一類三角函數(shù)題的簡解

摘 要：利用三倍角公式和正弦定理推出了一類高考三角函數(shù)高頻題的有關(guān)定理和結(jié)論，利用該定理去求解或證明此類高考三角函數(shù)題時會很快地得出所要求的結(jié)果，往往會達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);三角函數(shù);簡解

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書《數(shù)學(xué)4·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第8次印刷）（下簡稱《必修4》）第138頁的習(xí)題B組第1題是：證明：（1）;（2）. 此題可以利用三角函數(shù)的正、余弦和角公式推得，并且稱之為三倍角公式。三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和物理等其他領(lǐng)域中具有重要的作用，這是高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，也是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù);它在研究三角形與圓等幾何形狀的性質(zhì)時有著重要作用，也是研究周期現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。

在數(shù)學(xué)分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解，允許定義域的取值范圍擴(kuò)充到任意實(shí)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，在航海學(xué)、測繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中還經(jīng)常會用到余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)等。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過定義或計算得出，稱之為三角恒等式。另外，以三角函數(shù)為模型，可以定義雙曲函數(shù)，這是三角函數(shù)及其應(yīng)用的拓展與延伸。

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)高考中幾乎每年必考，我們通過總結(jié)發(fā)現(xiàn)運(yùn)用《必修4》的這兩個公式“;”可以簡解題設(shè)中含“”或“”的解三角形問題。即針對在中，如果題設(shè)中含“”或“”的解三角形這一類題目，我們利用下面定理或推論求解或證明，可以避免一些繁瑣的討論舍解，簡潔快速。

由于在新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下，數(shù)學(xué)教學(xué)要注重情景教學(xué)與數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，教學(xué)目的主要是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，掌握常見的數(shù)學(xué)思想與方法，增強(qiáng)動手能力與創(chuàng)新意識，逐步將以“知識為本”轉(zhuǎn)化為“以人為本”，具體地，要讓學(xué)生從“學(xué)會”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皶W(xué)”，從“被動學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)化為“主動學(xué)習(xí)”。那么，在高考數(shù)學(xué)試卷中，一定會凸現(xiàn)訓(xùn)練學(xué)生的思想和素養(yǎng)的題型，如上面兩題要求學(xué)生在掌握了基礎(chǔ)知識的情況下，會運(yùn)用數(shù)學(xué)中的分類與整合的思想，數(shù)學(xué)模型的思想進(jìn)行分析與討論。假如同學(xué)們平時注意總結(jié)與歸納，注意主動學(xué)習(xí)與探究，尋求一些規(guī)律性的結(jié)論并且注重掌握其數(shù)學(xué)思想與方法，一方面可以為未來學(xué)習(xí)打好扎實(shí)的基礎(chǔ)，另一方面可以真正實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會”到“會學(xué)”。由上可見，平時大家多注意學(xué)習(xí)與探究，往往可以達(dá)到事半功倍的效果。

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基金項目：

1 面向個性化學(xué)習(xí)的學(xué)生認(rèn)知能力分析研究與實(shí)踐，湖北省教育廳（2018036）2018.7-2021.9。

2 ?湖北名師工作室基礎(chǔ)教育研究項目（JJ16），2020.9-2021.12

作者簡介：王新（1971-），男，湖北武漢，高級，數(shù)學(xué)教育。