數(shù)列中單調(diào)性和最值問題的探討

陳慶芳

【摘要】函數(shù)和數(shù)列是一個有機(jī)的統(tǒng)一體，研究數(shù)列時離不開函數(shù)知識.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，有關(guān)數(shù)列的問題常常成為高考中的壓軸題.我們研究過函數(shù)的許多重要性質(zhì)、如單調(diào)性、奇偶性，周期性等，事實上，函數(shù)中的許多重要性質(zhì)在數(shù)列中也有廣泛的用途，只不過我們在研究數(shù)列中的單調(diào)性和最值問題時，由于受數(shù)列自身定義域的限制，研究的方式將會發(fā)生一些偏差.本文筆者就從數(shù)列中單調(diào)性和極值問題的探討出發(fā)，談一下自己的幾點見解.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列;單調(diào)性;最值;探討;恒成立

【基金項目】本文系廣東省肇慶市基礎(chǔ)教育科研“十三五”規(guī)劃項目2019年度課題“高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下深度教學(xué)策略研究”（編號：2019ZQJYKYKT147）研究成果.

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，中間穿插函數(shù)的特殊性質(zhì)后，成為學(xué)生數(shù)列解題中的重點，也成為高考數(shù)列問題中的難點.我們研究數(shù)列時要和函數(shù)，甚至還要和不等式緊密結(jié)合起來，但是數(shù)列和函數(shù)有聯(lián)系，也有區(qū)別.在沒有特別說明的情況下，函數(shù)的定義域為使得表達(dá)式有意義的自變量x的取值集合;而數(shù)列的定義域則是正整數(shù)集或它的有限子集.由于受定義域的影響，我們在函數(shù)和數(shù)列中處理單調(diào)性和最值問題的方式會有所不同.抓住函數(shù)和數(shù)列的聯(lián)系，區(qū)別函數(shù)與數(shù)列的不同之處對于處理數(shù)列中的重要性質(zhì)有著至關(guān)重要的作用.

本文筆者就從數(shù)列中的重要性質(zhì)入手，研究數(shù)列的單調(diào)性、最值，包括恒成立問題，并給出自己的見解.

一、數(shù)列中簡單不等式的求解

已知等差數(shù)列{a n}中，a 2=4，a 4+a 7=15.

（1）求數(shù)列{a n}的通項公式;

（2）設(shè)b n=2a n-2+n，數(shù)列{b n}的前n項和為T n，求使T n>2016成立的n的最小值.

分析 讀完本道數(shù)列習(xí)題，大家會發(fā)現(xiàn)本題難度不大.第一問數(shù)列{a n}的通項公式的求解比較容易，第二問中T n的求解用的是分組求和法，難度也不大，求出T n后，我們化簡得到2n+1+n（n+1）[]2>2018.在這個不等式中n的取值是一切正整數(shù)，要求的是滿足這個不等式的最小正整數(shù)n.

下面請大家一起來關(guān)注一下不等式：2n+1+n（n+1）[]2>2018，這個不等式不是我們學(xué)習(xí)過的常規(guī)不等式，所以我們不能用常規(guī)方法來求解，并且我們也不好猜測方程2n+1+n（n+1）[]2=2018的根.那么這個不等式應(yīng)該怎么來求解呢？

下面先請大家來看一個函數(shù)：y=2x+1+x（x+1）[]2，我們發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增的意思就是y要隨著x的增大而增大.于是，大家解題就有了思路.

我們來構(gòu)造一個新的數(shù)列：f（n）=2n+1+n（n+1）[]2.從上面的分析過程我們可以提煉出這樣一條結(jié)論：數(shù)列f（n）=2n+1+n（n+1）[]2（n∈N*）是一個遞增數(shù)列.所以我們只要求出第一個使得不等式2n+1+n（n+1）[]2>2018成立的正整數(shù)n就行了.

點評 上述例題的講解已經(jīng)結(jié)束，大家可以總結(jié)出非常規(guī)不等式，尤其是跟正整數(shù)n有關(guān)的不等式的求解技巧，如例題，我們可以判斷并證明不等式左邊那個式子的單調(diào)性，從而為我們不等式的求解提供便利的條件.

