核心素養(yǎng)背景下小學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略

彭國(guó)慶

[摘 要]運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以運(yùn)用“多元表征以明運(yùn)算之理、多類(lèi)型練習(xí)以熟運(yùn)算之術(shù)、融入問(wèn)題解決以善運(yùn)算之用、多內(nèi)容關(guān)聯(lián)以通運(yùn)算之道”四個(gè)策略培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

[關(guān)鍵詞]運(yùn)算能力;培養(yǎng)策略;核心素養(yǎng)

運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最傳統(tǒng)的內(nèi)容之一，運(yùn)算能力自然也備受重視，成為大家關(guān)注的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)能力之一。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將運(yùn)算能力確定為十大數(shù)學(xué)核心概念之一，關(guān)于運(yùn)算能力的描述是“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力” 。下面筆者就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐從“明理、熟術(shù)、善用、通道”這四個(gè)方面談小學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略。

一、多元表征以明運(yùn)算之理

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)習(xí)的過(guò)程。教師在教學(xué)中經(jīng)常遇到這樣的情況：學(xué)生在家長(zhǎng)或非專(zhuān)業(yè)人員的提前教學(xué)下已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，但他們對(duì)算理卻理解甚少，如學(xué)生在計(jì)算36×12時(shí)，能夠記住36×12的豎式書(shū)寫(xiě)程序，但是對(duì)于2乘36、1乘36的結(jié)果分別表示什么，乘積又表示什么，卻說(shuō)不出來(lái)。對(duì)算法理解的多少不僅會(huì)對(duì)后續(xù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)有影響，還影響著問(wèn)題解決的能力，所以計(jì)算教學(xué)不僅要教學(xué)生知道怎么算，還要結(jié)合具體內(nèi)容采用多元表征方式幫助學(xué)生理解算理。

1.創(chuàng)設(shè)情境，理解算理

數(shù)學(xué)運(yùn)算本身是抽象的，因此學(xué)生會(huì)感覺(jué)計(jì)算是枯燥的，理解算理更是猶如在枯燥的程序中尋找枯燥的理由。然而，合適的情境可以破除“枯燥”并幫助學(xué)生在有意義的、有趣的情境中理解算理。如計(jì)算36×12，教材呈現(xiàn)了這樣的數(shù)學(xué)情境圖（如圖1）：

要計(jì)算12箱南瓜有多少個(gè)，可以分兩步：先算2箱有多少個(gè)南瓜，算式是2×24=48（個(gè)）;再算10箱有多少個(gè)，算式是10×24=240（個(gè)）;然后把兩次計(jì)算的總數(shù)相加，得到48+240=288（個(gè)）。這樣就是把12箱南瓜的個(gè)數(shù)進(jìn)行分拆計(jì)算，而這樣的分拆計(jì)算，正好可以幫助學(xué)生理解24×12的豎式計(jì)算過(guò)程（如圖2）。

至此，教師再針對(duì)豎式中的每一步進(jìn)行提問(wèn)，幫助學(xué)生理解每一步運(yùn)算的含義以及最后結(jié)果的含義，進(jìn)而達(dá)到知其然知其所以然的學(xué)習(xí)目的。

再如，教學(xué)混合運(yùn)算時(shí)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境可以有效幫助學(xué)生理解混合運(yùn)算的順序。如1副羽毛球拍是70元，1個(gè)羽毛球是4元，買(mǎi)2個(gè)羽毛球和1副羽毛球拍一共要多少元？要解決這個(gè)問(wèn)題就要先算出2個(gè)羽毛球一共要多少元，算式是2×4，然后再加上1副羽毛球拍的錢(qián)數(shù)，寫(xiě)成綜合算式是70+2×4。把分步計(jì)算的過(guò)程對(duì)應(yīng)到遞等式過(guò)程中來(lái)，學(xué)生就能夠理解乘法和加法的混合運(yùn)算中為什么要先算乘法了。

2.動(dòng)手操作，理解算理

動(dòng)手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效學(xué)習(xí)方式。在計(jì)算教學(xué)過(guò)程中，動(dòng)手操作可以幫助學(xué)生把抽象的數(shù)理應(yīng)用過(guò)程變?yōu)榫呦蠡目梢暬僮骰顒?dòng)，使學(xué)生在可視化的操作活動(dòng)中充分理解算理，掌握算法。如教學(xué)用湊十法計(jì)算9加幾的加法計(jì)算時(shí)，教師先出示一個(gè)和例題同樣的情境圖，即“一個(gè)盒子里裝有9個(gè)蘋(píng)果，盒子外面有4個(gè)梨”（有經(jīng)驗(yàn)的教師都是用可移動(dòng)的板貼圖來(lái)表示），然后提出問(wèn)題“一共有多少個(gè)水果？”。學(xué)生可以將1個(gè)梨“放”進(jìn)裝有蘋(píng)果的盒子里，湊滿10個(gè)，然后再加上盒子外面的3個(gè)梨，這樣得出一共有13個(gè)水果。最后讓學(xué)生完成“試一試”（如圖3）。

