借助“一題一課”建構(gòu)數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)課

王聞 李克民

[摘? 要] 文章借助“一題一課”建構(gòu)數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)課，引領(lǐng)學(xué)生理性回歸課本，梳理數(shù)學(xué)概念;畫(huà)圖敘事，運(yùn)用圖形直觀辨析數(shù)學(xué)概念;敘事畫(huà)圖，在問(wèn)題中加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解;融合數(shù)學(xué)活動(dòng)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用性，提升學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

[關(guān)鍵詞] 一題一課;數(shù)學(xué)概念;深度思維;復(fù)習(xí)課

“一題一課”是指教師對(duì)一道典型題或一項(xiàng)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行深入研究，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線(xiàn)索與資源，科學(xué)有序地組織學(xué)生開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生深度思維，從而完成一節(jié)課的教學(xué)任務(wù).

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根基，學(xué)生只有掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程方能厘清數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)聯(lián)，繼而引發(fā)學(xué)生的深度思維，才能正確運(yùn)用概念解決問(wèn)題.

在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在遇到與“距離”有關(guān)的試題時(shí)容易出錯(cuò)，究其原因是學(xué)生沒(méi)有厘清與“距離”有關(guān)的數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與關(guān)聯(lián). 于是，筆者圍繞與“距離”有關(guān)的數(shù)學(xué)概念展開(kāi)“一題一課”的概念復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì). 借助“一題一課”建構(gòu)數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)課，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)剖析數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，厘清數(shù)學(xué)概念的關(guān)聯(lián)，能夠提升學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

理性回歸課本，梳理數(shù)學(xué)概念

課本是最好的教材. 學(xué)生學(xué)會(huì)回歸課本，理性地研究數(shù)學(xué)概念，對(duì)相似的概念進(jìn)行類(lèi)比分析，厘清知識(shí)間的脈絡(luò)，可將知識(shí)“連點(diǎn)成線(xiàn)，織線(xiàn)成網(wǎng)”.

章建躍老師說(shuō)，“對(duì)同類(lèi)概念進(jìn)行對(duì)比，可概括共同屬性”. 教師讓學(xué)生先到課本上找到“兩點(diǎn)之間的距離”概念、“直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”概念、“平行線(xiàn)間的距離”概念，結(jié)合生活實(shí)際說(shuō)明距離的含義、點(diǎn)與點(diǎn)的距離含義、點(diǎn)與線(xiàn)的距離含義、同一平面內(nèi)兩條平行線(xiàn)之間的距離含義;接著，教師再引領(lǐng)學(xué)生聯(lián)想與之相關(guān)的概念，如線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)（判定）定理、角平分線(xiàn)的性質(zhì)（判定）定理、三角形的外心內(nèi)心、圓中的兩條平行弦推論等;最后，教師引領(lǐng)學(xué)生畫(huà)出與距離有關(guān)的“思維導(dǎo)圖”，形成概念群，如圖1.

通過(guò)思維導(dǎo)圖讓學(xué)生意識(shí)到線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)（判定）定理實(shí)質(zhì)上指點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，而角平分線(xiàn)的性質(zhì)（判定）定理是指點(diǎn)與線(xiàn)之間的距離，同一平面內(nèi)兩條平行線(xiàn)之間的距離指其中一條線(xiàn)上的任一點(diǎn)到另一條線(xiàn)的距離. 這樣，學(xué)生能抓住以距離為中心的核心概念之間的關(guān)聯(lián)，最終將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)與線(xiàn)之間的距離這兩大類(lèi)問(wèn)題.

通過(guò)回歸課本，厘清相似數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及其關(guān)聯(lián)，鎖定不同概念之間的內(nèi)在聯(lián)系及不同表象之間的關(guān)聯(lián)，在頭腦中形成相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)，概括其共同屬性，厘清其特性，有助于學(xué)生正確解決問(wèn)題.

