數(shù)形結(jié)合思想在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

【摘 要】數(shù)學(xué)作為研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)和形是它的兩個(gè)最基本的要素。高三學(xué)生在高考數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，可以在節(jié)省時(shí)間的同時(shí)降低錯(cuò)誤率，若靈活恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)形結(jié)合思想，就能夠快速解決集合、函數(shù)、方程及線性規(guī)劃等多個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題。本文將結(jié)合具體的例子探討如何將數(shù)形結(jié)合思想更好地應(yīng)用于高三的數(shù)學(xué)課堂，讓數(shù)形結(jié)合思想為構(gòu)建高三復(fù)習(xí)的高效課堂提供幫助，進(jìn)而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從普通生到尖子生身份的轉(zhuǎn)變。

【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;高效課堂

數(shù)學(xué)作為研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)和形是它的兩個(gè)最基本的要素，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用體現(xiàn)在三個(gè)方面：以數(shù)轉(zhuǎn)形、以形轉(zhuǎn)數(shù)和數(shù)形等價(jià)。高三學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，可以在節(jié)省解題時(shí)間的同時(shí)降低錯(cuò)誤率，若靈活恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)形結(jié)合思想，還能夠快速解決集合、函數(shù)、方程及線性規(guī)劃等多個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)從普通生到尖子生身份的轉(zhuǎn)變。高三教師若能在以下三個(gè)方面進(jìn)行落實(shí)，定能將數(shù)形結(jié)合思想更好地應(yīng)用于高三復(fù)習(xí)中，讓數(shù)形結(jié)合思想為構(gòu)建高三復(fù)習(xí)的高效課堂提供幫助。

一、善用思維導(dǎo)圖，健全知識(shí)體系

1.重視基礎(chǔ)知識(shí)

課本是一切知識(shí)的來(lái)源與基礎(chǔ)，課本中概念、定理與性質(zhì)，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常重要的環(huán)節(jié)。以下面的題目為例：

此題可用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解答，但是，使用數(shù)形結(jié)合法的前提是，學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有足夠的了解，能夠順利在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出分段函數(shù)的圖形。很多一線教師通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)，舉出很多類(lèi)似的例子來(lái)培養(yǎng)學(xué)生這種解題模式，卻沒(méi)有點(diǎn)出其內(nèi)在的本質(zhì)是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握，那么學(xué)生依舊不能做到獨(dú)立解題，再遇到類(lèi)似的題目，學(xué)生往往感覺(jué)“我會(huì)做”卻無(wú)從下筆。

2.構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

基礎(chǔ)復(fù)習(xí)要“細(xì)”，學(xué)生應(yīng)立足課本，注意所做題目使用的知識(shí)點(diǎn)覆蓋范圍的變化，有意識(shí)地思考、研究這些知識(shí)點(diǎn)在課本中所處的地位和相互之間的聯(lián)系。核心的知識(shí)要概括，解題的方法要概括，引導(dǎo)學(xué)生建立思維導(dǎo)圖，能讓學(xué)生所學(xué)的知識(shí)層次清晰、邏輯清楚，更重要的是，這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖也體現(xiàn)了學(xué)生應(yīng)掌握的數(shù)學(xué)思維的基本模式與方法，讓學(xué)生在解題時(shí)迅速激活已學(xué)過(guò)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有效地提高復(fù)習(xí)的質(zhì)量，讓解題事半功倍。比如，右圖便是數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用。

二、重視基礎(chǔ)題型，爭(zhēng)取會(huì)做必對(duì)

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用體現(xiàn)在三類(lèi)題目：以數(shù)轉(zhuǎn)形、以形轉(zhuǎn)數(shù)和數(shù)形等價(jià)，前兩種便是較為基礎(chǔ)的題型。

此題可以利用函數(shù)在x≥0時(shí)的圖象和奇函數(shù)的特性，畫(huà)出x<0時(shí)的圖象（圖1），最終看出f（x）在R上單調(diào)遞增，從f（2-a2）>f（a）得到2-a2>a來(lái)求解出-2

