基于知識空間理論的線性代數(shù)的關(guān)鍵學(xué)習(xí)路徑

楊文杰 鄭前前

[摘 要] 合理利用線性代數(shù)中知識點之間的組織和依賴關(guān)系，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率及教師的教學(xué)質(zhì)量，然而目前針對線性代數(shù)構(gòu)建知識空間的研究甚少。針對本科生在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的問題，為教育評價提供了一種有效的科學(xué)方法，即將知識點與集合論中的元素建立對應(yīng)關(guān)系，基于知識點間的組織和依賴，尋求知識點集合的最小支撐網(wǎng)，利用知識空間理論給出一種線性代數(shù)中快速自優(yōu)化測試過程，使學(xué)生能夠準確高效地對自己的知識結(jié)構(gòu)、認知缺陷等更細節(jié)性內(nèi)容有一個清晰明確的認識。最終測試結(jié)果可以為教師的因材施教提供理論指導(dǎo)，以達到全面了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的目的，同時學(xué)生還可以基于已有的測試結(jié)果實時掌握個人學(xué)習(xí)狀況，并以此設(shè)計符合自己實際情況的學(xué)習(xí)方案。

[關(guān)鍵詞]? 知識空間理論;自適應(yīng)測試;線性代數(shù);矩陣

[基金項目] 2019年度許昌學(xué)院教育教學(xué)改革研究項目“依賴我校學(xué)習(xí)通平臺的高等數(shù)學(xué)小班教學(xué)研究與實踐”（XCU2019-ZZ-022）

[作者簡介]? 楊文杰（1984—），女，山西大同人，博士，許昌學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師（通信作者），主要人事分支與混沌研究;鄭前前

（1988—），男，河南周口人，博士，許昌學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)研究。

[中圖分類號] TP18? ?[文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2021）24-0185-04? ?[收稿日期] 2021-03-06

一、引言

線性代數(shù)（Linear Algeria）是數(shù)學(xué)的一個分支，已成為代數(shù)學(xué)科的一個重要方向，是高等院校經(jīng)濟類、管理類以及眾多理工類專業(yè)的重要的基礎(chǔ)課之一，它主要包括行列式、矩陣和向量等內(nèi)容，主要用于解決線性代數(shù)關(guān)系的問題。為了滿足數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展，線性代數(shù)的應(yīng)用也在不斷地擴大。它不僅是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的重要課程之一，而且是一些專業(yè)必修課的必要基礎(chǔ)，是為培養(yǎng)適應(yīng)四個現(xiàn)代化需要的本科層次的多類專業(yè)人員而設(shè)的一門公共必修課。本課程是學(xué)生后續(xù)一些專業(yè)必修課的基礎(chǔ)，對后期的繼續(xù)學(xué)習(xí)都具有至關(guān)重要的作用。線性代數(shù)主要包含行列式、矩陣、線性方程組、向量組，線性空間及線性變換等內(nèi)容。它的理論內(nèi)容不僅被用于數(shù)學(xué)的許多分支，而且在很多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。然而一個很現(xiàn)實的問題是，大學(xué)新生通常具有中小學(xué)課程“填鴨式”教育的慣性思維，又由于大學(xué)的課程多而復(fù)雜，加之在教學(xué)實踐過程中學(xué)時有限的情況下，學(xué)生想要充分理解線性代數(shù)中諸如逆序、行列式、矩陣等抽象概念，簡直難于上天，并且考慮到學(xué)生的個體差異性，該文希望將教育領(lǐng)域中比較流行的知識空間理論應(yīng)用到線性代數(shù)數(shù)學(xué)。

