初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用探究

夏正香

摘 要：數(shù)學(xué)是量的科學(xué)，同時(shí)也是研究現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和與數(shù)量之間關(guān)系的科學(xué)。由此可見(jiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題是一種重要的數(shù)學(xué)理念。數(shù)學(xué)是一種抽象的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是在學(xué)習(xí)一種思維，只有充分的理解和掌握這種科學(xué)化的數(shù)學(xué)思維方式，才能更好的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳統(tǒng)的教學(xué)模式相對(duì)單一，一般都是滿堂灌的知識(shí)輸入，這導(dǎo)致課堂教學(xué)效率不高。隨著新課改的推動(dòng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)得到了很多數(shù)學(xué)教師的關(guān)注。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;應(yīng)用探究

引言

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種很重要的教學(xué)方法。他可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)具體的圖形來(lái)進(jìn)行展示，這種直觀的教學(xué)方式便于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。本文將重點(diǎn)分析在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中使用數(shù)形結(jié)合的方法。以數(shù)形結(jié)合的思想出發(fā)，闡述數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用要點(diǎn)，然后再通過(guò)實(shí)際的案例分析，來(lái)為初中數(shù)學(xué)的教學(xué)提供一些新的思路。教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決問(wèn)題，促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平得到有效提升。

一、數(shù)形結(jié)合所蘊(yùn)含的思想內(nèi)涵及重點(diǎn)

目前，國(guó)家在大力推進(jìn)素質(zhì)教育改革，新的課改也同樣提出了要重視對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。具體到初中數(shù)學(xué)方面的核心素養(yǎng)培養(yǎng)，就包含了在數(shù)學(xué)教學(xué)中要多運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)。這一種教學(xué)方式的應(yīng)用直接關(guān)系著初中生在數(shù)學(xué)思維方面的發(fā)展情況，所以一定要引起初中數(shù)學(xué)教師的重視。數(shù)形結(jié)合，通常情況下就是以圖形來(lái)幫助對(duì)數(shù)的理解，用數(shù)來(lái)促進(jìn)對(duì)圖形的理解，以及圖形和數(shù)字相互促進(jìn)理解的方式出現(xiàn)。首先，用圖形來(lái)幫助對(duì)數(shù)字的理解就是指，用圖形直觀的特性來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，將抽象化的問(wèn)題用直觀的圖形來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單化理解。用數(shù)字來(lái)促進(jìn)對(duì)圖形的理解就是指通過(guò)結(jié)合分析圖形之間的數(shù)量聯(lián)系，把幾何性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。那么圖形和數(shù)字的相互促進(jìn)就是指將代數(shù)和幾何進(jìn)行聯(lián)系配合使用，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中可以將抽象的內(nèi)容直觀化，從而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，便于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。但是在實(shí)際的教學(xué)中，因?yàn)榻處煂?duì)數(shù)形結(jié)合理解不夠透徹，導(dǎo)致在教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用上與教材的內(nèi)容脫節(jié);甚至部分教師在教學(xué)中沒(méi)有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，最終導(dǎo)致在實(shí)際教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用并不理想[1]。

數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)。首先，圍繞教材進(jìn)行深入的研究。在初中的數(shù)學(xué)教材里，相較于小學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)看，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)出來(lái)的方式相對(duì)比較隱蔽，這就需要教師要對(duì)教材進(jìn)行深入的挖掘，運(yùn)用數(shù)形之間相互作用的方式，系統(tǒng)化的整合教材中可使用的數(shù)形結(jié)合知識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而為在課堂教學(xué)中使用數(shù)形結(jié)合奠定基礎(chǔ)。然后，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)性數(shù)感和幾何的直觀素養(yǎng)，都可以利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)生在使用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供條件。教師在教學(xué)中利用情境化的教學(xué)模式，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)來(lái)描繪生活中的現(xiàn)象，讓學(xué)生在這種耳濡目染的環(huán)境下培養(yǎng)基礎(chǔ)數(shù)感，從而幫助學(xué)生可以將具體和抽象事物之間進(jìn)行自由轉(zhuǎn)換，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高。那么對(duì)學(xué)生進(jìn)行幾何素養(yǎng)的培養(yǎng)就需要教師在課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖實(shí)踐，增加對(duì)圖形的理解，便于學(xué)生通過(guò)直觀化形象來(lái)解決抽象化的問(wèn)題，從而提高學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的意愿。

