核心素養(yǎng)新視角下絕對值解題的多角度探究

摘 要：絕對值是初中數(shù)學(xué)的重要概念，相關(guān)知識難以理解且題目多變，解題方法多樣。文章從教學(xué)案例入手，展示了一題多解、一題多變等教學(xué)方式在絕對值內(nèi)容講解上的具體應(yīng)用，以及對絕對值知識相關(guān)內(nèi)容和方法的拓展、延伸。這種絕對值解題的多角度探究不僅可以提高學(xué)生的解題效率，增強學(xué)生的解題能力，還能提升學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：絕對值;多角度;數(shù)形結(jié)合;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）09-0091-02

引言

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性是每位教師關(guān)注的焦點，如何讓習(xí)題講解有效、有深度、有延展性？這也是教師提高課堂效率，學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率需要探究的問題。羅增儒教授曾說：“一個數(shù)學(xué)問題，如果我們只有一個解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會存在認識上的局限性。只有在尋得兩個或更多的解法之后，才會對問題的實質(zhì)有真正的了解?！币虼?，對于一道題目，不同角度地思考很重要，這樣的解題方式會提升解題的品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)的效率，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

絕對值的幾何意義是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點A到表示數(shù)b的點B之間的距離，用符號語言表示：AB=∣a-b∣或者∣b-a∣。首先，學(xué)生要理解的是距離是絕對值的含義。其次，學(xué)生要理解到某一點距離為幾的點在數(shù)軸上的位置有兩個，因此，在解絕對值這類題目的時候既要用到圖形思維，即要及時切換到數(shù)形結(jié)合的思想，又要學(xué)會用代數(shù)的方法解決。因此這部分內(nèi)容用不同的方法難易程度各不同，學(xué)生如果用對方法就會輕而易舉解決問題，但這部分題目數(shù)形結(jié)合思想必不可少。形會讓數(shù)更直觀，數(shù)會讓形更具體。

下面筆者主要通過絕對值題目講解中的點滴感悟進行說明。

一、問題呈現(xiàn)

類型1：題目：在數(shù)軸上表示的數(shù)，離-1.2距離為3的點表示的數(shù)是? ? ? ? 。

本題是筆者在講蘇教版課課練時歸納題目類型時所發(fā)現(xiàn)的，原來課課練和試卷上的題目從本質(zhì)上來說是同一道題，可以讓學(xué)生觸類旁通，因此，在講完題目后，筆者在復(fù)習(xí)時，將這幾題，用不同的形式歸納出來，讓學(xué)生探究，并且鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中歸納，分享不同解法，剖析題目中用的不同知識點，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，提高課堂效率。課后，筆者對有關(guān)絕對值解的幾道題目進行歸納和總結(jié)，并做了深入思考。

二、思路分析

第一種解題方法是數(shù)形結(jié)合法。絕對值的幾何意義就是指表示數(shù)x到-1.2距離為3的點，通過畫數(shù)軸以及絕對值的幾何意義知道有兩個點，一個在左邊一個在右邊。通過數(shù)形結(jié)合抽象成一個規(guī)律。

本人在教學(xué)中做了如下評析：

（1）學(xué)情分析：部分學(xué)生能想出這個方法，對于剛學(xué)習(xí)數(shù)軸的學(xué)生來說，做題想到畫數(shù)軸較難，因此部分學(xué)生不畫圖漏解現(xiàn)象嚴重。后期的學(xué)習(xí)中要加強學(xué)生的作圖能力。

（2）體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想：利用這種方法解題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，要求學(xué)生畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上觀察出兩個解。

第二種解題方法是代數(shù)法。 右邊的數(shù)-1.2+3=1.8，左邊的數(shù)-1.2-3=-4.2，通過有理數(shù)的加法得出答案。

本人在教學(xué)中做了如下評析。

學(xué)情分析：學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)在左邊的數(shù)小了3個單位長度，在右邊的數(shù)大了3個單位長度，從而將有理數(shù)的加法歸納成代數(shù)方法。但這種方法的前提是學(xué)生學(xué)習(xí)了加減法。如果學(xué)生加減法的基礎(chǔ)不好，錯誤率會很高。

歸納總結(jié)的歸類思想：學(xué)生通過觀察，歸納總結(jié)數(shù)軸上點的平移規(guī)律。一個點向左移動幾個單位就是減去幾，向右移動幾個單位就是加上幾。簡單記憶，點的平移就是左減右加，這能夠為今后的數(shù)軸及坐標系中點的平移奠定了一定的基礎(chǔ)。

知識學(xué)習(xí)的方法缺點：在新授絕對值的定義的時候，這種方法不適合，適合已經(jīng)學(xué)過有理數(shù)加減或復(fù)習(xí)的時候才可以用，對學(xué)生的歸納能力的要求較高。

三、變式拓展

根據(jù)絕對值的定義，這道題可以轉(zhuǎn)化成符號語言。

第三種解題方法是解絕對值方程 | x+1.2 |=3，

具體解題方法為：

x+1.2= ±3

x= ±3-1.2

x1=3-1.2=1.8

x2=-3-1.2=-4.2

本人在教學(xué)中做了如下評析：

學(xué)情分析：學(xué)生要熟悉互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。學(xué)生對于這一點經(jīng)常會遺漏。

