李旭桐
摘?要:本文利用廣義雙曲分布(Generalized?Hyperbolic,GH)來刻畫滬深300ETF收益率尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征,彌補了正態(tài)分布的不足。并利用GARCH過程描述其時變波動率的特征,兩者結(jié)合建立了基于廣義雙曲分布的GARCH模型(GARCH-GH)為滬深300ETF期權(quán)定價。經(jīng)測度轉(zhuǎn)換至等價鞅測度下,用蒙特卡洛方法模擬出樣本路徑來為滬深300ETF歐式看漲期權(quán)定價。結(jié)果顯示,從平均絕對誤差(MAE)、均方誤差(MSE)以及平均絕對百分比誤差(MAPE)三個指標(biāo)來看GARCH-GH模型比AHBS模型、B-S模型的定價誤差更小。
關(guān)鍵詞:廣義雙曲分布?GARCH模型?蒙特卡洛模擬?滬深300ETF期權(quán)
一、引言
2019年12月13日,滬深交易所上市滬深300ETF期權(quán),其涵蓋更多A股標(biāo)的,完善了多層次市場體系。新期權(quán)的推出是國內(nèi)資本市場供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的新成果,是全面深化資本市場改革的重要措施,對進一步完善多層次資本市場產(chǎn)品體系,吸引長期資金入市,深化資本市場對外開放非常有利。并且能夠與上證50ETF期權(quán)發(fā)揮協(xié)同作用,使得風(fēng)險管理體系更加完整。新期權(quán)品種的上市標(biāo)志著我國衍生品市場走向更加成熟和完善。同時,期權(quán)定價問題自始至終都是期權(quán)研究領(lǐng)域的關(guān)注重點。通過利用合理有效的理論模型對滬深300ETF期權(quán)進行研究,不僅能夠避免出現(xiàn)盲目投資、投機行為,還可以為監(jiān)管機構(gòu)監(jiān)控市場風(fēng)險提供有效信息。
Black和Scholes(1973)假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動,波動率和無風(fēng)險利率為常數(shù)值,并用無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn),推導(dǎo)出B-S模型。但是學(xué)者們利用B-S模型進行實證分析時發(fā)現(xiàn)波動率并不滿足常數(shù)這一假設(shè),而是會出現(xiàn)微笑、偏斜的現(xiàn)象。同時標(biāo)的資產(chǎn)收益率也不符合正態(tài)分布,而是呈現(xiàn)尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征。Dupire(1994)假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)收益波動率為資產(chǎn)價格和剩余期限的確定性函數(shù),放松了波動率為常數(shù)的假設(shè),并提出確定性波動率函數(shù)(Deterministic?Volatility?Function,DVF)期權(quán)定價模型。在此基礎(chǔ)上,Dumas,F(xiàn)leming和Whaley(1998)將DVF運用到B-S模型中,構(gòu)建了AHBS模型。此外Kim?I.J.和Kim?S.(2004)又對AHBS模型做了改變,他們以期權(quán)的在值程度作為波動率函數(shù)的變量。Duan(1995)用GARCH過程來描述波動率時變的特點,在正態(tài)分布假設(shè)下,來為期權(quán)定價。但是,正態(tài)分布難以捕捉標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益率的尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征。
