幾何證明（1）

摘 要：證明是幾何學習的精髓，要學好證明需要有一個循序漸進的過程，其中學會說理是學好證明的關(guān)鍵.

關(guān)鍵詞：幾何證明;一題多解;一題多變

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）23-0040-02

收稿日期：2021-05-15

作者簡介：王安華（1972.6-），男，本科，中小學高級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

課題：專題復習—幾何證明（1）

一、教學目標

1.通過例題探究學習，掌握證明線段相等的基本方法.

2.通過例題探究學習，總結(jié)添加輔助線的基本方法.

3.通過一題多解，培養(yǎng)學生分析問題、轉(zhuǎn)化以及綜合運用能力.

4.培養(yǎng)學生推理能力，提高學生思維水平.

二、教學重點

構(gòu)造全等三角形，證明兩條線段相等.

三、教學難點

添加輔助線.

四、教學準備

幾何畫板課件.

五、教學過程

1.知識回顧（6分鐘）

（1）哪些定理可以幫助我們證明兩條線段相等？（學生回憶后，部分同學展示，3分鐘）

主要有：全等三角形的對應(yīng)邊相等，等角對等邊，平行四邊形的對邊相等，角的平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等.

（2）等腰三角形、等邊三角形有什么性質(zhì)？（學生回憶，部分同學展示，3分鐘）

設(shè)計意圖：（1）通過回憶相關(guān)定理，為學生證明線段相等提供方向.

（3）回憶等腰三角形、等邊三角形性質(zhì)為例題學習提供基本知識和儲備.

2.新課學習（約27分鐘）

（1）新課引入：今天我們通過一個例題，來學習證明線段相等的一般方法.

（2）出示例題（課件出示）

例題 如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊AB上一點，E是CB延長線上一點，且DE=DC，求證：AD=BE

（3）學生自主探究：（8分鐘）

設(shè)計意圖：給學生8分鐘的思考時間，充分發(fā)揮學生的主體地位，讓學生先獨立思考，找到自己的解決辦法，培養(yǎng)學生獨立思考能力.

（4）小組討論（5分鐘）

設(shè)計意圖：小組討論5分鐘，在組內(nèi)展示自己的方法，獲得成功感，借鑒其他同學思路、方法，提高思維能力，同時幫助有困難的同學解決問題

（5）小組展示（教師根據(jù)小組討論情況選擇發(fā)言）：（約5分鐘）要求學生重點展示方法（怎么做）和思路分析（為什么這么做，你是怎么想到的這個辦法？）

（6）教師點評（7分鐘）

教師根據(jù)學生展示情況，做好預設(shè)

①若學生出現(xiàn)預設(shè)方法中作等邊三角形一邊的平行線，引導學生思考在其他位置作平行線，得到不同構(gòu)圖方法并總結(jié).（作等邊三角形一邊的平行線，和另外兩邊相交，又會出現(xiàn)一個等邊三角形，得到線段相等）

②若學生方法中出現(xiàn)了教師預設(shè)中的方法4或方法5，引導學生對這種方法進行思路分析，獲得直接構(gòu)造三角形全等的方法經(jīng)驗.

③對于教師預設(shè)方法6，根據(jù)課堂情況進行選擇，若學生證明方法中出現(xiàn)，讓學生重點介紹方法選擇的思路源泉，給其他學生以啟迪.若學生證明方法中未出現(xiàn)，教師課根據(jù)課堂時間靈活掌握（或課下出示給學生）.

例題解析：

方法1 如圖2，作DM∥BC，與 AC相交于點M.

①證明△ADM是等邊三角形，得到AD=DM

②證明△BDE≌△MCD得到BE=DM

由①②得到BE=AD

方法2 如圖3，作DM∥AC，與 BC相交于點M.

①證明△BDM是等邊三角形，得到BD=BM， 進一步得到AD=CM（或：因為DM∥AC，所以ADAB=CMBC，由AB=BC得到AD=CM）

②證明△BDE≌△MDC，得到BE=CM

由①②得到BE=AD

方法3 如圖4作EM∥AC，與AB延長線相交于點M.

①證明△EBM是等邊三角形，得到BE=EM

②證明△EDM≌△DCA得到EM=AD

由①②得到BE=AD

方法4 如圖5，作DM⊥AC，EN⊥AB，垂足分別是M，N.

證明△CDM≌△DEN，得到DM=EN

①證明△ADM≌△BEN得到BE=AD

（思路分析：構(gòu)造要證明的兩線段所在的直角三角形全等）

方法5 如圖6，在CA延長線上取一點M，使DM=DC，（或以D為圓心畫弧，交CA延長線于點M）證明△BED≌△AMD

（思路分析：構(gòu)造要證明的兩線段所在的三角形全等）

方法6 如圖7，作DN⊥BC，垂足為N，交CA延長線于M，連接EM

①證明AM=AD（思路源于魯教版七下110頁習題10.7知識技能1題）

②利用DN是EC的垂直平分線（三線合一）得到ME=MC，進一步得到AM=BE

由①②得到BE=AD

3.變式練習（10分鐘）

（變式練習可根據(jù)前面例題完成情況出示或改為課下練習.）

如圖8，△ABC是等邊三角形，D是邊AB延長線上一點，E是CB延長線上一點，且DE=DC，求證：AD=BE

4.課堂總結(jié)（2分鐘）

今天你有哪些收獲？

（重點引導學生總結(jié)：①證明線段相等的方法，②構(gòu)造全等三角形的方法，

③作等腰三角形一邊的平行線與另兩邊相交，有什么作用？）

5.布置作業(yè)

（2015年煙臺中考試題）如圖9，已知△ABC是等邊三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且DE=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF，連接EF.試證明：AB=DB+AF.

參考文獻：

[1]趙菲.煙臺市中考數(shù)學試題與課程標準的一致性分析[D].煙臺：魯東大學，2016.

[2]吳健.分析近幾年全國各省市中考數(shù)學命題特點和高頻考點r——探究2016年中考數(shù)學命題趨勢[J].中學數(shù)學（初中版·下半月），2016（1）：47-50.