如何破解極值點偏移問題

黃小妹

摘 要：極值點偏移是高中數(shù)學的難點，常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，對學生分析以及解答問題的能力要求較高.教學中為使學生掌握極值點偏移問題的解題思路，既要注重為學生系統(tǒng)的講解相關(guān)理論知識，又要做好相關(guān)例題的歸納與總結(jié)，使得學生掌握突破該類問題的技巧.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;極值點;偏移;破解

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0007-02

破解極值點偏移問題需要扎實掌握相關(guān)的理論.教學中應結(jié)合具體的圖像為學生講解極值點偏移的情境以及存在的不等關(guān)系，在其頭腦中留下深刻的印象.同時，認真總結(jié)與匯總歷年高考中有關(guān)極值點偏移的習題題型，在課堂上為學生逐一的剖析、講解，使其掌握不同題型的解題思路，給其以后解答類似問題帶來良好啟發(fā).

一、不含參數(shù)極值點偏移的處理

不含參數(shù)極致點偏移問題常作為某一壓軸題的其中一小問，考查學生對導數(shù)知識的靈活應用情況.解答該類習題的方法多種多樣，其中構(gòu)造一元函數(shù)是常用的解題思路.解題時應靈活運用導數(shù)知識研究給出的已知函數(shù)圖像，對其增減、極值情況進行大致判別.而后注重應用題干中給出的已知條件通過等量代換將多元變量轉(zhuǎn)化為一元變量，構(gòu)造對應的函數(shù).以構(gòu)造的函數(shù)為研究對象，通過二次應用導數(shù)知識找到其中的不等關(guān)系完成解答.

例1 已知函數(shù)f（x）=xe-x（x∈R），若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2>2.

該題目題干較為簡潔，其中應注重運用“f（x1）=f（x2）”這一關(guān)系，將多元變量轉(zhuǎn)化為單一變量.對已知函數(shù)求導得到f ′（x）=（1-x）e-x，容易得到函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，則x→-∞，f（x）→-∞，f（0）=0，x→+∞，f（x）→0，可知x=1時f（x）取得極值，且f（1）=1e.設x12，x2>2-x1，只需證f（x2）0，則H（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，即，H（x）

二、含有參數(shù)極值點偏移的處理

含有參數(shù)的極值點偏移問題難度又提升了一個檔次.眾所周知，一般的極值點偏移問題涉及兩個變量，但含有參數(shù)后出現(xiàn)三個變量.很多學生遇到該類題目不知如何下手.事實上，解答該類問題應結(jié)合經(jīng)驗，先通過化歸消去參數(shù)，化陌生為熟悉，再進行求解.該題目對學生的解題經(jīng)驗具有一定要求，因此，教學中應注重多組織學生進行該類習題的訓練，使其積累豐富的經(jīng)驗.

例2 已知函數(shù)f（x）=ex-ax的兩個零點分別為x1、x2，且x12.

該題目難度較大.解答時應將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，而后構(gòu)建相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，不斷的進行轉(zhuǎn)化.可將已知條件可轉(zhuǎn)化為y=xex和y=1a有兩個交點問題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知0

ex1=ax1①

ex2=ax2②

②-①得：ex2-ex1=a（x2-x1），

即a=ex2-ex1x2-x1

①+②得：ex1+ex2=a（x1+x2），即ex1+ex2a=x1+x2，要證x1+x2>2，可轉(zhuǎn)化為證ex1+ex2a>2，即證ex1+ex2ex2-ex1>2x2-x1，即ex2-x1+1ex2-x1-1>2x2-x1，令t=x2-x1，t∈（0，+∞），設g（t）=t（et+1）-2（et-1），求得可得g′（t）>0，即，g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，即，g（t）>g（0）=0，得證.

三、含對數(shù)式極值點偏移的處理

含對數(shù)式極值點偏移問題可采用構(gòu)造函數(shù)法解答.當然也可根據(jù)已知條件聯(lián)立等式，借助消參、恒等變形后運用對數(shù)平均不等式鏈進行求解.高中數(shù)學教學中，為使學生能夠靈活運用對數(shù)平均不等式鏈ab0）處理極值點偏移問題，教學中應與學生一起推導，使學生搞清楚該不等式的來龍去脈，牢固的掌握，為其用于解答極值點偏移問題奠定堅實基礎(chǔ).

例3 已知函數(shù)f（x）=xlnx和直線y=m交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，求證：0

解答該題目時根據(jù)已知條件構(gòu)建等式關(guān)系進行巧妙的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)表達式可知x>0，顯然x1x2>0.

又因為函數(shù)與直線交于兩點，則可得x1lnx1=m，x2lnx2=m，

即x1=mlnx1①

x2=mlnx2②

則①-②得：

x1-x2=m（lnx2-lnx1lnx1lnx2）

兩邊同除以lnx1-lnx2，

得到x1-x2lnx1-lnx2=-mlnx1lnx2③

①+②整理得到：

x1+x2=m（lnx2+lnx1）lnx1lnx2④

由對數(shù)均值不等式

a+b2>a-blna-lnb（證明略），得到

x1+x22>x1-x2lnx1-lnx2，

將③④代入m（lnx2+lnx1）2lnx1lnx2>-mlnx1lnx2.

對函數(shù)f（x）=xlnx求導得到：

f ′（x）=lnx+1，x>0，

令f ′（x）=0，解得x=1e，在（0，1e）上f ′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.

在（1e，+∞）上f ′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則f（x）min=f（1e）=-1e，

又∵f（1）=0，則在（0，1e）上函數(shù)f（x）<0，則可繪制出兩個函數(shù)圖像如圖1所示.

易知，m<0，則lnx1+lnx2<-2，即lnx1x2<-2=lne-2，即，0

極值點偏移是高中數(shù)學導數(shù)部分的重點、難點，是高考的熱門考點.教學中為使學生掌握相關(guān)題型的解題方法，不斷提高學生的解題能力，既要與學生一起推導相關(guān)的結(jié)論，做好解題理論的講解，又要對相關(guān)習題分門別類，為學生做好解題示范，使學生掌握相關(guān)題型的解題規(guī)律，以后遇到類似問題能夠少走彎路，迅速破題.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]