從形到數(shù)的轉(zhuǎn)換，一道動(dòng)態(tài)的向量問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成普通的三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，若是學(xué)生不懂利用形的特色，簡(jiǎn)單地假設(shè)出P（x，y），此題將比較難解答。此時(shí)，教師要做的，便是幫助學(xué)生整理思路，將數(shù)形結(jié)合的典型問(wèn)題模型化，將問(wèn)題的通解通法固化在學(xué)生的解題思維中，這樣學(xué)生的解題能力才能提高，復(fù)習(xí)質(zhì)量才能提上來(lái)。

三、攻克特色難題，全面培優(yōu)培尖

數(shù)形結(jié)合思想最大的特色就是知識(shí)綜合，數(shù)形等價(jià)，數(shù)作用于形，形服務(wù)于數(shù)。此時(shí)的數(shù)形結(jié)合思想具體指的就是按照隱藏于數(shù)和形當(dāng)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，憑借數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來(lái)妥善處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種宏觀理念。

本題由函數(shù)圖象得到a，b的范圍，再由a，b的關(guān)系式結(jié)合不等式的性質(zhì)計(jì)算得到答案，似乎數(shù)形結(jié)合的思想得到了應(yīng)用，可是實(shí)際上，用方法1的同學(xué)沒(méi)有很好地討論出結(jié)果，反而是使用方法2的同學(xué)正確率比較高，相比之下，再次使用數(shù)形結(jié)合思想的法2，結(jié)合簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的思路，極為巧妙地解決問(wèn)題，計(jì)算量也大大減少。

我們不妨再看下一道題目：

【正解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如圖6），點(diǎn)P（x，y）在?BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），可行域?qū)?yīng)的不等式組完全可以求出。再由得x=3α，y=β，記Z=α+β，則題目變?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)是的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。題中α、β是相互限制的兩個(gè)數(shù)，不可用取極限位置的方法將其獨(dú)立計(jì)算，學(xué)生應(yīng)該用宏觀的角度來(lái)思考，注意到平面區(qū)域的問(wèn)題可以采用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的思路來(lái)求解。

上述兩題的共同特征便是數(shù)形等價(jià)，解題技巧性強(qiáng)，數(shù)到形、形到數(shù)的相互轉(zhuǎn)化牽涉到多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。在高三復(fù)習(xí)的中后期，教師可以利用一些綜合性強(qiáng)的題目，訓(xùn)練學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題核心的能力，用數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，從抽象轉(zhuǎn)為具象，老師不應(yīng)就題講題，而是要“借題發(fā)揮”，以問(wèn)題為載體，以方法為杠桿，拓展、強(qiáng)化、鞏固學(xué)生的知識(shí)體系，須知，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的就是數(shù)學(xué)靈活性以及規(guī)律性的高度融合。

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，其特點(diǎn)是容量大、跨度大、綜合性強(qiáng)、節(jié)奏快。目前的高考強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，在知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，故高三的復(fù)習(xí)既要立足于鞏固所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、掌握基本方法和技能，又要著眼于提高能力、深化思維;既要在復(fù)習(xí)中學(xué)全題型，又要避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，因此教師對(duì)試題研究的深度和廣度直接關(guān)系學(xué)生的備考效率，而復(fù)習(xí)的質(zhì)量更是直接關(guān)系到高考的成敗。

數(shù)形結(jié)合是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法，是簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)表達(dá)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“利器”。教師只有在教學(xué)中將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到實(shí)處，了解其實(shí)質(zhì)乃是用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，在平時(shí)訓(xùn)練的過(guò)程中讓學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的好習(xí)慣，要求學(xué)生在思考時(shí)做到心中有圖，見(jiàn)數(shù)思圖，通過(guò)不斷強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的解題思想，才能讓學(xué)生在面對(duì)許多復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)心中豁然開(kāi)朗。而只有將數(shù)形結(jié)合思想真真正正落實(shí)到解題中，才能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，從而真正實(shí)現(xiàn)提高課堂復(fù)習(xí)效率、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的美好愿望。

【參考文獻(xiàn)】

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潮州市金山中學(xué)? 陳靜瑩