畫(huà)圖敘事，運(yùn)用圖形直觀辨析

數(shù)學(xué)概念

畫(huà)圖敘事是指通過(guò)繪制圖形來(lái)敘述一件事情. 這里的畫(huà)圖敘事是指通過(guò)畫(huà)圖來(lái)敘述數(shù)學(xué)概念、定理，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法辨析數(shù)學(xué)概念，能讓學(xué)生直觀地感受到數(shù)學(xué)概念. 例如，在復(fù)習(xí)與“距離”有關(guān)的數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖感受點(diǎn)到點(diǎn)的距離是指連接兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度（如圖2）、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是指點(diǎn)P到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度（如圖3）、平行線(xiàn)間的距離是指一條直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)P到另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度（如圖4），從而讓學(xué)生理解垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度含義，能說(shuō)出線(xiàn)段與垂線(xiàn)段的含義及功能. 接著，學(xué)生再通過(guò)畫(huà)三角形的外接圓與內(nèi)切圓，感受外心與內(nèi)心的形成過(guò)程，并正確地?cái)⑹鋈切瓮庑呐c內(nèi)心的特征. 然后，學(xué)生根據(jù)同一平面內(nèi)兩條平行線(xiàn)的距離解決圓中兩條平行弦之間的距離問(wèn)題，進(jìn)而能得出圓中兩條平行弦所夾的弧相等的推論. 這樣，學(xué)生通過(guò)直觀畫(huà)圖和具體操作能親身感受數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程及定理（推論）產(chǎn)生的依據(jù)，就會(huì)對(duì)距離的概念有深刻印象和本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

例題：已知∠MON等于60°，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別位于∠MON的兩邊上. 試在∠MON的內(nèi)部尋找一點(diǎn)O，使點(diǎn)O到E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離相等，且到∠MON的兩邊距離相等.

面對(duì)此題，學(xué)生就要根據(jù)題目的敘事畫(huà)出圖形進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)和∠MON的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)O. 學(xué)生在敘事畫(huà)圖中切實(shí)體驗(yàn)了“到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上”“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，這個(gè)距離是點(diǎn)與直線(xiàn)之間的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度”，并能正確地解決問(wèn)題. 畫(huà)圖敘事是滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的橋梁，它能更直觀地引領(lǐng)學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生進(jìn)入深度思維狀態(tài).

直觀和具體是理解數(shù)學(xué)概念的重要方式和手段，教學(xué)中我們可以設(shè)計(jì)生動(dòng)形象的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解釋抽象的數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)意義，增強(qiáng)概括與抽象能力. 直觀和具體的畫(huà)圖敘事方式讓學(xué)生有效地認(rèn)清了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題.

敘事畫(huà)圖，在問(wèn)題中加深對(duì)數(shù)? ? 學(xué)概念的理解

圖形語(yǔ)言是一種直觀模型，簡(jiǎn)明扼要. 根據(jù)敘事能正確地畫(huà)出圖形等于學(xué)會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，稱(chēng)之為敘事畫(huà)圖. 在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生如果能根據(jù)題目的意思（即敘事）正確畫(huà)出圖形，解決問(wèn)題就變得更簡(jiǎn)單. 若想真正解決問(wèn)題還需要學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，尤其是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題的能力.

問(wèn)題1：如圖5，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，Q是射線(xiàn)OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2，求PQ的最小值.

教師先引領(lǐng)學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘事，通過(guò)問(wèn)題分析和直觀地畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)當(dāng)PQ為垂線(xiàn)段時(shí)才有最小值，從而用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理求出PQ的最小值是2.

問(wèn)題2：如圖6，點(diǎn)A在∠MON的OM邊上，點(diǎn)B在∠MON的內(nèi)部，點(diǎn)D是邊ON的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在何處時(shí)使得點(diǎn)D到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最??？

這道題既加深了兩點(diǎn)之間距離的概念，又鞏固了典型的幾何求最值的方法. 這要求學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短問(wèn)題，進(jìn)一步提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題的能力.

