初中生數(shù)感培養(yǎng)的障礙成因及對(duì)策研究

張克平

[摘? 要] 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)與形，對(duì)這一基本判斷的理解如何才能更加科學(xué)，值得每一個(gè)數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，在教學(xué)當(dāng)中必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感. 形成這些障礙的原因是多方面的，主要有二：一是教師缺乏顯性的數(shù)感培養(yǎng)意識(shí)，二是純粹的應(yīng)試阻礙了學(xué)生數(shù)感的養(yǎng)成. 針對(duì)這些障礙所確立的數(shù)感培養(yǎng)策略可以是：結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，發(fā)掘其中的數(shù)感養(yǎng)成要素，立足于數(shù)學(xué)概念教學(xué)與數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感.

[關(guān)鍵詞] 初中生;數(shù)感;數(shù)感培養(yǎng);障礙成因;對(duì)策研究

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)與形，對(duì)這一基本判斷的理解如何才能更加科學(xué)，值得每一個(gè)數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考. 比如說(shuō)對(duì)于其中的“數(shù)”，其顯然不只是指數(shù)字，其也應(yīng)當(dāng)有數(shù)量及其數(shù)量之間的關(guān)系等等內(nèi)涵……然而僅有這樣的理解還是不夠的，尤其是在教學(xué)的視野之下，“數(shù)”實(shí)際上還指教學(xué)生的數(shù)感. 對(duì)于數(shù)感的理解，有廣義與狹義兩種. 廣義的數(shù)感是指在個(gè)體沒(méi)有注意到的情況下，在一小堆事物中增加或移出一個(gè)物體后，個(gè)體能夠意識(shí)到這對(duì)物體發(fā)生了變化的能力（數(shù)感概念的提出者，托拜厄斯·丹齊克，1954）;狹義的數(shù)感一般是指人們?cè)跀?shù)概念擴(kuò)展中而產(chǎn)生的對(duì)數(shù)學(xué)的一種敏感與一般理解. 無(wú)論是狹義的理解，還是廣義的理解，對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，意味著一個(gè)重要的任務(wù)，那就是在教學(xué)當(dāng)中必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感. 建立數(shù)感有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我構(gòu)建，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，有助于提高學(xué)生的文化修養(yǎng).

在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)感的被重視程度遠(yuǎn)不如應(yīng)試能力的培養(yǎng)，這很大程度上是因?yàn)閿?shù)感無(wú)法進(jìn)行量化，其也沒(méi)有直接可供測(cè)量的、成系列的題目用來(lái)評(píng)價(jià). 但這并不意味著數(shù)感不重要，事實(shí)恰好相反，只要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中與數(shù)接觸，那數(shù)感就無(wú)處不在. 而且正如上面所說(shuō)的那樣，一旦學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中形成了良好的數(shù)感，那么不僅會(huì)優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，也能發(fā)展學(xué)生的各項(xiàng)能力與素養(yǎng). 當(dāng)下的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)列出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等六個(gè)要素，這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的達(dá)成與數(shù)感也都密切相關(guān). 因此在核心素養(yǎng)的背景之下，數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)必須高度重視數(shù)感的培養(yǎng).

初中生數(shù)感培養(yǎng)的障礙成因

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視數(shù)感，很大程度上是因?yàn)檎n程改革，數(shù)感是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出的一個(gè)重要概念. 數(shù)感常常被理解為人們主動(dòng)地、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí). 對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)感是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中建立起的“數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題和解決問(wèn)題”的重要組成部分. 建立起良好的數(shù)感，可以促進(jìn)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，并且有效地形成數(shù)學(xué)運(yùn)算技能;而對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，則需要在數(shù)學(xué)教育改革中正確地理解課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)數(shù)感的要求，充分認(rèn)識(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要性.

形成數(shù)感的主體是學(xué)生，很多學(xué)生之所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不理想，很大程度上就是因?yàn)閿?shù)感沒(méi)有有效的養(yǎng)成，也就是在數(shù)感培養(yǎng)方面存在一些障礙. 形成這些障礙的原因是多方面的，筆者通過(guò)研究梳理出如下兩點(diǎn)：

其一，教師缺乏顯性的數(shù)感培養(yǎng)意識(shí).