二、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)應(yīng)用探究

數(shù)與形作為數(shù)學(xué)的兩大基本探究對(duì)象，這兩大對(duì)象貫通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部過(guò)程，既有對(duì)立，也有統(tǒng)一的關(guān)系。兩者各有特點(diǎn)且又相互轉(zhuǎn)化聯(lián)系。其實(shí)在初中階段學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的解題思想，主要是對(duì)使用方法的掌握。在實(shí)際的應(yīng)用中主要有兩種方式：首先是以數(shù)解形。通過(guò)數(shù)字之間的關(guān)系，來(lái)促進(jìn)對(duì)圖形的理解。這里體現(xiàn)出數(shù)字表達(dá)的具體性。然后，是以形助數(shù)。也就是通過(guò)直觀化的圖形和數(shù)字之間的聯(lián)系，將抽象的數(shù)字通過(guò)圖形來(lái)進(jìn)行表達(dá)，這里體現(xiàn)了圖形的直觀性。教師根據(jù)具體的問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生通過(guò)不斷的訓(xùn)練掌握數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用。數(shù)學(xué)是一門(mén)繁雜的學(xué)科，所以學(xué)生只有將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化并掌握這一方法的熟練使用，才能在初中更好的學(xué)好數(shù)學(xué)。

1以數(shù)解形的方法

用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題，其基本的方法就是用以字母所對(duì)應(yīng)的線段的面積、周長(zhǎng)等已知條件，根據(jù)圖形間的關(guān)系寫(xiě)出方程式，那么方程式中的未知數(shù)即是幾何問(wèn)題中所要得到的答案。這就是典型的以數(shù)解形的數(shù)形結(jié)合思想之一。比如：確定了三角形的周長(zhǎng)以及三個(gè)邊的關(guān)系和具體的位置，求其中某一個(gè)線段的長(zhǎng)度。這類(lèi)問(wèn)題就可以使用等式方程的代數(shù)方法進(jìn)行解決。簡(jiǎn)單的圖形本就有比較直觀的特點(diǎn)，但是在長(zhǎng)度、面積、周長(zhǎng)等的問(wèn)題就可以用代數(shù)的方法進(jìn)行解題。在實(shí)際的教學(xué)中教師要以簡(jiǎn)單的圖形著手，讓學(xué)生由簡(jiǎn)入難的逐步掌握數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化方法，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合方式的使用能力。比如：在多邊多角相等的多邊形的擺放規(guī)律題目中，已知的條件是第1個(gè)圖形是個(gè)三角形，其中3個(gè)邊，每個(gè)邊上有2個(gè)點(diǎn)，重復(fù)的有3個(gè)點(diǎn)，那么需要有黑色的棋子（2*3-3）個(gè);第2個(gè)的圖形有四個(gè)邊，每條邊有三個(gè)點(diǎn)，其中重復(fù)的有4個(gè)點(diǎn)，此時(shí)需要的黑色棋為（3*4-4）個(gè);第3個(gè)的圖形有5條邊，每條邊都有4個(gè)點(diǎn)，其中重復(fù)的點(diǎn)有（4*5-5）個(gè)。這個(gè)時(shí)候我們就可以發(fā)現(xiàn)了多邊形的擺放規(guī)律，然后就可以得出第n個(gè)圖的黑色棋子個(gè)數(shù)應(yīng)為n（n+2）=（n+1）（n+2）-（n+2）。這一類(lèi)的試題要從最簡(jiǎn)單的圖形開(kāi)始，找到題目中圖形的排布規(guī)律，然后再用數(shù)字來(lái)進(jìn)行計(jì)算推理[2]。

2數(shù)形之間的互換

在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一個(gè)問(wèn)題單純的使用一次數(shù)形轉(zhuǎn)換或者是形數(shù)的轉(zhuǎn)換是不夠的，往往在實(shí)際的問(wèn)題中需要兩者之間進(jìn)行不斷的轉(zhuǎn)化才能找到問(wèn)題的答案。所以這就要求在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候一定要有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能更好的進(jìn)行復(fù)雜數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和提升。為了能夠讓學(xué)生熟練的掌握數(shù)形結(jié)合這種解題方式的應(yīng)用，必須要保證學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本性質(zhì)和定義了然于心。數(shù)形結(jié)合充分應(yīng)用掌握的前提是對(duì)數(shù)學(xué)原始素材的不斷收集，在解題的過(guò)程中，通過(guò)數(shù)學(xué)的解題經(jīng)驗(yàn)，快速的確定代數(shù)和幾何之間的聯(lián)系。在初中教師的教學(xué)中一定要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題，避免出現(xiàn)死板教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生在圖形和數(shù)量之間的聯(lián)系能力，便于學(xué)生可以將圖形或者符號(hào)可以用文字的形式進(jìn)行呈現(xiàn)。通過(guò)讓學(xué)生熟練掌握數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)辦法，來(lái)提高學(xué)生的解題速度和準(zhǔn)確率。像根據(jù)一個(gè)二次函數(shù)的圖，就可以直接得到這個(gè)二次函數(shù)的最大和最小值。比如：已知的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的開(kāi)口向下，拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與y軸相交于正半軸。以下的結(jié)論：（1）a+b+c<0（2）a-b+c>0（3）a b c>0（4）c > -3a其中正確的個(gè)數(shù)有幾個(gè)。通過(guò)拋物線的開(kāi)口可以判定a和0的關(guān)系，拋物線在y軸的交點(diǎn)位置可以判別c與0的關(guān)系。那么學(xué)生就可以通過(guò)拋物線的走向以及關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)解析方程式中系數(shù)和圖形性質(zhì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后做出正確的判斷。通過(guò)圖像的特征來(lái)體現(xiàn)數(shù)的關(guān)系，然后再用數(shù)的規(guī)律來(lái)進(jìn)行計(jì)算，從而解決形的問(wèn)題。