Jensen和Lunde(2001)基于正態(tài)逆高斯分布(NIG)建立了期權(quán)定價模型來進行實證分析,且正態(tài)逆高斯分布是廣義雙曲分布(GH)的一個特殊情況。Chorro、Guégan和Ielpo(2012)基于廣義雙曲分布建立了GARCH-GH模型,廣義雙曲分布可以更好地捕捉標(biāo)的資產(chǎn)收益率的特征,并通過CAC40指數(shù)期權(quán)和S&P500指數(shù)期權(quán)進行實證分析。郝夢和杜子平(2017)基于GARCH-GH模型對上證50ETF期權(quán)進行實證研究,結(jié)果表明要比GARCH-Gaussian模型與B-S模型更接近期權(quán)實際價格。楊曉輝和王裕彬(2019)以上證50ETF為標(biāo)的,利用GARCH模型對其進行歷史波動率研究,結(jié)果表明隱含波動率數(shù)值相較于歷史波動率研判結(jié)果更準(zhǔn)確。宮文秀和許作良(2020)在波動率滿足GARCH模型下,建立三叉樹模型,結(jié)果表明基于GARCH模型的三叉樹定價方法是有效的,且計算穩(wěn)定。
本文的主要研究是比較各個模型對滬深300ETF期權(quán)的定價效果。通過文獻整理選擇B-S模型、AHBS模型和GARCH-GH模型作為本文的理論定價模型。其原因是這三個模型對標(biāo)的資產(chǎn)收益率的波動率假設(shè)逐漸放松,且從正態(tài)分布到廣義雙曲分布對標(biāo)的資產(chǎn)收益率特征的捕捉逐漸增強,能夠起到比較好的對比效果。結(jié)果表明,相較于B-S模型與AHBS模型,GARCH-GH模型的結(jié)果更接近其實際價格。
中國證券期貨2021年6月
第2期基于廣義雙曲分布的滬深300ETF期權(quán)定價實證研究
二、定價模型
(一)廣義雙曲分布
廣義雙曲分布因其密度函數(shù)的對數(shù)函數(shù)是雙曲線形狀而得名,并且可以較好地描述標(biāo)的資產(chǎn)收益率呈現(xiàn)出的尖峰、偏態(tài)、厚尾特征。
對于(λ,α,β,δ,μ)∈
5且δ>0,α>β>0,一維廣義雙曲分布GH(λ,α,β,δ,μ)密度函數(shù)(density?function)為
dGH(x,λ,α,β,δ,μ)=(α2-β2/δ)λ2πKλ(δα2-β2)×eβ(x-μ)Kλ-1/2(αδ2+(x-μ)2)(δ2+(x-μ)2/α)1/2-λ(1)
其中,Kλ表示指標(biāo)值為λ的一個修正三階貝塞爾函數(shù),δ為尺度參數(shù),μ為位置參數(shù),α和β分別表示峰度和偏度;當(dāng)λ=-1/2時,為正態(tài)逆高斯分布(NIG),當(dāng)λ=1時,為雙曲線分布(HYP)。廣義雙曲分布的矩生成函數(shù)(moment?generating?function)的具體形式為
GGH(u)=eμuα2-β2α2-(β+u)2λ/2×Kλ[δα2-(β+u)2]Kλ(δα2-β2),β+u<α(2)
并且,該分布族經(jīng)過仿射變換后是穩(wěn)定的,即廣義雙曲分布的各個參數(shù)不因隨機變量x的仿射變化而改變,這一點非常重要,因為在GARCH模型的設(shè)定下,由此可以推導(dǎo)出對數(shù)收益率的條件分布。
(二)GARCH過程
GARCH過程可以捕捉時變波動率的特點,且能很好地刻畫金融市場的收益率序列。Bollerslev(1986)推導(dǎo)出了廣義自回歸條件異方差過程,給出了GARCH(p,q)模型,若εt~GARCH(p,q)則
εt=htzt
ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p(3)
其中,(zt)t∈0,1,…,T是期望為0、方差為1的獨立同分布的隨機變量,各個參數(shù)α0>0,(αi)i∈1,2,…,q≥0,(βj)j∈1,2,…,p≥0,p≥0,q≥0以保證條件方差嚴(yán)格為正,且α1+…+αq+β1+…+βp<1確保平穩(wěn)性。
運用GARCH過程對標(biāo)的資產(chǎn)收益率殘差的方差進行波動率建模,可以更好地描述標(biāo)的資產(chǎn)收益率時間序列的異方差性問題,因此在金融研究領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。本文運用GARCH過程來描述華泰柏瑞滬深300ETF日對數(shù)收益率的波動率。
(三)GARCH-GH模型