學(xué)生在移一移、圈一圈的操作活動(dòng)中，理解了用湊十法計(jì)算9加幾的方法的分解過(guò)程，體會(huì)到湊十法計(jì)算的快捷性，還為后面繼續(xù)學(xué)習(xí)8、7、6等加幾做好了鋪墊。

3.幾何直觀，理解算理

數(shù)是抽象的，形是具象的，在運(yùn)算的過(guò)程中可以通過(guò)幾何直觀幫助學(xué)生理解算理。如對(duì)于同分?jǐn)?shù)加減法，教材呈現(xiàn)了這樣的幾何直觀圖（如圖4）：

又如，在計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的時(shí)候，教材呈現(xiàn)了將長(zhǎng)方形面積等分和再等分圖（如圖5）幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理。

兩次等分圖既展現(xiàn)了計(jì)算的過(guò)程，同時(shí)又包含計(jì)算的結(jié)果，可以說(shuō)是幾何直觀中的經(jīng)典之作。通過(guò)這樣的直觀圖就能幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)就是分了再分、取了再取的道理。

二、多類(lèi)型練習(xí)以熟運(yùn)算之術(shù)

對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)還需使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用運(yùn)算方法進(jìn)行快速、正確的運(yùn)算，具體體現(xiàn)在加強(qiáng)對(duì)學(xué)生口算、估算、筆算（豎式計(jì)算、遞等式計(jì)算）能力的培養(yǎng)。

1.加強(qiáng)口算練習(xí)

口算是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)，加強(qiáng)口算練習(xí)，就相當(dāng)于做好運(yùn)算學(xué)習(xí)的塔基工程。口算練習(xí)要從一年級(jí)抓起，從10以內(nèi)的加減法開(kāi)始逐步拓展到多位數(shù)的口算，逐步加深口算的難度;從整數(shù)的口算到小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的口算，從數(shù)的口算到式的口算，逐步拓展數(shù)與代數(shù)的運(yùn)算領(lǐng)域，從而拓展口算練習(xí)的寬度和高度。 要加強(qiáng)口算練習(xí)就要天天練，練習(xí)的內(nèi)容主要以與即將學(xué)習(xí)的新知有關(guān)的舊知（運(yùn)算）以及學(xué)生易錯(cuò)的口算題為主，每天練習(xí)的量為10題左右，保證學(xué)生能在加強(qiáng)基礎(chǔ)口算的同時(shí)，糾正一些常見(jiàn)的口算錯(cuò)誤?？谒愕男问娇梢灶}組對(duì)比的方式，例如在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算中設(shè)置對(duì)比題25×4和24×5，可幫助學(xué)生區(qū)分算式不同的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣。

2.加強(qiáng)估算練習(xí)

估算是學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算以及檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果的方式之一，但學(xué)生的估算正確率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于口算和筆算的正確率，一方面是估算的應(yīng)用頻率較低，另一方面是學(xué)生的估算意識(shí)沒(méi)有初步形成。這樣就造成了學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)估算能力不足，教師亟須把現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛的估算與數(shù)學(xué)中的估算學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)起來(lái)。加強(qiáng)估算，首先要掌握估算的方法。在學(xué)生剛認(rèn)數(shù)時(shí)，經(jīng)常給出“17和12這兩個(gè)數(shù)，哪個(gè)數(shù)最接近20？哪個(gè)數(shù)最接近10？”這樣的練習(xí)，就是在為后面學(xué)生學(xué)習(xí)估算做好準(zhǔn)備，而后讓學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中認(rèn)識(shí)到估算的必要性，理解估算的方法。如創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：張大叔把收獲的生姜裝在同樣大的袋子里， 一共裝了 40袋， 他稱(chēng)了其中的 4 袋， 結(jié)果分別是 18 千克、 21 千克、19 千克、 23 千克。 他一共收獲生姜大約多少千克？學(xué)生體會(huì)到這些數(shù)都是接近20的，雖然有的數(shù)是超過(guò)20的，有的數(shù)是不足20 的，但是只要接近20都可以將其看成20后進(jìn)行估算。通過(guò)解決問(wèn)題，學(xué)生就能掌握估算的方法，體會(huì)估算的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

3.加強(qiáng)筆算練習(xí)

