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    幾何證明(1)

    2021-09-13 13:13:42王安華
    關(guān)鍵詞:一題多變一題多解

    摘 要:證明是幾何學習的精髓,要學好證明需要有一個循序漸進的過程,其中學會說理是學好證明的關(guān)鍵.

    關(guān)鍵詞:幾何證明;一題多解;一題多變

    中圖分類號:G632 ? ? ?文獻標識碼:A ? ? ?文章編號:1008-0333(2021)23-0040-02

    收稿日期:2021-05-15

    作者簡介:王安華(1972.6-),男,本科,中小學高級教師,從事初中數(shù)學教學研究.

    課題:專題復習—幾何證明(1)

    一、教學目標

    1.通過例題探究學習,掌握證明線段相等的基本方法.

    2.通過例題探究學習,總結(jié)添加輔助線的基本方法.

    3.通過一題多解,培養(yǎng)學生分析問題、轉(zhuǎn)化以及綜合運用能力.

    4.培養(yǎng)學生推理能力,提高學生思維水平.

    二、教學重點

    構(gòu)造全等三角形,證明兩條線段相等.

    三、教學難點

    添加輔助線.

    四、教學準備

    幾何畫板課件.

    五、教學過程

    1.知識回顧(6分鐘)

    (1)哪些定理可以幫助我們證明兩條線段相等?(學生回憶后,部分同學展示,3分鐘)

    主要有:全等三角形的對應(yīng)邊相等,等角對等邊,平行四邊形的對邊相等,角的平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)等.

    (2)等腰三角形、等邊三角形有什么性質(zhì)?(學生回憶,部分同學展示,3分鐘)

    設(shè)計意圖:(1)通過回憶相關(guān)定理,為學生證明線段相等提供方向.

    (3)回憶等腰三角形、等邊三角形性質(zhì)為例題學習提供基本知識和儲備.

    2.新課學習(約27分鐘)

    (1)新課引入:今天我們通過一個例題,來學習證明線段相等的一般方法.

    (2)出示例題(課件出示)

    例題 如圖1,△ABC是等邊三角形,D是邊AB上一點,E是CB延長線上一點,且DE=DC,求證:AD=BE

    (3)學生自主探究:(8分鐘)

    設(shè)計意圖:給學生8分鐘的思考時間,充分發(fā)揮學生的主體地位,讓學生先獨立思考,找到自己的解決辦法,培養(yǎng)學生獨立思考能力.

    (4)小組討論(5分鐘)

    設(shè)計意圖:小組討論5分鐘,在組內(nèi)展示自己的方法,獲得成功感,借鑒其他同學思路、方法,提高思維能力,同時幫助有困難的同學解決問題

    (5)小組展示(教師根據(jù)小組討論情況選擇發(fā)言):(約5分鐘)要求學生重點展示方法(怎么做)和思路分析(為什么這么做,你是怎么想到的這個辦法?)

    (6)教師點評(7分鐘)

    教師根據(jù)學生展示情況,做好預設(shè)

    ①若學生出現(xiàn)預設(shè)方法中作等邊三角形一邊的平行線,引導學生思考在其他位置作平行線,得到不同構(gòu)圖方法并總結(jié).(作等邊三角形一邊的平行線,和另外兩邊相交,又會出現(xiàn)一個等邊三角形,得到線段相等)

    ②若學生方法中出現(xiàn)了教師預設(shè)中的方法4或方法5,引導學生對這種方法進行思路分析,獲得直接構(gòu)造三角形全等的方法經(jīng)驗.

    ③對于教師預設(shè)方法6,根據(jù)課堂情況進行選擇,若學生證明方法中出現(xiàn),讓學生重點介紹方法選擇的思路源泉,給其他學生以啟迪.若學生證明方法中未出現(xiàn),教師課根據(jù)課堂時間靈活掌握(或課下出示給學生).

    例題解析:

    方法1 如圖2,作DM∥BC,與 AC相交于點M.

    ①證明△ADM是等邊三角形,得到AD=DM

    ②證明△BDE≌△MCD得到BE=DM

    由①②得到BE=AD

    方法2 如圖3,作DM∥AC,與 BC相交于點M.

    ①證明△BDM是等邊三角形,得到BD=BM, 進一步得到AD=CM(或:因為DM∥AC,所以ADAB=CMBC,由AB=BC得到AD=CM)

    ②證明△BDE≌△MDC,得到BE=CM

    由①②得到BE=AD

    方法3 如圖4作EM∥AC,與AB延長線相交于點M.

    ①證明△EBM是等邊三角形,得到BE=EM

    ②證明△EDM≌△DCA得到EM=AD

    由①②得到BE=AD

    方法4 如圖5,作DM⊥AC,EN⊥AB,垂足分別是M,N.

    證明△CDM≌△DEN,得到DM=EN

    ①證明△ADM≌△BEN得到BE=AD

    (思路分析:構(gòu)造要證明的兩線段所在的直角三角形全等)

    方法5 如圖6,在CA延長線上取一點M,使DM=DC,(或以D為圓心畫弧,交CA延長線于點M)證明△BED≌△AMD

    (思路分析:構(gòu)造要證明的兩線段所在的三角形全等)

    方法6 如圖7,作DN⊥BC,垂足為N,交CA延長線于M,連接EM

    ①證明AM=AD(思路源于魯教版七下110頁習題10.7知識技能1題)

    ②利用DN是EC的垂直平分線(三線合一)得到ME=MC,進一步得到AM=BE

    由①②得到BE=AD

    3.變式練習(10分鐘)

    (變式練習可根據(jù)前面例題完成情況出示或改為課下練習.)

    如圖8,△ABC是等邊三角形,D是邊AB延長線上一點,E是CB延長線上一點,且DE=DC,求證:AD=BE

    4.課堂總結(jié)(2分鐘)

    今天你有哪些收獲?

    (重點引導學生總結(jié):①證明線段相等的方法,②構(gòu)造全等三角形的方法,

    ③作等腰三角形一邊的平行線與另兩邊相交,有什么作用?)

    5.布置作業(yè)

    (2015年煙臺中考試題)如圖9,已知△ABC是等邊三角形,點E在線段AB上,點D在直線BC上,且DE=EC,將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,連接EF.試證明:AB=DB+AF.

    參考文獻:

    [1]趙菲.煙臺市中考數(shù)學試題與課程標準的一致性分析[D].煙臺:魯東大學,2016.

    [2]吳健.分析近幾年全國各省市中考數(shù)學命題特點和高頻考點r——探究2016年中考數(shù)學命題趨勢[J].中學數(shù)學(初中版·下半月),2016(1):47-50.

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