反比例函數(shù)圖象與雙曲線的關(guān)系探究

林曉晴

【摘要】反比例函數(shù)圖象是雙曲線，卻極容易被忽略。為探究反比例函數(shù)圖象與雙曲線的關(guān)系，首先從圖象觀察猜想入手，再運用所學(xué)知識進行推理驗證，然后，利用已有關(guān)系進行性質(zhì)探究，尋找反比例函數(shù)圖象與雙曲線的關(guān)系橋梁——旋轉(zhuǎn)變換、伸縮變換的特性。

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù);等軸雙曲線;一般雙曲線;圖象;變換

說明：本文所指雙曲線如無特殊說明，都是指焦點在x軸上的雙曲線，其方程為，反比例函數(shù)如無特殊說明，都是指圖象在一、三象限的情況，解析式為.

初中，我們已經(jīng)掌握了反比例函數(shù)的解析式、圖象及其函數(shù)的性質(zhì)等相關(guān)知識，在初中課本中有這樣一句話“反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，它是雙曲線。”同樣是雙曲線，它和我們高中學(xué)習(xí)的雙曲線又有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？高中課本人教A版選修2-1中，關(guān)于初中學(xué)習(xí)的拋物線和高中學(xué)習(xí)的拋物線之間的關(guān)系做出了解釋，放在“探究與發(fā)現(xiàn)”中，卻沒有對雙曲線做出更詳細的解釋。但在學(xué)習(xí)過程中，我們又很容易發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的圖象與雙曲線之間有著不少聯(lián)系，而且這種聯(lián)系或許會對我們學(xué)習(xí)雙曲線有一定的啟發(fā)。

遺憾的是我們對反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)等的研究很多，對雙曲線的研究也不少，但卻很少將二者進行聯(lián)系與比較。

一、反比例函數(shù)圖象與雙曲線之間的關(guān)系

1.觀察發(fā)現(xiàn)與猜想

從圖象的形狀來看，反比例函數(shù)的圖象與雙曲線一樣，它們形狀相似，且都具有兩條漸近線（反比例函數(shù)圖象的漸近線是兩條坐標軸）?；谶@個發(fā)現(xiàn)，由兩種圖象的漸近線存在某種旋轉(zhuǎn)的關(guān)系，我們大膽猜想：把反比例函數(shù)的圖象順時針旋轉(zhuǎn)45o后與雙曲線完全重合，借助特殊例子，并運用幾何畫板對這個猜想進行初步驗證。

在幾何畫板中畫出反比例函數(shù)的圖象和雙曲線，如圖：

把反比例函數(shù)的圖象順時針旋轉(zhuǎn)45o，如下圖，可發(fā)現(xiàn)，其圖象與雙曲線重合。

2.推理證明與結(jié)論

為了證明猜想成立，我們利用坐標軸變換公式進一步探討反比例函數(shù)的圖象與雙曲線的關(guān)系。

設(shè)雙曲線方程，反比例函數(shù) 即xy=k，利用坐標軸旋轉(zhuǎn)變換公式即，則反比例函數(shù)解析式變?yōu)榧矗@然，這是等軸雙曲線的方程，也就是說反比例函數(shù)的圖象順時針旋轉(zhuǎn)45o后就是等軸雙曲線，且實半軸長為。

因此，可確定反比例函數(shù)的圖象實質(zhì)上是等軸雙曲線，即反比例函數(shù)的圖象是特殊的雙曲線。

二、利用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)探究雙曲線的性質(zhì)

有了反比例函數(shù)圖象與等軸雙曲線的關(guān)系，我們就可以利用反比例函數(shù)圖象的一些性質(zhì)來得到等軸雙曲線的部分性質(zhì)，甚至推廣到一般雙曲線的對應(yīng)性質(zhì)。

1.關(guān)于面積的性質(zhì)

對于反比例函數(shù)的圖象，圖象上任一點P（m，n）到兩坐標軸的距離之積是常數(shù)k，由反比例函數(shù)圖象與等軸雙曲線的關(guān)系可知，等軸雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離之積也是常數(shù)，進一步，可以猜想，對于一般的雙曲線，雙曲線上任一點，到兩條漸近線的距離之積也是常數(shù)，這個結(jié)論是否成立呢？

設(shè)雙曲線上任一點，則有即b2m2-a2n2=a2b2，所以點P到兩條漸近線bx±ay=0的距離分別為，故。

可見，由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)推導(dǎo)出的這一結(jié)論，對于一般雙曲線也同樣適用。

2.關(guān)于雙曲線形狀的性質(zhì)

除了面積的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)也是我們關(guān)注的重點，其圖象形狀會受到k值的影響，當k越小時，圖象上任一點到兩坐標軸的距離之積越小，這意味著圖象越接近兩條坐標軸。由前文可知，通過旋轉(zhuǎn)變換，得到等軸雙曲線方程為，它的實半軸長為，所以等軸雙曲線的實半軸長越小，其越接近兩條漸近線。進一步也可以猜想，對于一般的具有相同漸近線的雙曲線，它的實半軸長越小，雙曲線越接近兩條漸近線。這一結(jié)論是否成立呢？

設(shè)漸近線相同的雙曲線方程為即，任取雙曲線上一點，可以求得點到兩條漸近線的距離之積為。對于漸近線相同的雙曲線，a與b的值相同，所以越小，即雙曲線的實半軸長越小時，雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離之積越小，意味著此時雙曲線越貼近兩條漸近線。故此結(jié)論對于具有相同漸近線的雙曲線同樣成立，若是漸進線不同，我們更習(xí)慣用離心率的大小來看雙曲線的形狀性質(zhì)。

三、從反比例函數(shù)圖象（特殊雙曲線）“跨越”到一般雙曲線

由前面的討論可以看出，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，可以通過旋轉(zhuǎn)變換，轉(zhuǎn)化為等軸雙曲線的性質(zhì)，再進一步探究此結(jié)論對于一般雙曲線是否適用。這就給了我們一個啟示，是否可以利用反比例函數(shù)圖象與雙曲線的這一聯(lián)系，由反比例函數(shù)圖象（特殊雙曲線）的性質(zhì)來探究一般雙曲線的性質(zhì)，這個想法的實現(xiàn)，關(guān)鍵就是從反比例函數(shù)圖象到一般雙曲線的“跨越”。

對于反比例函數(shù)，首先利用旋轉(zhuǎn)變換將其轉(zhuǎn)化為等軸雙曲線，再利用伸縮變換轉(zhuǎn)化為一般雙曲線即，這樣一來，我們就實現(xiàn)反比例函數(shù)圖象到一般雙曲線的跨越。此過程也可以反過來，將一般雙曲線由伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的圖象，這樣一來，就可以將雙曲線的問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)圖象的問題來研究。

四、幾點思考

通過探究，可以明確：反比例函數(shù)圖象實質(zhì)上是等軸雙曲線，其與一般雙曲線之間有著不少共通的性質(zhì)，這也給了我們一些教學(xué)上的啟示。

責(zé)任編輯? 林百達