超幾何分布的分布列、期望與方差

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》(人民教育出版社，2009年第3版)(下簡稱《選修2-3》)第48頁給出了

超幾何分布的定義1 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中任取n件，其中恰有X件次品，則

即

其中m=min{M,n}，且n≤N,M≤N，n,M,N∈N*.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有表1的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

表1

高等學(xué)校統(tǒng)計教材[1]第98頁及《數(shù)學(xué)詞典》第463頁給出的超幾何分布定義(且該詞條里等式右邊分母中的“k”應(yīng)改為“n”；所給方差公式也不完整，完整的方差公式可見后文定理3)也均同超幾何分布的定義1.

拙文[3]指出了以上定義中的“隨機(jī)變量X的取值范圍是{0,1,…,m}”不對，并將其修正為

超幾何分布的定義2 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，抽取n件產(chǎn)品(其中n≤N,M≤N；n,M,N∈N*).設(shè)其中恰有X件次品，則稱隨機(jī)變量X服從的概率分布是超幾何分布.其分布列有以下兩種情形：

(1)當(dāng)n≤N-M時，X的分布列為

(2)當(dāng)n>N-M時，X的分布列為

最近出版的高中數(shù)學(xué)教材普通高中教科書《數(shù)學(xué)·選擇性必修·第三冊·A版》(人民教育出版社，2020)(下簡稱《選擇性必修·第三冊》)第77-78頁給出了超幾何分布定義，即

超幾何分布的定義2-1 一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從這N件產(chǎn)品中不放回的隨機(jī)抽取n件，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

其中n,M,N∈N*，M≤N,n≤N,m=max{0,n+M-N},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

顯然，該定義與超幾何分布的定義2是等價的.

《選擇性必修·第三冊》第79頁還證得了

證明令m=max{0,n+M-N},r=min{n,M} ②

由隨機(jī)變量期望的定義，可得

《選擇性必修·第三冊》配套使用的《教師教學(xué)用書》(人民教育出版社，2020)第91頁寫道：

關(guān)于分布列中k的取值范圍max{0,n+M-N}≤k≤min{n,M}，可以通過幾個特殊例子歸納得出.例如，設(shè)10個球中有4個紅球、6個白球，如果隨機(jī)摸出5個球，那么其中紅球個數(shù)的可能取值為0,1,2,3,4；如果隨機(jī)摸出8個球，那么其中紅球個數(shù)的可能取值為2,3,4.

筆者認(rèn)為這樣不妥，難以讓學(xué)生信服.

實際上，容易理解超幾何分布的定義2(它與超幾何分布的定義2′等價)，再由其兩種情形可得該結(jié)論.

建議老師講述超幾何分布的定義2′時，先歸納出超幾何分布的定義2，再歸納出超幾何分布的定義2′.

(4)證明定理1的關(guān)鍵就是證明等式④.

證明實際上，拙文[3]用分類討論的方法已給出了定理2的嚴(yán)謹(jǐn)證明，再改述如下.

在前面“質(zhì)疑及解決辦法”的(2)中已證得當(dāng)M=N時成立.

當(dāng)M=1,N≥2時也成立：因為X的分布列為

表2

下證當(dāng)N>M≥2即M-1,N-M,N-1∈N*時也成立.

下面只證情形(1)即證⑥(其余的情形均同理可證)：

由恒等式

(1+x)M-1(1+x)N-M=(1+x)N-1(M-1,N-M,N-1∈N*)

兩邊的展開式中含xn-1項的系數(shù)相等可得.

也可這樣來證⑥：

證明由廣義組合數(shù)的定義，可得

(1)當(dāng)k>M或k=0時，可得欲證等式的兩邊均為0；當(dāng)1≤k=M時，可得欲證等式的兩邊均為k；當(dāng)1≤k

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

(2)當(dāng)N=1(即N=n=1)時，可得欲證等式的兩邊均為1；當(dāng)N≥2時，可得欲證結(jié)論成立.

(3)同(2)可證.

證明當(dāng)N=1時，可得M=n=1，進(jìn)而可得D(X)=0.

下證當(dāng)N≥2時成立.

(1)當(dāng)n=1時.

①若M=N，可得D(X)=0.

②若M

表3

進(jìn)而可得當(dāng)n=1時欲證結(jié)論成立.

所以隨機(jī)變量X的分布列為

表4

進(jìn)而可得當(dāng)n=1時欲證結(jié)論成立.

(3)當(dāng)M≥2,n≥2時，令②成立，由廣義組合數(shù)的定義可得隨機(jī)變量X的方差

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

注也可不用廣義組合數(shù)的定義按定理2的第一種證法分四種情形來證明定理3.