史嗣榮：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

史嗣榮

摘要：數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想，將其應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于深入理解知識，促進(jìn)思維發(fā)展。從數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值出發(fā)，分析了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應(yīng)用，以供參考。

關(guān)鍵詞：初中;數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)形結(jié)合;應(yīng)用價值

數(shù)量和圖形是組成數(shù)學(xué)的兩個要素，而且這兩個要素之間是有聯(lián)系的[1]。數(shù)形結(jié)合，就是利用數(shù)量的精確性，表達(dá)圖形的某些屬性;或根據(jù)圖形的幾何直觀性，表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于某些復(fù)雜的概念和問題，可以引入數(shù)形結(jié)合思想降低學(xué)生的理解難度。

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，一方面能方便學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，例如引導(dǎo)學(xué)生理解相反數(shù)、絕對值、集合等知識點，相比于教師口頭講解的效果更直觀。另一方面有助于解決實際問題，尤其是函數(shù)、方程、解析幾何和立體幾何等，數(shù)形結(jié)合是一種有效的解題方法。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應(yīng)用

1.以形助數(shù)

數(shù)形是相互對應(yīng)的，當(dāng)數(shù)量比較抽象難以把握時，可以轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形，利用圖形關(guān)系解決數(shù)量問題[2]。以形助數(shù)，尤其適用于函數(shù)關(guān)系問題的解決。例如：學(xué)習(xí)一次函數(shù)的概念時，教材上將一次函數(shù)定義為y=kx+b，其中k、b均為常數(shù)，而且k≠0。單純口頭講解，學(xué)生并不能很好地理解，此時可以引入一次函數(shù)的圖形，方便學(xué)生理解函數(shù)的性質(zhì)。如圖1，可見k>0時，圖象從左到右上升，y值隨x值的增大而增大;k<0時，圖象從左到右下降，y值隨x值的增大而減小。

例題：已知函數(shù)y=3x2+6圖象上，有A（-1，y1）、B（-3，y2）、C（2，y3）三點，比較y1、y2、y3的大小。解答這個題目時，可以將x=-1、x=-3、x=2分別代入函數(shù)，然后求取y1、y2、y3的值并比較。基于數(shù)形結(jié)合思想下，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=3x2+6中常數(shù)b=0，即圖象的對稱軸是y軸。當(dāng)x=0時，此時y值最小為6;隨著x值逐漸增大或逐漸減小，y值會相應(yīng)逐漸增大。因此，在本例題中，x=-1時的y值最小，x=-3時的y值最大，x=2時的y值居中，最終得到答案：y1

2.以數(shù)解形

雖然圖形比較形象、直觀，但定量計算時要依靠代數(shù)，尤其是比較復(fù)雜的圖形，應(yīng)觀察圖形特點，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，利用圖形的性質(zhì)或意義，用數(shù)量正確表示圖形，從而解決問題。

例題：圖2是由4個全等的長方形拼成的圖形，根據(jù)中間空白部分面積的不同表示方法，寫出一個關(guān)于a、b關(guān)系的恒等式。解答這個題目時，采用以數(shù)解形法，剛好是對平方差公式的倒導(dǎo)。即：中間空白部分，可認(rèn)為是邊長為（a-b）的正方形，面積表示為（a-b）（a-b）;也可以看成是邊長為（a+b）的大正方形，與4個長方形的面積之差，面積表示為（a+b）2-4ab。因此，a、b關(guān)系的恒等式是：（a-b）2=（a+b）2-4ab。

3.數(shù)形互變

數(shù)形互變，就是數(shù)量和圖形之間相互轉(zhuǎn)化、多次轉(zhuǎn)化，從已知和結(jié)論同時出發(fā)，分析并找出內(nèi)在的數(shù)、形互變關(guān)系。

例題：如圖3，已知E、F是邊長為4的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，且CE=1，CF=4/3，直線FE交AB外延線于點G，選擇FG上的一個動點H，作HM⊥AG、HN⊥AD，HM取值為多少時，矩形AMHN的面積最大？解答這個題目時，首先以數(shù)解形，從圖形中的得到數(shù)量關(guān)系。假設(shè)HM=x，矩形AMHN的面積為y，根據(jù)已知條件可得EP=BC-CE-HM=3-x。因△FCE∽△HPE，所以FC/PH=CE/EP，PH/PE=CF/CE=4/3，PH=4/3（3-x），AM=AB+PH=4+4/3（3-x）=8-4/3x，矩形AMHN的面積表示為：

y=HM·AM=x（8-4/3x）=-4/3x2+8x，0≤x≤4

然后以形助數(shù)，畫出二次函數(shù)的圖像，可知對稱軸為x=3，圖像開口向下。x在[0，4]區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x=3時y值最大，此時y=12。即：當(dāng)HM取值為3時，矩形AMHN的面積最大為12。

三、結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想，將其應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)中，能方便學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，有助于解決實際問題。文章從以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互變?nèi)齻€方面，結(jié)合例題分析了數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用，希望為實際教學(xué)活動提供借鑒，切實提高教學(xué)成果。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳仁忠.基于數(shù)形結(jié)合思想的初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].讀與寫，2021，18（7）：170.

[2]賴海市.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].科教導(dǎo)刊-電子版（上旬），2021（1）：207-208.