挖掘試題幾何背景 優(yōu)化問題解決策略
——以《解三角形》復(fù)習(xí)為例

唐明超

(云南師范大學(xué)信息學(xué)院 650500)

解三角形的三條知識(shí)主線分別為邊、角、面積；主要考查正弦定理、余弦定理與面積公式等核心知識(shí).邊的角度多考查中線、角平分線、高線或是其它等分線；角一般涉及互余、互補(bǔ)、相等、公共角；面積既考查單個(gè)三角形的面積也考查復(fù)合三角形的面積.幾何背景以平行四邊形、矩形、圓、橢圓為主；設(shè)問方式以基本量的直接求解和探究基本量的取值范圍兩種形式為主.

一、以平行四邊形為背景

試題分析本題重點(diǎn)考查三角形的邊角關(guān)系，屬于有一條公共邊且公共邊為中線的復(fù)合三角形問題，其幾何背景是平行四邊形.處理此類問題的方法較多，思考角度不同可以得出不同的解題方法.

思路2 (坐標(biāo)法)建立平面直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，垂直于CB的直線為y軸，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)后可由坐標(biāo)運(yùn)算得出答案.

圖1 圖2

評(píng)注該題的求解關(guān)鍵是能挖掘出問題背后所隱藏的平行四邊形這一重要幾何背景并能充分利用平行四邊形的基本性質(zhì)解決問題.從以上求解思路中可以看出邊角關(guān)系的合理互化是該類問題解決的基礎(chǔ)，但是如果只是單一地追求代數(shù)運(yùn)算必然會(huì)出現(xiàn)類似于思路1所呈現(xiàn)的需要在不同的三角形中多次運(yùn)用正弦定理或者余弦定理，運(yùn)算量較大，不適用；而另外幾種方法充分利用了幾何性質(zhì)，相對(duì)于思路1更加優(yōu)化，思路清晰、過程簡(jiǎn)潔，提高解題效率.

思路2 (坐標(biāo)法)建立平面直角坐標(biāo)系，給出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，基于坐標(biāo)運(yùn)算得出答案.

圖3 圖4

思路5 (三角形面積關(guān)系)由S△ACD+S△BCD=S△ACB，得AC=2.

二、以矩形為背景

試題分析可以將例2看作例1的特殊化，思考問題的方向和例1基本相同，解決該題既可以考慮運(yùn)用正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算，也可以重點(diǎn)挖掘問題背后的幾何背景并充分利用矩形的幾何性質(zhì)解題.從眾多的解法中可以看出充分利用幾何背景及其幾何性質(zhì)可以更高效簡(jiǎn)潔地得出結(jié)果.

思路2 (坐標(biāo)法) 建立相應(yīng)的坐標(biāo)系并求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后由坐標(biāo)運(yùn)算可得正確結(jié)果.

圖5 圖6

思路6 (三角形相似比+性質(zhì))作平行線如圖6所示，基于相似比或者中位線性質(zhì)可得正確答案.

思路7 (三角形面積關(guān)系)利用面積關(guān)系.由S△ACD+S△BCD=S△ACB且S△ACD=S△BCD.

三、以動(dòng)態(tài)三角形為背景

角度1已知一角及其一邊的解三角形問題

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

圖7 圖8 圖9

角度2以等腰三角形為背景的割補(bǔ)問題

例4 (2014年新課標(biāo)Ⅱ卷文17題)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB=1,BC=3,CD=DA=2.

(1)求∠C和BD；

(2)求四邊形ABCD的面積.

四、以圓為背景

角度1已知一邊及其對(duì)角解三角形

例5 (2013年新課標(biāo)Ⅱ卷文理17題)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

(1)求B；

(2)若b=2，求△ABC面積的最大值.

圖10 圖11

角度2已知一邊及另外兩邊的比值解三角形

角度3以四邊形外接圓為背景的解三角形問題

(1)求DC；

試題分析試題呈現(xiàn)的是有一條公共邊的兩個(gè)三角形復(fù)合而成的四邊形問題，本質(zhì)還是解三角形，靈活用好正弦定理與余弦定理可以完成對(duì)該題的解答，這也是解三角形的常規(guī)思路和一般方法.但是要能順利解決問題往往需要通過復(fù)雜的推理與運(yùn)算過程，而且在運(yùn)算的過程中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

圖12