高考數(shù)學(xué)平面向量問題的解題策略

陳軍

摘要：在高中數(shù)學(xué)中，平面向量模塊知識內(nèi)容并不多，但所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法卻意義深刻，耐人尋味。在高考試題中，既可出簡單題，又可出中高檔題。一旦為中高檔題，會讓不少考生所費(fèi)解。平面向量結(jié)合的知識較廣，如不等式、平面幾何、代數(shù)，也可與三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等融合。故我們常稱它是一種有力的工具，是溝通代數(shù)與幾何的重要橋梁。為此，本文將著重探究如何在高考數(shù)學(xué)中如何處理好平面向量的相關(guān)問題，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：平面向量;坐標(biāo)法策略;幾何化策略;極化恒等式

引言：

近幾年高考題中，平面向量的綜合問題深受命題人的青睞，其考察難度有所增加。如何才能讓學(xué)生在短時間找到問題的最佳思路，如何讓學(xué)生靈活使用各項(xiàng)策略，這需要廣大高中教師在日常教學(xué)中刻意訓(xùn)練學(xué)生的解題策略，使學(xué)生在這類問題前從容不迫，自信解題。

下面，我以一道2018年天津高考題的多種解法來引入平面向量問題的多種策略。

故此時，簡直一個字“妙”啊。

綜合看這一題高考題，采用不同策略，其計(jì)算過程的繁雜性不一樣，分別體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想，因而數(shù)學(xué)思想在高中教學(xué)中的滲透至關(guān)重要。下面就高考數(shù)學(xué)中平面向量問題的常見解題策略列舉如下：

一、策略一：坐標(biāo)化策略

坐標(biāo)是向量代數(shù)化的一種表達(dá)形式，可以利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，也可以體現(xiàn)共線等位置關(guān)系。所以向量坐標(biāo)化就是將幾何圖形問題代數(shù)化的過程。對于求解：如向量的運(yùn)算，求參數(shù)值，向量中的最值或范圍等這些問題，坐標(biāo)化后便迎刃而解，或轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的常見問題。見幾題：

（一）坐標(biāo)化策略可以解決最值或范圍問題

此題建立平面直角坐標(biāo)系，重點(diǎn)在于計(jì)算B點(diǎn)坐標(biāo)，此環(huán)節(jié)中又結(jié)合了解三角形求邊長知識。

二、策略二：幾何化第略

向量可以用有向線段表示，向量的相關(guān)運(yùn)算也可以用圖形語言描述。對于向量問題，我們可以借助于圖形直觀化的特點(diǎn)幫助我們破解解題疑點(diǎn)。比如說，向量的加減圖形表示，模長問題，夾角問題等。將所涉及的題設(shè)條件的幾何意義與圖形相關(guān)聯(lián)，然后進(jìn)行解題。

（一）數(shù)量積中投影長度問題

例3：（2020山東），已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF下內(nèi)的一點(diǎn)，則范圍為

掌握好數(shù)量積中投影的幾何意義能建解，比坐標(biāo)法后求范圍取值問題更加速解。

（二）模長問題的幾何化

例4.已知，為平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量，若向量滿足，求最大值。

解析：本題做法很多，既可以坐標(biāo)化，也可以直接去括號轉(zhuǎn)換為關(guān)于夾角的函數(shù)問題。

那么.，數(shù)量積為0想到向量的垂直關(guān)系，如圖∵∠BCA=90°，連接BA，故動點(diǎn)C是在以AB中點(diǎn)，Q為圓心的圓上，半徑，求最大值，故.直徑所對應(yīng)的弦長最長。

此題關(guān)鍵是挖掘垂直關(guān)系，直徑所對應(yīng)的圓周角為90°。

三、策略三.基底化策略

平面向量基本定理是一項(xiàng)重要的解題依據(jù)。定理規(guī)定了平面上任何一個向量總是可以由兩個不共線的向量（基底）線性表示。日常教學(xué)中，很多學(xué)生只會去機(jī)械刷題，而不熱衷于挖掘數(shù)學(xué)定理與定義中所蘊(yùn)含的一些本質(zhì)內(nèi)容：積極培養(yǎng)基底化思想解決平面向量問題，勢必可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，順著走，我們使用基本定理，將未知向量用已知向量表示。逆著走，已知向量表示未知向量，求參數(shù)值問題就有簡單化了。應(yīng)用平面向量基本底表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形或三角形法則進(jìn)行向量的加法，減法或數(shù)乘運(yùn)算，在此，產(chǎn)生了三點(diǎn)共線問題的結(jié)論。如圖：△ABC中，B，Q，C三點(diǎn)共線，若，那如何用、線性表示呢？

四、策略四：談?wù)剺O化恒等式的妙用

結(jié)束語

平面向量兼具代數(shù)與幾何兩種形式，兩種形式并不是獨(dú)立分割的，而是相互促進(jìn)轉(zhuǎn)化的，很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想。使用坐標(biāo)化策略，將求解問題代數(shù)化，向量運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算，可用于求值，求范圍或最值問題。幾何化策略，需要充分將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何語言，如：長度，夾角，軌跡，投影。借助幾何直觀將問題化解?；谆呗?，實(shí)現(xiàn)了未知向已知的轉(zhuǎn)化，選擇合適的基底很重要。極化恒等式是廣義平方差的推導(dǎo)公式，遇到數(shù)量積問題可以考慮使用其進(jìn)行優(yōu)解。不同的策略均可發(fā)展學(xué)生思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。廣大教師應(yīng)該教會學(xué)生對不同策略的思想方法進(jìn)行領(lǐng)悟，不同問題可能選擇的策略不一，其解題過程的復(fù)雜性也不一，廣大考生也應(yīng)該靈活處理。希望本文能夠給廣大教師，讀者帶來啟示，若文中有不當(dāng)之處，還請批評指正！

參考文獻(xiàn)：

[1]溫雅.高中平面向量教學(xué)現(xiàn)狀分析及對策研究[D].華中師范大學(xué)，2015

[2]刁肖俊.高中平面向量問題處理的策略[D].試題研究，2015

[3]郭建明.淺析高中數(shù)學(xué)教學(xué)之平面向量[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019