標(biāo)的資產(chǎn)收益率存在一定的集聚現(xiàn)象,且其波動率是隨機的并圍繞均值上下波動,所以可以由GARCH過程來描述。
在實際概率測度下,標(biāo)的資產(chǎn)的動態(tài)價格過程為(St)t∈0,1,…,T,則其對數(shù)收益率為
Yt=ln(StSt-1)=r+mt+htztεt,S0=s(4)
其中,r為無風(fēng)險收益率是個常數(shù),其隨時間變化的超額收益mt取決于恒定的風(fēng)險溢價λ0;在實證研究中mt的形式是固定的,本文保留其經(jīng)典形式mt=λ0ht-12ht。接下來用GARCH過程來描述標(biāo)的資產(chǎn)的方差,建立GARCH-GH模型為
Yt=ln(StSt-1)=r+λ0ht-12ht+htzt,εt=htzt
ht=α0+α1ε2t-1+…+αqε2t-q+β1ht-1+…+βpht-p(5)
所以在實際概率測度下,對于廣義雙曲分布,Yt在給定Ft-1[Et=σ(zu;0≤u≤t)]t∈0,1,…,T是實際概率測度下直到T時刻的信息集)條件下的分布服從
Yt~GH(λ,αht,βht,δht,r+mt+μht)(6)
構(gòu)建GARCH-GH模型后,可以將模型分為均值方程式(4)和方差方程式(3)。對于均值方程其zt~GH(λ,α,β,δ,μ),準(zhǔn)確地知道其密度函數(shù)方程式(1),采用經(jīng)典最大似然估計來得出參數(shù)(λ,α,β,δ,μ),對于方差方程采用擬最大似然估計。
(四)Ad?Hoc?Black-Scholes模型
Ad?Hoc?Black-Scholes模型(AHBS)是在B-S模型的基礎(chǔ)上假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)收益率的波動率為資產(chǎn)價格和剩余期限的確定性函數(shù),放松了波動率為常數(shù)的假設(shè),其中,Kim?I.J.和Kim?S.改善了AHBS模型,以期權(quán)的在值程度作為波動率函數(shù)的變量,其波動率函數(shù)形式為
σAHBS=b0+b1(St/K)+b2(St/K)2(7)
其中σAHBS為標(biāo)的資產(chǎn)價格為St、執(zhí)行價格為K的期權(quán)的波動率。本文采用以上函數(shù)形式作為AHBS模型中的確定性波動率函數(shù)(DVF)。
將σAHBS代入至B-S模型的定價公式中,便可以得到AHBS模型歐式看漲期權(quán)的定價公式為
Ct=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)
d1=ln(St/K)+(r+σ2AHBS/2)(T-t)σAHBST-t,d2=d1-σAHBST-t(8)
三、定價方法
(一)隨機貼現(xiàn)因子
在等價鞅測度下,期權(quán)價格為標(biāo)的資產(chǎn)的收益貼現(xiàn)到現(xiàn)在的期望值。需要將建立在實際概率測度下的模型,轉(zhuǎn)化到等價鞅測度進行期權(quán)定價。若標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻下,給定FT條件下的收益為ΦT,則歐式期權(quán)在t時刻的價格為
Ct=E[ΦTe-r(T-t)Ft](9)
或者等價于
Ct=E[ΦTMt,TFt](10)
其中,Mt,T表示在給定FT條件下的隨機貼現(xiàn)因子。一般來講,市場通常是不完全的,因此鞅測度并不唯一。所以可以對隨機貼現(xiàn)因子的形式施加一定程度的約束,選擇一個特定的鞅測度來符合相應(yīng)的經(jīng)濟風(fēng)險標(biāo)準(zhǔn)。這樣一來在唯一的風(fēng)險中性概率測度下,可以使用蒙特卡洛模擬通過方程式(10)來對期權(quán)定價。
本文選取Chorro、Guegan和Ielpo給出的隨機貼現(xiàn)因子Mt,t+1的形式,其為對數(shù)收益率的指數(shù)仿射函數(shù):
t∈{0,…,T-1}
Mt,t+1=eθt+1Yt+1+ξt+1(11)
其中,Yt+1=ln(St+1/St),并且θt+1,ξt+1是給定Ft條件下的隨機變量。因為廣義雙曲分布是穩(wěn)定的,經(jīng)過仿射變換后各個參數(shù)不因此而改變。