3形中探數(shù)，數(shù)上建形的應(yīng)用

初中的數(shù)學(xué)教師通過(guò)將形中探數(shù)，數(shù)上建形的方式進(jìn)行結(jié)合使用，依據(jù)圖形來(lái)獲得數(shù)字之間的關(guān)系，這是將幾何型的問(wèn)題變成代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決;那么代數(shù)的問(wèn)題就可以用圖形中的幾何辦法讓問(wèn)題變得更加直觀易解。初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸根到底是代數(shù)和幾何的學(xué)習(xí)，通過(guò)代數(shù)和幾何之間的互化，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。培養(yǎng)學(xué)生熟練的掌握這一種解題思路，可以讓很多復(fù)雜困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解。在數(shù)學(xué)的課堂中，很多的問(wèn)題通過(guò)單純的計(jì)算很難直觀的進(jìn)行解題，在重復(fù)的計(jì)算中就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。比如：某學(xué)校前后舉辦了語(yǔ)文、音樂(lè)、美術(shù)知識(shí)講座，語(yǔ)文知識(shí)講座有55人聽(tīng)講，音樂(lè)講座有89人，美術(shù)講座有60人，其中有17人參加語(yǔ)文和美術(shù)，有12人同時(shí)參加了語(yǔ)文和音樂(lè)，9人參加了音樂(lè)和美術(shù)講座，另外有6人參加了所有講座，請(qǐng)計(jì)算出聽(tīng)講座的人數(shù)？這一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)據(jù)較多，并且有很多重復(fù)的部分，這個(gè)時(shí)候教師就要引導(dǎo)學(xué)生要進(jìn)行分類(lèi)匯總，可以用圖形圓來(lái)找到這三個(gè)講座之間的人數(shù)關(guān)系，通過(guò)兩兩對(duì)應(yīng)的方法，可以將6個(gè)參加所有講座的人很直觀的體現(xiàn)出來(lái)，然后再將圖形轉(zhuǎn)換為數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，就可以提高計(jì)算的準(zhǔn)確度。

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合要注意的事項(xiàng)

初中教師在課堂進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的教學(xué)時(shí)，一定要引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)形知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。首先，在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)的概念性知識(shí)時(shí)，要從形和數(shù)兩個(gè)方面來(lái)理解題目中給出的已知條件，從而確定已知參數(shù)的范圍，在已知條件成立的情況下正確的使用參數(shù)進(jìn)行數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換。然后，要學(xué)會(huì)正確的繪畫(huà)草圖，在繪圖的過(guò)程中要保證繪圖的準(zhǔn)確度，只有這樣才能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，否則即便是畫(huà)出了草圖，因?yàn)椴粔驕?zhǔn)確也無(wú)法獲得正確答案。比如：在繪圖的時(shí)候要符合基本的制圖規(guī)范，線段的長(zhǎng)短比例等。其次，除了在數(shù)學(xué)的答題中使用數(shù)形結(jié)合的方法以外，在實(shí)際的生活中也可以利用這種辦法來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題。最后，在解題之前一定要將題目中的內(nèi)容做到充分的理解，在題目?jī)?nèi)容較長(zhǎng)的時(shí)候，為了讓思路更清晰也可以先做圖，以幫助更好的理解題目的含義，確保在解題中保持正確的思路。在初中數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，因?yàn)槌踔须A段的學(xué)生思維相對(duì)比較狹隘，這就要求教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)一定要注重對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)，逐步的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思維方式?？梢宰寣W(xué)生在運(yùn)用中做到深刻領(lǐng)悟、靈活運(yùn)用，保證每種題目都可以用相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合思路找到答案，避免過(guò)于死板的運(yùn)用導(dǎo)致思路受阻。

結(jié)語(yǔ)：

在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式，為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了有效的方法，通過(guò)將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將枯燥的數(shù)學(xué)解題變得更加有趣，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)教師也要跟上新課改的教學(xué)理念，提高自身對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解和應(yīng)用能力，從而可以更好的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]任巖.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用探究[J].發(fā)明與創(chuàng)新（職業(yè)教育），2021，{4}（07）：140+143.

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