方程知識的運用，用到了移項，學(xué)生要注意移項變號。

要分類解出兩個解。

這一題的不同解法主要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)題的解法不止一種，而不同時期可用不同方法，對于知識的鞏固和靈活運用都有著舉足輕重的意義。只有將一道題研究透徹，才會觸類旁通，舉一反三。這道題如果讓學(xué)生做，學(xué)生容易漏解。既然是數(shù)軸上的點，教師就要告訴學(xué)生畫圖非常重要，畫了圖，生不容易漏解。第三種方法需要學(xué)生理解的是絕對值的定義，其次會把絕對值方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，從而理解劃歸的思想。在對這一道題目解答過程中，學(xué)生通過一題多解從點線面不同角度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，復(fù)習(xí)了各個知識點，從中了解到不同的表達方式，其實可以劃歸為一類題的解法，從而感覺到變式練習(xí)的重要性、深度理解知識的重要性。

類型2：題目：|x-1|+|x-3|的最小值是? ? ? ? ? ? ? 。

解法1：借用數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合思想

本人在教學(xué)中做了如下評析。

學(xué)情分析：這種方法學(xué)生很難想到，因為用到數(shù)軸，學(xué)生要想到把數(shù)軸畫出來，對絕對值定義的理解較難，要把一個代數(shù)的問題劃歸成圖形，學(xué)生不太會轉(zhuǎn)化，因此理解后解題簡單，但學(xué)生較難鞏固。

數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化的思想：主要利用絕對值的定義，就是距離。理解|x-1|+|x-3|表示的含義就是x到1和3的距離和，轉(zhuǎn)化成數(shù)軸上1和3之間的距離。學(xué)生能夠從距離角度理解絕對值，利用數(shù)軸只要觀察就可以得到最小值。

解法2：借用課課練上的課后題結(jié)論， |a |+|b|≥

|a+b|，其中a，b同號或者同時為0，

|x-1|+|3-x|≥|x-1+3-x|

|x-1|+|3-x|≥2

x-1﹥0，3-x﹥0，所以最小值是2。

本人在教學(xué)中做了如下評析。

學(xué)情分析：這種方法學(xué)生很難想到，因為要用到學(xué)過的習(xí)題中的結(jié)論，七年級的學(xué)生剛學(xué)新知識，歸納和轉(zhuǎn)化能力有限。

代數(shù)思想轉(zhuǎn)化成定值：通過利用|a|+|b|>|a+b|成立的條件，消去x得到定值，可以得到最小值。

這種思維方式的難度太大，學(xué)生只能拓展思維，不能鞏固和理解。

解絕對值方程、求最值的方法很多，合理地利用方法，可以提高解決題目的效率，因此，在以上題目的拓展中，筆者讓學(xué)生認識到的是解題一定要學(xué)會從不同角度思考問題，并選用簡單直觀的方法解題，學(xué)會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想。另外，在做題時，讓學(xué)生從過不同角度解題，鞏固不同的知識點，如相反數(shù)、絕對值、解方程的方法、數(shù)軸上點平移規(guī)律，多角度解題，多方面鞏固，做到點、線、面地復(fù)習(xí)知識點，從而在多角度的思考問題中，提升數(shù)學(xué)做題的靈活度，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和鉆研問題的能力，提升數(shù)學(xué)題閱讀題目的興趣。

結(jié)語

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的關(guān)鍵在于讓學(xué)生把握核心概念，準確應(yīng)用不同的解題方法，明確不同方法的解題范圍。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是在數(shù)學(xué)概念、方法、原理下，采用不同的概念、方法等教學(xué)方式，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言觀察、解決生活中的數(shù)學(xué)問題，進一步認識生活中的數(shù)學(xué)。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！苯^對值知識雖然在初中數(shù)學(xué)中屬于重要的知識，在解題過程中選擇不同的解題方法、解題思路，會產(chǎn)生不同的求解方式，內(nèi)容方法的拓展、延伸較多。選擇不同的方法、轉(zhuǎn)化思想，解題難度也會有明顯的區(qū)別。最佳的方法會提高學(xué)生的解題效率。因此多角度地研究問題有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，提高學(xué)生的解題效率，從而提升思維品質(zhì)。教師要鼓勵學(xué)生采用不同的方法解題，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)生從不同角度類比、歸納，學(xué)會用合理的方法解決問題，可以進一步體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是學(xué)生能夠圍繞基本概念建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)方法合理解決問題，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)和實踐活動中重要的是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，這是解決數(shù)學(xué)問題的核心和靈魂。學(xué)生在解題過程中要通過反復(fù)地類比、推理、遷移出新的方法。只有在數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)會一題多解、一題多變等，提高他們運用數(shù)學(xué)思維方法的能力，他們才能最快地找到合適的方法。教師在教學(xué)中要幫學(xué)生歸納出數(shù)學(xué)方法適用的范圍，讓學(xué)生在同一主題下、不同的情境中學(xué)會解決問題的不同方法，豐富解答數(shù)學(xué)問題的情景體驗，區(qū)分數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維，從而提升學(xué)生創(chuàng)新、探索等數(shù)學(xué)思維能力。

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作者簡介：范萍莉（1978— ），女，陜西周至人，中學(xué)一級教師，本科，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。