小學(xué)的筆算主要有兩種形式，一是四則運(yùn)算，主要是列豎式進(jìn)行運(yùn)算，二是四則混合運(yùn)算，主要是采用遞等式的方式進(jìn)行運(yùn)算，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的延續(xù)和再使用。筆算練習(xí)應(yīng)該從低年級(jí)的加、減法和乘、除法開(kāi)始，首先夯實(shí)進(jìn)位加法和退位減法的基礎(chǔ);其次夯實(shí)連續(xù)進(jìn)位和連續(xù)退位的減法的基礎(chǔ)，這些都是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn);再次夯實(shí)兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法和除法運(yùn)算的基礎(chǔ)，在夯實(shí)運(yùn)算的過(guò)程中加強(qiáng)算法的指導(dǎo)，如在乘法中重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生掌握進(jìn)位書(shū)寫(xiě)以及乘積加進(jìn)位數(shù)的方法，除此之外，還要幫助學(xué)生區(qū)分兩位數(shù)乘兩位數(shù)的兩次乘積的乘法運(yùn)算和最后的加法運(yùn)算，減少學(xué)生混淆這兩種運(yùn)算的問(wèn)題。四則混合運(yùn)算是學(xué)生進(jìn)行數(shù)運(yùn)算的終極目標(biāo)，學(xué)生在計(jì)算時(shí)不僅要熟練解決運(yùn)算順序的問(wèn)題，同時(shí)還要保證每一步計(jì)算結(jié)果的正確性，因此，混合運(yùn)算的練習(xí)要本著由易到難的原則，在激發(fā)學(xué)生獲得成功感的同時(shí)提高學(xué)生的運(yùn)算能力。在筆算練習(xí)中還要加強(qiáng)簡(jiǎn)算練習(xí)，因?yàn)槌税凑找欢ǖ囊?guī)則、順序進(jìn)行運(yùn)算，簡(jiǎn)算能運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律或性質(zhì)使得原本復(fù)雜的運(yùn)算變得簡(jiǎn)單和快捷。因而，加強(qiáng)簡(jiǎn)算練習(xí)，除了能提高學(xué)生的運(yùn)算能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、辨析能力和靈活應(yīng)用知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性。

三、融入問(wèn)題解決以善運(yùn)算之用

當(dāng)下的運(yùn)算學(xué)習(xí)多是融合在問(wèn)題解決中，通過(guò)運(yùn)算解決一些實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力，因此在解決問(wèn)題中還要強(qiáng)化學(xué)生善于運(yùn)用合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑去解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

1.善于運(yùn)用估算解決實(shí)際問(wèn)題

學(xué)生在日常生活中常常要解決一些關(guān)于預(yù)算的問(wèn)題，如購(gòu)買(mǎi)高鐵票：商務(wù)座2114元/張，一等座1095元/張，二等座689元/張，只買(mǎi)一種票，買(mǎi)3張要準(zhǔn)備多少元？這個(gè)問(wèn)題可以用筆算解決，也可以用估算解決，但是把每種票價(jià)都多看一點(diǎn)，看成整千整百數(shù)后進(jìn)行估算，就很容易得出預(yù)算結(jié)果，如商務(wù)座看成2200元/張，3張大約需要2200×3=6600（元）;一等座看成1100元/張，3張大約需要1100×3=3300（元）;二等座看成700元/張，3張大約需要700×3=2100（元）。這就體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)中指出的“用合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑去解決實(shí)際問(wèn)題”。除了數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，估算在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域中的應(yīng)用也是比較頻繁的，如根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖中給出的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)即將出現(xiàn)的數(shù)據(jù);圖形與幾何領(lǐng)域中結(jié)合方格圖估計(jì)一個(gè)不規(guī)則圖形的面積;根據(jù)一個(gè)圓柱形玻璃瓶中水的體積，估測(cè)和它同樣的2個(gè)瓶子中的水的體積;等等。在諸多的問(wèn)題解決中體會(huì)估算在問(wèn)題解決中的便捷性，能增強(qiáng)學(xué)生估算的應(yīng)用意識(shí)和使用頻率。

2.善于運(yùn)用簡(jiǎn)便運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題

數(shù)學(xué)本身就是追求簡(jiǎn)潔的，教師在教學(xué)問(wèn)題解決策略時(shí)要善于選擇并運(yùn)用簡(jiǎn)便運(yùn)算體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性，以增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力。如計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)時(shí)選用“周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2”進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算長(zhǎng)方體的表面積時(shí)選用“S=2（ab+ac+bc）”進(jìn)行計(jì)算，就比較簡(jiǎn)便。一個(gè)問(wèn)題可以用加法或者乘法計(jì)算解決時(shí)優(yōu)選乘法計(jì)算，同理，一個(gè)問(wèn)題可以用減法或者除法計(jì)算解決時(shí)優(yōu)選除法計(jì)算。如解決“張曉華和趙麗同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，張曉華向東走，每分鐘走60米;趙麗向西走，每分鐘走55米。經(jīng)過(guò)6分鐘他們相距多少米？”這樣的問(wèn)題時(shí)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生選用“（60+55）×6”進(jìn)行列式計(jì)算，盡可能使得運(yùn)算簡(jiǎn)便。當(dāng)然，這種簡(jiǎn)便運(yùn)算的選擇是在對(duì)比的前提下產(chǎn)生的，所以教師在教學(xué)過(guò)程中要注意結(jié)合實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，在多樣化算法的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)算法的優(yōu)化。