Gt(θt+1)=e-(r+ξt+1)
Gt(θt+1+1)=e-ξt+1(12)
要計算(θt+1,ξt+1),Chorro、Guegan和Ielpo證明在符合式(12)時,存在唯一的風(fēng)險中性概率測度,且同時證明了在基于廣義雙曲分布的GARCH模型下方程式(12)有解。其中Gt為Yt+1的條件矩生成函數(shù),由方程式(2)可推導(dǎo)出在方程式(5)條件下Yt的條件矩生成函數(shù):
GYtFt-1(u)=e(μht+r+mt)u(α2-β2α2-(β+uht)2)λ/2×Kλ(δα2-(β+uht)2)Kλ(δα2-β2)(13)
則由方程式(12)得出的解為(θqt+1,ξqt+1),所以隨機貼現(xiàn)因子為Mt,t+1=eθ?q?t+1Yt+1+ξqt+1,由此就可以得到在等價鞅測度下的對數(shù)收益率分布。
(二)測度轉(zhuǎn)換
經(jīng)隨機貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)后,可將實際概率測度轉(zhuǎn)化為等價鞅測度。在等價鞅測度下,對于廣義雙曲分布,Yt在給定Ft-1條件下的分布服從:
Yt~GH(λ,αht,βht+θqt,δht,r+mt+μht)(14)
則由方程式(5)可得zt~GH(λ,α,β+htθqt,δ,μ)。在測度轉(zhuǎn)換過程中,因為廣義雙曲分布是穩(wěn)定的,所以可以通過蒙特卡洛模擬的方法來估計滬深300ETF期權(quán)的價格。
四、實證分析
(一)蒙特卡洛模擬步驟設(shè)計
GARCH-GH模型構(gòu)建完成后,運用蒙特卡洛模擬的方法來模擬標(biāo)的資產(chǎn)的樣本路徑為期權(quán)定價,具體步驟如下。
①選擇華泰柏瑞滬深300ETF日收盤價并以此計算日對數(shù)收益率。
②以步驟①計算的收益率作為樣本,來估計方程式(5)中均值方程和方差方程中的參數(shù)。在估計過程中也會產(chǎn)生t+1時刻的條件方差,即ht+1。
③在等價鞅測度下,從t時刻的下一期t+1開始模擬樣本路徑。
i從步驟②產(chǎn)生的條件方差ht+1開始;
ii通過式(12)求解(θqt+1,ξqt+1);
iii產(chǎn)生服從GH(λ,α,β+ht+1θqt+1,δ,μ)分布的zt+1;
iv由方程式(5)計算出對數(shù)收益率Yt+1與t+2時刻的條件方差ht+2;
v返回至步驟i,用t+1代替t,直到t=T-1,T是期權(quán)的到期日。
在等價鞅測度下,模擬出標(biāo)的資產(chǎn)收益率路徑(Yk)k∈t+1,t+2,…,T,在T時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格為ST=St∏Tk=t+1eYk。
④最終,模擬出N條標(biāo)的資產(chǎn)收益率路徑來計算T時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格。ST,i表示第i條樣本路徑下T時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格,然后用蒙特卡洛模擬的方法,用N條樣本路徑的均值作為估計的執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)價格:
C^(t,T,K)=e-r(T-t)1N∑Ni=1max{ST,i-K}+(15)
(二)數(shù)據(jù)選取與描述性統(tǒng)計分析
本文將上海證券交易所交易的滬深300ETF歐式看漲期權(quán)(以華泰柏瑞滬深300ETF為標(biāo)的)作為實證研究對象。本文首先選取華泰柏瑞滬深300ETF自2012年5月28日上市以來至2020年10月29日的每日收盤價數(shù)據(jù),并由此計算每日對數(shù)收益率,然后進行統(tǒng)計性描述,數(shù)據(jù)來源于Wind金融終端。滬深300ETF對數(shù)收益率波動情況如圖1所示。
