“平面向量”的教學(xué)體會(huì)

原瑞

摘 要：平面向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐總結(jié)了平面向量教學(xué)中的三點(diǎn)體會(huì)。

關(guān)鍵詞：平面向量；數(shù)學(xué)概念；數(shù)形結(jié)合；類比

平面向量具有極其豐富的實(shí)際背景，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，它在近代數(shù)學(xué)中是非常重要和基本的概念之一。通過(guò)平面向量這一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠更深地體會(huì)數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義及應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展運(yùn)算能力。通過(guò)平面向量的實(shí)際教學(xué)，認(rèn)識(shí)到以下需注意的問(wèn)題：

一、利用實(shí)際背景，突出概念的抽象概括

向量概念看似簡(jiǎn)單，但往往學(xué)生不能很好地把握，主要是因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，與學(xué)生以往熟知的長(zhǎng)度、面積等數(shù)量概念不同，方向常常被忽略。向量的概念是從物理中的力、位移、速度等概念抽象出來(lái)的，教學(xué)中可以利用物理背景，結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際來(lái)引入概念，突出數(shù)學(xué)概念的抽象概括過(guò)程，更深刻地理解概念。如，在向量的基本概念教學(xué)中，結(jié)合圖示向?qū)W生提問(wèn)：“一只老鼠以2米/秒的速度向西北方向逃竄，一只貓以3米/秒的速度向東追，貓能抓到老鼠嗎？”這樣學(xué)生自然而然體會(huì)到實(shí)際生活中有些量不但要考慮大小而且還要考慮方向，由此理解向量的概念，學(xué)生覺得生動(dòng)有趣，效果比教師一味地用語(yǔ)言強(qiáng)調(diào)向量的方向要好得多。再如，向量的數(shù)乘運(yùn)算教學(xué)中，提出問(wèn)題：并作圖表示。通過(guò)這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生對(duì)結(jié)果有了直觀的認(rèn)識(shí)：實(shí)數(shù)與向量的積的結(jié)果仍然是一個(gè)向量，繼而歸納定義。另外，向量加法的三角形法則、平行四邊形法則以物理中位移的合成及力的合成為背景，向量的數(shù)量積以物理中功的概念引入等。在教學(xué)中緊密結(jié)合概念的物理意義和實(shí)際背景，學(xué)生能很自然地順應(yīng)、認(rèn)同新概念。如果回避概念的產(chǎn)生過(guò)程，直接給出概念然后進(jìn)入應(yīng)用解題階段，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念一知半解，印象不深。

二、重視數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

向量是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范。向量用有向線段表示，向量的方向可以刻畫直線間的位置關(guān)系，向量的大小可以刻畫線段的長(zhǎng)度。運(yùn)用向量的方法可將幾何性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，使幾何問(wèn)題通過(guò)向量運(yùn)算得到解決，拓展了幾何的研究空間。教材中利用平面向量的數(shù)量積定義及坐標(biāo)運(yùn)算，簡(jiǎn)潔地證明了兩角差的余弦公式、解三角形的余弦定理等，顯示了向量的優(yōu)越性。

向量的運(yùn)算和運(yùn)算律引入后，向量的工具作用才能充分發(fā)揮。在教學(xué)過(guò)程中要注重強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的幾何意義。正因?yàn)橄蛄窟\(yùn)算的幾何意義，使得向量在解決幾何問(wèn)題時(shí)發(fā)揮了很好的作用。例如，向量的加法運(yùn)算中，對(duì)任意向量根據(jù)這個(gè)幾何意義，可以歸納向量共線定理，從而將向量的運(yùn)算與直線的位置關(guān)系聯(lián)系起來(lái)。在向量教學(xué)中，教師要設(shè)置合理的情境幫助學(xué)生深刻理解向量的各種運(yùn)算和它們的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)方面思考，避免單一的思維模式，這樣才能更好地運(yùn)用向量的運(yùn)算來(lái)刻畫幾何對(duì)象。

三、滲透類比的數(shù)學(xué)思想

向量是一個(gè)集大小和方向于一體的量，是一個(gè)新的概念。向量的相關(guān)概念與學(xué)生以往所學(xué)的許多知識(shí)既有聯(lián)系又有區(qū)別。在教學(xué)中，可以通過(guò)類比的方式，讓學(xué)生充分體會(huì)這些區(qū)別和聯(lián)系，加深對(duì)新知識(shí)的認(rèn)識(shí)。向量與數(shù)量的概念之間、運(yùn)算體系之間、處理方法之間等，都可以進(jìn)行類比。如，向量與數(shù)量、向量與有向線段、零向量與實(shí)數(shù)零、向量的長(zhǎng)度與數(shù)量的絕對(duì)值、向量平行與直線平行、向量的加減法與實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算、實(shí)數(shù)的乘法與向量的數(shù)乘和向量的數(shù)量積、向量運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律等。比如，探究數(shù)量積的運(yùn)算律時(shí)，先讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律有哪些，然后思考在向量的數(shù)量積中這些運(yùn)算律是否也成立？在說(shuō)到結(jié)合律時(shí)，由于舊的知識(shí)思維定勢(shì)的作用下，大多數(shù)學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為應(yīng)該成立，個(gè)別學(xué)生有不同看法，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積的意義分析，等號(hào)左邊共線的向量，兩邊的向量不一定共線，等式不成立。這樣少數(shù)戰(zhàn)勝了多數(shù)，新舊知識(shí)之間產(chǎn)生了矛盾沖突，通過(guò)理性的推理而不是想當(dāng)然的猜測(cè)，加深了對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)，防止負(fù)遷移的產(chǎn)生，使學(xué)生正確理解并運(yùn)用向量的運(yùn)算法則。

綜上所述，向量是重要的數(shù)學(xué)模型，也是重要的物理模型，它具有豐富的實(shí)際背景。教學(xué)時(shí)應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)豐富的情境，從向量的物理背景、幾何背景出發(fā)，建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程。向量集大小和方向于一身，融數(shù)和形于一體。向量的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生運(yùn)用代數(shù)幾何化，幾何代數(shù)化的方法思考問(wèn)題，對(duì)于提高學(xué)生的思維品質(zhì)和分析、解決問(wèn)題的能力起著重要的作用。數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)貫穿于本章始終。同時(shí)，教學(xué)中要特別注意將新舊知識(shí)進(jìn)行類比，突出新、舊思維的矛盾，及時(shí)加以辨別、總結(jié)，從而正確理解向量的相關(guān)概念和運(yùn)算。