸思想就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用科學(xué)的手段轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而獲得更好的解決問(wèn)題的方式.運(yùn)用化歸思想可將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象問(wèn)題形象化，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的化繁為簡(jiǎn)，從而取得最優(yōu)的解決問(wèn)題的方法.化歸思想也是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想，它是分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最常用的手段之一，是解決生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要途徑.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸思想隨處可見(jiàn)，比如在求解復(fù)雜方程的過(guò)程中可運(yùn)用化歸思想分析解題的思路，將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化之后會(huì)變得非常簡(jiǎn)單，最后化為常見(jiàn)的方程進(jìn)行求解，使解答變得容易.再如，在四邊形、多邊形等幾何圖形中也能運(yùn)用化歸思想，即將圖形劃分為三角形進(jìn)行求解，這就是運(yùn)用化歸思想的過(guò)程.

化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著非常重要的意義，教師認(rèn)識(shí)并運(yùn)用好化歸思想對(duì)于提高初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意義重大.

1.化歸思想可以化抽象為具象

抽象是數(shù)學(xué)最主要的特點(diǎn)，對(duì)于初中學(xué)生而言，他們的抽象思維還沒(méi)有完全成熟，借助化歸思想能夠?qū)⒊橄髥?wèn)題形象化，降低問(wèn)題的難度.目前，初中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)引進(jìn)了函數(shù)的內(nèi)容，初中學(xué)生初步認(rèn)知函數(shù)的時(shí)候會(huì)覺(jué)得非常抽象，難以理解，這時(shí)老師可借助化歸思想創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜、抽象的函數(shù)問(wèn)題形象化.如：同學(xué)們，手機(jī)是一種非常普遍的通信工具，你們觀察過(guò)手機(jī)繳費(fèi)的方式嗎？通過(guò)情境將數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活建立聯(lián)系之后，老師巧妙地引入化歸思想，以生活中常見(jiàn)的幾種繳費(fèi)方式為例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，最后總結(jié)出最便宜的繳費(fèi)方式.在這樣的情境中，學(xué)生潛移默化地受到了化歸思想的熏陶，數(shù)學(xué)思維得到了提高.

2.化歸思想可以化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

對(duì)于初中學(xué)生而言，他們掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)有限，往往會(huì)遇到一些陌生且復(fù)雜的問(wèn)題，這時(shí)借助化歸思想可將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，讓舊知與新知之間建立聯(lián)系，提高解決問(wèn)題的能力.比如，在解決下面例題的過(guò)程中便可很好地運(yùn)用化歸思想.

如圖1，△ABC是一個(gè)等腰三角形，如果它以每秒1米的速度沿直線l向正方形移動(dòng) ，直到AB與CD重合，假設(shè)移動(dòng)x秒時(shí)，正方形和三角形重合部分的面積是y平方米，那么請(qǐng)求出x與y的關(guān)系式.

對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，涉及的是動(dòng)態(tài)問(wèn)題，這時(shí)老師可引導(dǎo)學(xué)生 “化動(dòng)為靜”，以圖2、圖3為例，用它可以看出，這是某一時(shí)間點(diǎn)上的圖形，可以將動(dòng)態(tài)點(diǎn)上的所有線段都用含x的式子進(jìn)行表達(dá).

在這里很好地運(yùn)用了靜態(tài)的方法來(lái)解決動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生探究了通過(guò)轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的方法，加深了學(xué)生對(duì)化歸思想的認(rèn)知.

二、把握化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用原則

其實(shí)，在整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)中貫穿著諸多數(shù)學(xué)思想，但運(yùn)用最多的還是化歸思想.運(yùn)用好化歸思想對(duì)于初中生而言可以有效提升學(xué)習(xí)效率，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.所謂“化歸”，從字面意思上來(lái)解釋就是轉(zhuǎn)化和歸納總結(jié)，也就是通過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，是一種提高解決問(wèn)題效率的方式.比如，學(xué)生掌握了矩形面積求法之后就可求解平行四邊形、三角形、多邊形的面積，那么具體怎么去求它們的面積呢？這時(shí)可用割補(bǔ)的方法把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，也可用拼接的方法把一個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，這樣就實(shí)現(xiàn)了圖形的轉(zhuǎn)化，將未知轉(zhuǎn)化為已知，降低了解決問(wèn)題的難度.具體而言，老師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想時(shí)要注意以下幾個(gè)原則.