1983年，美國數(shù)學(xué)心理學(xué)家J.P.Doignon和J.C. Falmagne在知識空間和一類推測系統(tǒng)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，即將特定領(lǐng)域的知識概念化為一個問題集合。假設(shè)一個人在此領(lǐng)域的知識狀態(tài)是該人所能夠解決問題的子集，當所有知識狀態(tài)的集合對并運算封閉時，稱為知識空間?；诖耍瑑晌粚W(xué)者給出了一種有效評估知識的數(shù)學(xué)理論，知識空間理論（Knowledge Space Theory，簡稱“KST”）[1]。KST理論為教育過程評價提供了一套合理有效的科學(xué)方案，同時也是一種提高學(xué)生整體知識掌握水平和搭設(shè)學(xué)生知識框架的理論。20世紀90年代，Koppen、Doignon開發(fā)了一種可通過交互式詢問專家來構(gòu)造知識空間的程序，由此產(chǎn)生的知識空間方法有助于為特定領(lǐng)域構(gòu)建此類空間[2]。1993年Dowling給出了一種可用于根據(jù)專家的判斷構(gòu)建知識空間的基礎(chǔ)的方法。以這種方式，可以改進文獻[2]中依賴于專家的程序[3]。隨后Albert提出了一套由問題系統(tǒng)導(dǎo)向搭設(shè)知識理論空間的方法[4，5]。2004年，我國學(xué)者傅騫等人利用知識空間擴展理論，從理論上搭建了新型教育資源平臺。該平臺使教育資源庫為教師的教學(xué)服務(wù)的同時，還可為學(xué)生的自我學(xué)習(xí)、自我評價進行服務(wù)[6]。近來，Daniel與Stefano兩位學(xué)者證明了KST的標準概率模型（例如基本本地獨立模型（BLIM）和簡單學(xué)習(xí)模型（SLM））可以表示為MPT模型的特定實例。在這種緊密聯(lián)系的情況下，MPT方法可用于解決KST中的理論和實踐問題[7]。然而學(xué)者們多是利用知識空間理論針對中小學(xué)生進行能力提升的研究[8]，或是基于知識空間理論進行圖書館閱讀推廣平臺的建設(shè)[9]等，而針對本科生的學(xué)習(xí)效率或能力提升的研究還不多見，故本文將知識空間理論應(yīng)用于本科線性代數(shù)的矩陣這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，以期能夠?qū)W(xué)生的矩陣這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)有所助益。

二、線性代數(shù)中的知識空間

針對線性代數(shù)的知識空間問題，本文根據(jù)KST理論，給出了一種線性代數(shù)中快速自優(yōu)化測試過程。自優(yōu)化過程需要基于學(xué)生的理論知識掌握程度自優(yōu)化的選擇下一步測試題目的難易程度，故學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不僅可以由其最后的知識狀態(tài)確定，而且學(xué)生的知識水平以及學(xué)生的認知能力缺陷還可以通過計算學(xué)生最后知識水平與知識空間之間的集合對稱差進行確定。最終測試結(jié)果可以為教師的因材施教提供理論指導(dǎo)，以達到全面了解學(xué)習(xí)狀態(tài)的目的，同時學(xué)生還可以基于已有的測試結(jié)果實時掌握個人學(xué)習(xí)狀況，并以此設(shè)計符合自己實際情況的學(xué)習(xí)方案。

本文將對線性代數(shù)中矩陣這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容進行合理規(guī)劃，以單個知識點的形式獨立列出并進行現(xiàn)有課程掌握水平的測試。從獨立知識點的方面研究KST理論，（Q，K）結(jié)構(gòu)中Q為線性代數(shù)領(lǐng)域相關(guān)知識點組成的集合，K代表現(xiàn)有知識儲備情況組成的集合，k■為具體知識點;假設(shè)Q為一個有限集合，則稱K是其相應(yīng)的知識空間。根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)[ 10 ]，知識點元素之間的關(guān)系主要包括：框架組織、從屬依賴;知識框架組織關(guān)系以目前使用書本的組織結(jié)構(gòu)框架為準，而元素間的從屬依賴關(guān)系內(nèi)含有明顯的知識學(xué)習(xí)先后關(guān)系，即某一個知識點是學(xué)習(xí)另外一個關(guān)于知識點的先決條件，故在知識點處理方面，本文主要使用從屬依賴這一關(guān)系。