從圖1得知,標(biāo)的資產(chǎn)華泰柏瑞滬深300ETF的對數(shù)收益率序列存在集聚現(xiàn)象,選取GARCH(1,1)過程來對波動率建模,它的實際應(yīng)用是GARCH眾多模型中最普遍的,可以準(zhǔn)確捕捉標(biāo)的資產(chǎn)時變波動率的特征。華泰柏瑞滬深300ETF的對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計如表1所示。
從表1得知,標(biāo)的資產(chǎn)收益率同時出現(xiàn)偏態(tài)、尖峰、厚尾等特征,而且JB統(tǒng)計量過大。這些情況表明該標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益率序列顯著拒絕服從正態(tài)分布,正態(tài)分布并不足以描述其特征,所以需要尋找更符合數(shù)據(jù)特征的分布,而廣義雙曲分布的優(yōu)勢就會就此凸顯出來。不同分布下對標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)收益率的擬合如圖2所示。
如圖2所示,分別用樣本經(jīng)驗分布、廣義雙曲分布、正態(tài)分布對華泰柏瑞滬深300ETF日對數(shù)收益率進行擬合,可以直接觀察到,正態(tài)分布對于華泰柏瑞滬深300ETF樣本的擬合較差,難以符合標(biāo)的資產(chǎn)收益率尖峰、偏態(tài)、厚尾的特征,而廣義雙曲分布的擬合曲線近似于樣本經(jīng)驗分布,其表現(xiàn)較為良好,可以捕捉標(biāo)的資產(chǎn)收益率的各種特征。
(三)實證結(jié)果
為了對滬深300ETF期權(quán)進行定價,本文對比B-S模型、AHBS模型、GARCH(1,1)-GH模型的定價效果,首先要估計各個模型的參數(shù),各模型的參數(shù)估計如表2所示。
模型參數(shù)估計
B-Sσ=0.25627
AHBSb0=-0.17463?b1=0.55581?b2=-0.17463
模型參數(shù)估計
GARCH(1,1)-GH
GH分布λ=0.71877?α=0.41049?β=0.03829?δ=0.99853?μ=-0.04257
GARCH(1,1)模型λ0=0.01873?α0=0.02085?α1=0.06726?β1=0.92484
期權(quán)樣本選取上海證券交易所交易的滬深300ETF期權(quán)(以華泰柏瑞滬深300ETF為標(biāo)的)2020年11月到期(距到期期限T-t=27天)、2020年12月到期(距到期期限T-t=55天)、2021年3月到期(距到期期限T-t=146天)、2021年6月到期(距到期期限T-t=237天)的歐式看漲期權(quán)來進行定價分析,比較不同模型的定價效果,數(shù)據(jù)來源于Wind金融終端,t時刻為2020年10月29日。無風(fēng)險利率設(shè)定為當(dāng)日一年期國債即期利率,且已將無風(fēng)險利率轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利形式,數(shù)據(jù)來源于中國債券信息網(wǎng)。
接下來本文將把樣本滬深300ETF歐式看漲期權(quán)數(shù)據(jù)按照在值程度大小劃分為≤0.95,0.95~1.01,1.01~1.07,1.07~1.13,>1.13五檔,其中區(qū)間為左開右閉形式。期權(quán)的在值程度是指標(biāo)的資產(chǎn)價格與期權(quán)執(zhí)行價格的比值,即S/K。其中S為標(biāo)的資產(chǎn)價格,K為期權(quán)執(zhí)行價格。一般看漲期權(quán)可根據(jù)在值程度>1,=1,<1分為實值期權(quán)、平值期權(quán)與虛值期權(quán)。
并同時選取三個指標(biāo):平均絕對誤差(MAE)、均方誤差(MSE)以及平均絕對百分比誤差(MAPE),來對樣本進行更為細(xì)致的比較,這三個指標(biāo)的計算公式如下所示:
MAE=1N∑Ni=1Ci-C^i,MSE=1N∑Ni=1(Ci-C^i)2,MAPE=1N∑Ni=1Ci-C^iCi(16)
其中,Ci為第i個執(zhí)行價格的滬深300ETF期權(quán)的實際價格,C^i為在GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型估計下的理論價格。如表3所示,分別給出了各個模型為不同在值程度的期權(quán)定價的MAE、MSE、MAPE誤差結(jié)果。