一是“熟悉化”原則.一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)學(xué)生遇到非常生疏的問(wèn)題時(shí)，就可運(yùn)用化歸思想將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化成自己比較熟悉的問(wèn)題進(jìn)行解答，這樣就會(huì)容易得多，而且實(shí)現(xiàn)了舊知與新知之間的聯(lián)系，提高了解決問(wèn)題的能力.

二是“簡(jiǎn)單化”原則.數(shù)學(xué)問(wèn)題往往比較復(fù)雜，如果單純依靠一種思路或者一個(gè)方面的知識(shí)解決起來(lái)會(huì)很難，這時(shí)可運(yùn)用化歸思想中的簡(jiǎn)單化原則，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的程序性的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決.

三是“具體化”原則.數(shù)學(xué)本質(zhì)是抽象的，但是學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)要盡量讓抽象問(wèn)題具體化，使其變得形象、直觀，這樣問(wèn)題就很容易得到解決，而這一過(guò)程中就會(huì)運(yùn)用到化歸思想.

四是“極端化”原則.“極端”通常是一個(gè)貶義詞，但是在數(shù)學(xué)世界中它是一種有效解決問(wèn)題的方法.所謂極端化就是先讓問(wèn)題處于極端的位置再去思考，從而得到一般化中的狀態(tài)，得到解答的思路.比如，數(shù)學(xué)中認(rèn)為點(diǎn)是圓的半徑為零的一種極端情形，還把三角形看成梯形的上底長(zhǎng)度變?yōu)榱阒蟮臉O端情形.

三、化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略

哲學(xué)家認(rèn)為人們對(duì)世界的認(rèn)知就是由一般到特殊再由特殊到一般的過(guò)程，這也是化歸思想中的一條普遍的規(guī)律.初中數(shù)學(xué)教學(xué)也呈現(xiàn)了這個(gè)特性.化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略有以下幾個(gè).

1.化歸思想中的“特殊化法”

所謂“特殊化法”就是當(dāng)面對(duì)一個(gè)比較難解決的問(wèn)題時(shí)，可運(yùn)用化歸思想實(shí)現(xiàn)由一般到特殊的轉(zhuǎn)化，從而找到容易解決的形式，這一轉(zhuǎn)化過(guò)程就非常符合人們對(duì)世界的普遍認(rèn)知規(guī)律.“特殊化法”有兩種常見(jiàn)的方式：一是從比較簡(jiǎn)單的形式去思考，尋找解決問(wèn)題的途徑，二是將特殊對(duì)象轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題進(jìn)行思考.

比如，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系里，對(duì)于方程組的求解常常就采用這種特殊化法.例如，推導(dǎo)一元二次方程的常見(jiàn)解法時(shí)，首先要對(duì)其特殊形式下的一元二次方程（x2=m（m≥0））進(jìn)行討論，然后對(duì)一般形式下的一元二次方程（ax2+bx+c=0，a≠0，b2-4ac≥0）進(jìn)行特殊化法求解，從而得出結(jié)果.

例1解方程式：（x2-2）2-3（x2-2）+2=0.

解這一方程時(shí)要先進(jìn)行分析，如果把原來(lái)的方程式展開(kāi)進(jìn)行求解，會(huì)得到一個(gè)高次的方程，但是對(duì)原方程進(jìn)行觀察之后，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，若令y=x2-2，就可把原方程的次數(shù)降低，也就是把原來(lái)的方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程y2-3y+2=0，先解出y值，再解出x值，使用這樣的特殊化法之后，原方程就很容易求解.