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是教學(xué)的主導(dǎo)，如果教師的主導(dǎo)作用發(fā)揮不恰當(dāng)，那學(xué)生的學(xué)習(xí)方向就會(huì)發(fā)生偏差. 對(duì)于數(shù)感的培養(yǎng)來(lái)說(shuō)，一個(gè)很重要的基本原則就是數(shù)感養(yǎng)成情境的創(chuàng)設(shè)與顯性的指導(dǎo). 數(shù)感本質(zhì)上是一種感知能力，這種感知能力很大程度上與學(xué)生的形象思維有關(guān)，而有研究表明義務(wù)教育階段是學(xué)生數(shù)感養(yǎng)成最重要的階段，但是由于相當(dāng)一部分教師在教學(xué)中沒(méi)有明確的、顯性的數(shù)感培養(yǎng)意識(shí)，因此學(xué)生學(xué)習(xí)情境當(dāng)中的數(shù)感元素很多時(shí)候就會(huì)流失，學(xué)生得不到一個(gè)真正可以獲得數(shù)感養(yǎng)成的學(xué)習(xí)空間，因此數(shù)感的養(yǎng)成效果就非常不明顯.

其二，純粹的應(yīng)試阻礙了學(xué)生數(shù)感的養(yǎng)成.

學(xué)生自身的元素也是數(shù)感培養(yǎng)障礙的一個(gè)重要原因，當(dāng)前絕大多數(shù)初中學(xué)生都將自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)定位為應(yīng)付考試，而且對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)這是一種強(qiáng)烈的意識(shí)，這是考試這根“指揮棒”強(qiáng)大的威力. 由于種種客觀原因，學(xué)生這樣的選擇原本無(wú)可厚非，但是從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度來(lái)看，尤其是從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)養(yǎng)成的角度來(lái)看，這種單一的目標(biāo)又確實(shí)會(huì)阻礙學(xué)生數(shù)感的養(yǎng)成.

以上兩點(diǎn)分別從教與學(xué)的角度，從教師和學(xué)生角度對(duì)數(shù)感培養(yǎng)的障礙進(jìn)行了分析. 雖然這是兩個(gè)比較宏觀的角度，但確實(shí)是影響數(shù)感培養(yǎng)的兩個(gè)主要因素，同時(shí)也只有確立了正確的宏觀方向，其后研究影響數(shù)感培養(yǎng)的一些細(xì)節(jié)才能保持其科學(xué)性.

初中生數(shù)感培養(yǎng)的有效對(duì)策

基于以上分析，具體到初中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體過(guò)程中，數(shù)感培養(yǎng)的有效對(duì)策，就可以從師生兩個(gè)角度，從影響數(shù)感養(yǎng)成的具體細(xì)節(jié)因素入手. 對(duì)此筆者確立的策略及其思路是：結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，發(fā)掘其中的數(shù)感養(yǎng)成要素，立足于數(shù)學(xué)概念教學(xué)與數(shù)的運(yùn)算教學(xué)，進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)感. 與此同時(shí)，要認(rèn)識(shí)到學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用過(guò)程中出現(xiàn)的障礙可能是影響學(xué)生數(shù)感的重要原因，因此在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，還要充分利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，努力做到運(yùn)用準(zhǔn)確精練、深入淺出、活潑有趣的描述數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生更多地感悟、表述數(shù)學(xué)，使其在接收數(shù)學(xué)語(yǔ)言信息時(shí)能對(duì)學(xué)習(xí)的對(duì)象進(jìn)行深度加工，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的本質(zhì)進(jìn)行有效、準(zhǔn)確描述，如此不但能使數(shù)學(xué)教學(xué)語(yǔ)言更具個(gè)性，也使數(shù)感的形成和表現(xiàn)擁有更豐富的渠道.

例如，在“因式分解”這一知識(shí)的教學(xué)當(dāng)中，筆者注意到，從理論的角度來(lái)看：因式分解實(shí)際上就是在式的變形當(dāng)中，將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式乘積的過(guò)程. 但是對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種抽象的數(shù)學(xué)定義并不利于他們形成對(duì)因式分解的準(zhǔn)確理解，也無(wú)法培養(yǎng)他們的因式分解能力. 事實(shí)上，因式分解的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生所運(yùn)用到的思維與他們的數(shù)感密切相關(guān)，能否認(rèn)識(shí)到多項(xiàng)式可以由哪些整式通過(guò)相乘而得到，很大程度上取決于數(shù)感基礎(chǔ)上形成的良好直覺(jué)——很多教師在日常的教學(xué)分析當(dāng)中只看到直覺(jué)，卻意識(shí)不到這與數(shù)感有關(guān)，客觀上這也是數(shù)感形成出現(xiàn)障礙的一個(gè)細(xì)節(jié)原因.