問(wèn)題3：如圖7，點(diǎn)A在∠MON的OM邊上，點(diǎn)B在∠MON的ON邊上，點(diǎn)D是ON邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是OM邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D，E在何處時(shí)使得AD+DE+BE的和最?。?/p>

這道題是由上題的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)改編成兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，難度又增大很多，要求學(xué)生從部分開(kāi)始先考慮AD+DE的最小值，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短問(wèn)題. 需要先找定點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，再找A′E+BE的最小值，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E在OM邊上，點(diǎn)A′與點(diǎn)B是在OM同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，再找點(diǎn)B關(guān)于OM邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，即可又轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短問(wèn)題. 教師要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的處理方法，把陌生問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為熟悉的情境，再加以歸納總結(jié)，問(wèn)題便可迎刃而解.

在畫(huà)圖的過(guò)程中，教師要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考與分析數(shù)學(xué)概念，學(xué)會(huì)在變式訓(xùn)練中引發(fā)深度思維、碰撞靈感、總結(jié)思想方法和技能，形成基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生才能正確地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決實(shí)際問(wèn)題.

融合數(shù)學(xué)活動(dòng)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)概念

的應(yīng)用性

數(shù)學(xué)概念起源于問(wèn)題又應(yīng)用于問(wèn)題解決. 近年來(lái)，與數(shù)學(xué)活動(dòng)有關(guān)的中考題也越來(lái)越多，其中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形變換是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一. 學(xué)生要在日常學(xué)習(xí)中經(jīng)歷圖形的運(yùn)動(dòng)變化，并在變化過(guò)程中積累操作經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題.

問(wèn)題4：（2017年徐州中考數(shù)學(xué)第27題）如圖8，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片ABC按圖示順序進(jìn)行兩次折疊，展平后，得折痕AD，BE，點(diǎn)O為其交點(diǎn).

（1）探求AO與OD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）如圖9，若P，N分別為BE，BC上的動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求BP的長(zhǎng)度;

②如圖10，如果點(diǎn)Q在線(xiàn)段BO上，BQ=1，那么QN+NP+PD的最小值為_(kāi)_______.

在當(dāng)年的中考閱卷中，本題的得分率非常低. 許多學(xué)生只能做出第（1）小題，面對(duì)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最值問(wèn)題則不知所措，再加上翻折變化，更讓許多學(xué)生望而卻步.

本題主要考查在翻折的過(guò)程中識(shí)別等邊三角形的性質(zhì)，用直角三角形的有關(guān)定理結(jié)合求距離的最小值問(wèn)題訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用能力，讓學(xué)生能在圖形變換過(guò)程中運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”和“垂線(xiàn)段最短”解決問(wèn)題.

筆者借助“一題一課”的教學(xué)方式復(fù)習(xí)與距離有關(guān)的數(shù)學(xué)概念群，建構(gòu)了以距離為核心概念的概念網(wǎng). 學(xué)生通過(guò)思維導(dǎo)圖復(fù)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)概念，把這些概念歸納為兩大類(lèi)（點(diǎn)與點(diǎn)的距離和點(diǎn)與線(xiàn)的距離）再進(jìn)行畫(huà)圖，直觀感悟相關(guān)概念的本質(zhì)和關(guān)聯(lián);然后通過(guò)畫(huà)圖敘事和敘事畫(huà)圖的方式辨析概念、鞏固概念，再經(jīng)歷一題多變、拓展提升等變式訓(xùn)練達(dá)到做一題、會(huì)一類(lèi)、通一片的目的，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

在借助“一題一課”建構(gòu)數(shù)學(xué)概念復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，教師要注意兼顧不同學(xué)生，重視“長(zhǎng)時(shí)間思考”與“短時(shí)間思考”之間的平衡關(guān)系. 在遇到具有挑戰(zhàn)性的綜合題時(shí)，教師盡量給學(xué)生延長(zhǎng)思考時(shí)間，有利于學(xué)生深入思考問(wèn)題，把問(wèn)題真正想深、悟透、學(xué)活.