四、多內(nèi)容關(guān)聯(lián)以通運(yùn)算之道

所謂運(yùn)算之道就是運(yùn)算中蘊(yùn)含的基本規(guī)律、基本性質(zhì)等。學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算，不僅要知道現(xiàn)階段所學(xué)運(yùn)算的方法和算理，還要能夠善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)運(yùn)算中的規(guī)律，善于將現(xiàn)階段所學(xué)的運(yùn)算知識(shí)融入整個(gè)運(yùn)算知識(shí)體系中去，以通曉運(yùn)算之道。

1.疏通聯(lián)系，理解運(yùn)算原理的一致性

數(shù)的運(yùn)算猶如一顆石子投入水中，激起的漣漪不斷由內(nèi)向外暈開(kāi)形成的同心圓，這些同心圓是以運(yùn)算的基本規(guī)則為圓心，不同類(lèi)型的數(shù)為半徑的。教師在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算的時(shí)候，要不斷地幫助學(xué)生梳理、分析現(xiàn)有知識(shí)與已有知識(shí)之間的聯(lián)系，找到它們的共性之處，使學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如對(duì)于加、減法計(jì)算都是基于相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能夠相加、減這一知識(shí)點(diǎn)，教師要幫助學(xué)生梳理為什么要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊;在教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)加、減法的時(shí)候，教師要引導(dǎo)學(xué)生明白通分成同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減運(yùn)算的道理，然后把整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算方法進(jìn)行梳理和對(duì)比，幫助學(xué)生找到運(yùn)算方法的一致性，形成完整認(rèn)知結(jié)構(gòu)。再如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算過(guò)程中蘊(yùn)含了乘法的分配律，所以教學(xué)乘法分配律時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生回頭看兩位數(shù)乘兩位數(shù)的運(yùn)算過(guò)程，合理解釋這一運(yùn)算律在乘法豎式運(yùn)算中的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生理解豎式和遞等式運(yùn)算的內(nèi)在原理的一致性。

2.勾連關(guān)系，理解運(yùn)算規(guī)律和方法的一致性

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有內(nèi)在的規(guī)律和方法一致性的。如教學(xué)整數(shù)除法時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)除法的規(guī)律，如被除數(shù)一定，除數(shù)越大，商越小。在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中不斷推廣這些規(guī)律后，學(xué)生就能體會(huì)到運(yùn)算規(guī)律的一致性。又如學(xué)習(xí)了除法、分?jǐn)?shù)、比之間的關(guān)系后，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)時(shí)，就可以結(jié)合商不變性質(zhì)解釋分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，在學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)時(shí)，就可以結(jié)合分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)解釋比的基本性質(zhì)……這樣的互釋使看似不同性質(zhì)的規(guī)律通過(guò)內(nèi)在的聯(lián)系呈現(xiàn)了一致性。再如乘法和除法存在互逆關(guān)系，教學(xué)分?jǐn)?shù)除法的時(shí)候，借助倒數(shù)把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法，就能使學(xué)生體會(huì)到兩種算法之間的一致性。這樣勾連運(yùn)算之間的關(guān)系，能有效地把運(yùn)算知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，幫助學(xué)生構(gòu)建新知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

3.關(guān)聯(lián)遷移，理解運(yùn)算蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法的一致性

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力還是多因素融合的能力，包含理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。如在歸納總結(jié)加法交換律時(shí)，要求學(xué)生根據(jù)問(wèn)題情境寫(xiě)出幾個(gè)等式，經(jīng)過(guò)觀察后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，將這種合情推理的方法遷移到后續(xù)的加法和乘法運(yùn)算律的學(xué)習(xí)中，所以在這些規(guī)律的總結(jié)方面要能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的一致性。又如探究小數(shù)加法的計(jì)算方法時(shí)，借助人民幣單位把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)再計(jì)算，這種計(jì)算方法也能遷移到小數(shù)乘法、小數(shù)除法中。因此，在總結(jié)方法的時(shí)候，要關(guān)聯(lián)之前的運(yùn)算方法，讓學(xué)生體會(huì)到這些運(yùn)算方法中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是一致的。

綜上，學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工程，教師在平時(shí)的教學(xué)中只有持之以恒地去做，才能收到理想的效果。

（責(zé)編 金 鈴）