其實(shí)在初中的平面幾何教學(xué)中也常常會(huì)用到化歸思想，一般來(lái)說(shuō)，就是將圖形通過(guò)畫輔助線的方式進(jìn)行化歸，把特殊化為一般，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形.

例2求證一個(gè)n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°.

在求證之前還要先進(jìn)行一番分析，因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角之和是180°，所以可以把一個(gè)多邊形以添加對(duì)角線的方式轉(zhuǎn)化成多個(gè)三角形，然后利用三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°的結(jié)果進(jìn)行求證.（求證過(guò)程略）

2.化歸思想中的“一般化法”

化歸思想中除了運(yùn)用到“特殊化法”之外，還經(jīng)常會(huì)用“一般化法”，它同樣能夠化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.比如，比較兩個(gè)數(shù)20202021與20212020的大小，就會(huì)運(yùn)用到化歸思想中的“一般化法”.

例3請(qǐng)觀察下列各算式：

1×2×3×4+1=52，

2×3×4×5+1=112，

3×4×5×6+1=192.

問(wèn)題1：觀察算式得出一個(gè)一般性的結(jié)論，并給出證明的過(guò)程.

問(wèn)題2：根據(jù)問(wèn)題1用一個(gè)最簡(jiǎn)算的方法算出2006×2007×2008×2009+1的結(jié)果.

同樣，在進(jìn)行計(jì)算之前先要進(jìn)行分析：首先要考慮一般式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的結(jié)果到底是一個(gè)什么樣的式子，進(jìn)行化簡(jiǎn)之后可得出結(jié)果為（n2+3n+1）2，而要計(jì)算問(wèn)題2 中的結(jié)果，只需令n=2006即可，然后代入算式進(jìn)行計(jì)算，就很容易地得到了答案.

這里很明顯地運(yùn)用到了化歸思想中的“一般化法”，實(shí)現(xiàn)了讓復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的，讓計(jì)算變得簡(jiǎn)單容易.

3.化歸思想中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”

在初中數(shù)學(xué)知識(shí)中，有些問(wèn)題如果單純地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決往往會(huì)比較復(fù)雜，解法也不一定是最優(yōu)的，但是如果轉(zhuǎn)變一下思路，運(yùn)用化歸思想，用其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，也許會(huì)變得簡(jiǎn)單容易，讓解題方法最優(yōu)化，而化歸思想中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”就是這種方法.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一段話：數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非.這里很形象地講出數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的重要性.在初中數(shù)學(xué)函數(shù)這一部分內(nèi)容中，常常會(huì)用函數(shù)解析式來(lái)分析函數(shù)圖像，或者用函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì)，其實(shí)，這就是巧妙地運(yùn)用到了化歸思想中“數(shù)形轉(zhuǎn)化”.

例4方程-x2+5x-2=2x的根中正根的個(gè)數(shù)有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.3

同樣地，在進(jìn)行解答之前先要進(jìn)行分析，如果運(yùn)用去掉分母的方式計(jì)算就會(huì)把方程化成一個(gè)三次方程，這超出了初中學(xué)生的知識(shí)范圍，但是，如果換一個(gè)思路，運(yùn)用化歸思想中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”，那么這個(gè)問(wèn)題就輕而易舉地得到了解答，也就是將這個(gè)數(shù)學(xué)方程式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分解為一個(gè)雙曲線和一個(gè)拋物線，分別畫出它們的圖形則可得到答案.

拋物線：y=-x2+5x-2，雙曲線y=2x.

如圖4所示，當(dāng)x>0時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)出現(xiàn)了2個(gè)交點(diǎn)，這樣就可得知方程-x2+5x-2=2x的根中正根的個(gè)數(shù)有2個(gè).

四、結(jié)語(yǔ)

總之，化歸思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要滲透的一種重要思想，它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有著非常積極的作用.一線數(shù)學(xué)老師一定要立足于學(xué)生實(shí)際，借助化歸思想幫助學(xué)生建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，幫助學(xué)生解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.

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