針對(duì)以上分析，在因式分解這一知識(shí)的教學(xué)中，可以重點(diǎn)設(shè)計(jì)這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，即掌握了方法之后的短時(shí)訓(xùn)練環(huán)節(jié). 比如說(shuō)“提公因式法”是應(yīng)試分解最常用的方法，其本質(zhì)在于尋找到某一多項(xiàng)式中公共的因式. 這個(gè)公共因式如何為學(xué)生有效發(fā)現(xiàn)，決定了學(xué)生能否準(zhǔn)確迅速地進(jìn)行因式分解. 這個(gè)時(shí)候，數(shù)感的作用就非常重要. 而筆者這里所說(shuō)的短時(shí)訓(xùn)練，實(shí)際上就是給學(xué)生一些基本的多項(xiàng)式，如a2b+ab2，8a3b2+2a2b3，2a（b+c）-5（b+c）等，在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些多項(xiàng)式中的公共因式的時(shí)候，有一個(gè)非常重要的指標(biāo)，那就是學(xué)生所用的時(shí)間. 在求解正確的基礎(chǔ)之上，用時(shí)越少，那么給學(xué)生的評(píng)價(jià)就可以越高.

這實(shí)際上就是一個(gè)立足于數(shù)感培養(yǎng)，進(jìn)而讓學(xué)生形成良好數(shù)感直覺(jué)的過(guò)程，只要在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中堅(jiān)持循序漸進(jìn)的原則，那么學(xué)生就可以在由易變難的過(guò)程中，慢慢練就一個(gè)發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中公共因式的“火眼金睛”. 總的來(lái)說(shuō)，因式分解學(xué)習(xí)的過(guò)程，本質(zhì)上也是一個(gè)感知數(shù)量關(guān)系及其規(guī)律的過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的良好契機(jī).

對(duì)初中生數(shù)感培養(yǎng)的再思考

可以毫不夸張地講，幾乎每一個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)都與“數(shù)”相關(guān)，雖然不是說(shuō)每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)都要將數(shù)感作為第一要素. 但不可否認(rèn)的是，只要教師在教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中有明確的數(shù)感培養(yǎng)的意識(shí)，然后結(jié)合初中學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)、生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)等因素，去設(shè)計(jì)一個(gè)顯性的、面向數(shù)感養(yǎng)成的學(xué)習(xí)情境，并結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行有針對(duì)性的評(píng)價(jià)，那就可以有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)感養(yǎng)成.

在上面的例子當(dāng)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到每一個(gè)多項(xiàng)式，本質(zhì)上都是一個(gè)“數(shù)”，因式分解的基本前提就是發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式這個(gè)“數(shù)”中的共同點(diǎn)——公共因式. 只要我們（是指學(xué)生）能夠在這個(gè)過(guò)程中做到目光如炬，那在面對(duì)無(wú)論多么復(fù)雜的多項(xiàng)式時(shí)，就都能夠做到一擊必中. 這種略帶感性的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)是恰當(dāng)?shù)模饶軌蚣ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，也能夠讓學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到像因式分解這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，其實(shí)就在于“一種感覺(jué)”（學(xué)生語(yǔ)），學(xué)生所認(rèn)識(shí)到的這種感覺(jué)實(shí)際上正是對(duì)數(shù)感最樸素的描述. 同時(shí)這樣的教學(xué)，客觀上也超越了純粹的應(yīng)試需要，可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程變得更加自然.

除此之外要注意的是培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)感，還離不開(kāi)學(xué)生在社會(huì)生活中積累經(jīng)驗(yàn)，注重體驗(yàn). 只有將數(shù)學(xué)延伸到生活，才能讓課堂上形成的數(shù)感更好地扎根于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，才能在數(shù)感養(yǎng)成的基礎(chǔ)之上，更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

以上是筆者對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)感培養(yǎng)障礙及其對(duì)策的一點(diǎn)淺顯研究，不當(dāng)之處，請(qǐng)專(zhuān)家同行批評(píng)指正.