從橫向角度來看,結(jié)合MAPE指標(biāo)可以觀察到,隨著在值程度的增大,GARCH-GH模型的誤差越來越小,效果越來越穩(wěn)定。而另外兩個模型的擬合效果則會出現(xiàn)一定程度的波動。
從縱向角度來看,當(dāng)在值程度介于0.95~1.01與1.01~1.07時,三個指標(biāo)都表明,其結(jié)果表現(xiàn)最好的是AHBS模型,其次才是GARCH-GH模型,在值程度接近1的期權(quán)稱為平值期權(quán),其特點是,它們的行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)天收盤價接近。結(jié)果說明GARCH-GH模型在對于平值期權(quán)的定價效果較差,其擬合誤差較大。當(dāng)在值程度處于其他區(qū)間時,從三個指標(biāo)來看,GARCH-GH模型的表現(xiàn)最為優(yōu)秀,其次為AHBS模型。
最后對于全樣本的擬合效果,從MAE、MSE、MAPE三個指標(biāo)來看,都表明GARCH-GH模型擬合的總體誤差最小,效果最優(yōu),其次是AHBS模型與B-S模型。
接下來為了更加直觀地展現(xiàn)各個模型對不同到期期限的滬深300ETF期權(quán)所定出的期權(quán)價值C與執(zhí)行價格K之間的關(guān)系,把GARCH-GH模型、AHBS模型、B-S模型的定價結(jié)果與滬深300ETF期權(quán)實際市場價格進行對比。結(jié)果如圖3所示。
從各個模型得出的定價結(jié)果來看,滬深300ETF期權(quán)的實際市場價格與GARCH-GH模型的結(jié)果最為貼近,其相差的距離最小,且隨著期權(quán)在值程度的增加,GARCH-GH模型的優(yōu)勢更加明顯。所以GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型更接近滬深300ETF期權(quán)的實際市場價格。
五、結(jié)論
期權(quán)定價一直是期權(quán)研究領(lǐng)域的熱點,首先本文通過文獻梳理,選擇了B-S模型、AHBS模型以及GARCH-GH模型作為文章的理論模型。這三個模型對標(biāo)的資產(chǎn)的波動率假設(shè)逐漸放寬,且從正態(tài)分布到廣義雙曲分布對標(biāo)的資產(chǎn)收益率特征的捕捉逐漸增強,能起到較好的對比效果。
接下來本文選用廣義雙曲分布來捕捉滬深300ETF收益率尖峰、偏態(tài)、厚尾的特點,結(jié)合GARCH過程描述其時變波動的特征,建立GARCH-GH模型為滬深300ETF期權(quán)定價。在等價鞅測度下,利用蒙特卡洛方法模擬出樣本路徑來估計滬深300ETF歐式看漲期權(quán)價格。通過對滬深300ETF期權(quán)的定價研究,本文希望能夠找到較為準(zhǔn)確的定價理論模型,從而為投資者制定投資策略以及為監(jiān)管者監(jiān)督市場風(fēng)險提供價格指標(biāo)。
經(jīng)過實證研究,選取四種不同到期期限的滬深300ETF歐式看漲期權(quán)作為樣本,結(jié)果表明,三個模型對實值期權(quán)、平值期權(quán)以及虛值期權(quán)的擬合效果都比較好,但是GARCH-GH模型的效果最優(yōu),而B-S模型效果最差。此外GARCH-GH模型對平值期權(quán)的定價效果較差,對于這類期權(quán),AHBS模型的表現(xiàn)最好??傮w來看,GARCH-GH模型相比于AHBS模型、B-S模型,得到的結(jié)果更接近于滬深300ETF期權(quán)的實際價格。
同時,本文只是使用對波動率與正態(tài)性假設(shè)進行了改進的定價模型來對滬深300ETF期權(quán)進行研究。在未來的研究重點是,還可以將標(biāo)的資產(chǎn)收益率中的跳躍情況考慮進期權(quán)定價模型,或是用Lévy過程描述資產(chǎn)價格運動的模型來進行更深入的研究。
參考文獻
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