二、挖掘數(shù)列的單調(diào)性并求出數(shù)列中的最大（小）項

大家在數(shù)列中會遇到這樣的一類題型，譬如說，我們求出了一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的二次型的，然后我們要去求這個數(shù)列中的最大項、最小項，這個問題對于一個班級中的絕大多數(shù)同學(xué)來說應(yīng)該是很簡單的.可下面問題就來了，如果這個數(shù)列的通項公式不是二次型那么簡單的，那么求解數(shù)列中的最大項、最小項問題對好多同學(xué)來說就顯得很頭疼，而且無從下手了.那該怎么辦呢？

為了解決上述這個疑難問題，筆者設(shè)計例題如下.

已知等差數(shù)列{a n}的前n項和為S n，且a 1+a 5=17，S 8=56.

（1）求該等差數(shù)列的公差d;

（2）設(shè)數(shù)列{b n}滿足b n=3na n，則當(dāng)n為何值時，b n最大？請說明理由.

分析 由題意，最終可以得到：b n=3n-n+23[]2.那么原問題就轉(zhuǎn)化為求b n=3n-n+23[]2的最大值.

師：同學(xué)們一起看一下上述{b n}的通項公式，大家可以發(fā)現(xiàn)該通項公式形式比較復(fù)雜，無法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的式子，就算是把其中的變量n變成變量x用函數(shù)的觀點去處理該問題，并以導(dǎo)數(shù)作為工具，這個問題似乎也不太好解決.那么大家有什么好方法嗎？

師：既然大家一時想不到什么有用的方法，那么我們不妨來回憶一下選修2-3上面的二項式定理.大家還記得其中求系數(shù)最大項和系數(shù)最小項問題嗎？要求系數(shù)最大項，就是利用這一項的系數(shù)比前一項的系數(shù)大，也比后一項的系數(shù)大;要求系數(shù)最小項，同理可得.

學(xué)生甲：老師，我知道了，我們可以假設(shè)b n最大，則有如下的不等關(guān)系：b n≥b n+1，

b n≥b n-1，代入后可得如下形式：3n-n+23[]2≥3n+1-n+21[]2，

3n-n+23[]2≥3n-1-n+25[]2，

最后該形式化簡后可得不等式10≤n≤11.所以b 10和b 11同時達(dá)到最大.

老師：學(xué)生甲的做法很正確.那么我們大家再一起來回憶一下單調(diào)數(shù)列的定義：在數(shù)列{a n}中，如果對于任意的n∈N*，a na n+1），則稱數(shù)列{a n}為單調(diào)遞增數(shù)列（或單調(diào)遞減數(shù)列）.看到這個定義，大家想到什么了嗎？

同學(xué)乙：老師，我知道怎么做了.作差??！我們可以考慮b n+1-b n（n∈N*），即數(shù)列{b n}中任意的后一項減去前一項.我們可以來一起操作一下，得到b n+1-b n=2×3n（10-n）.從這里我們就可得知，當(dāng)n≤9時，b n+1>b n，當(dāng)n=10時，b 10=b 11;當(dāng)n≥11時，b n+1<b n.

老師：同學(xué)乙的思路很正確，步驟很規(guī)范.最后我們就可以得出這樣一條完整的結(jié)論：b 1b 12>b 13>…從這里我們就可以很明顯地得到數(shù)列{b n}中的最大項有兩項，它們分別為b 10和b 11.

點評 從上述師生的互動交流中，我們可以發(fā)現(xiàn)，只要討論與比較一個數(shù)列中相鄰兩項的關(guān)系就能得出該數(shù)列的單調(diào)性，從而得到這個數(shù)列的最大項和最小項.這種方法通常也是探討數(shù)列的單調(diào)性與最值的常用方法.在上述的解題過程中，我們介紹了兩種不同的方法，學(xué)生甲的做法既是對二項式定理中系數(shù)最大最小項問題的復(fù)習(xí)鞏固，也是已會知識間的聯(lián)系與貫通，學(xué)生乙的做法就是教會大家研究一個數(shù)列實則就是研究這個數(shù)列中的相鄰兩項的關(guān)系.不同方法的引入與滲透加深了學(xué)生對于知識點的靈活應(yīng)用，還加深了學(xué)生對于數(shù)列單調(diào)性與最值問題的理解與掌握.

三、數(shù)列中恒成立問題的求解

當(dāng)我們判斷并證明出一個數(shù)列的單調(diào)性時，這時該數(shù)列可以和函數(shù)中的恒成立問題相結(jié)合.筆者根據(jù)自己在教學(xué)中遇到的問題設(shè)計例題如下，供大家參考.

已知數(shù)列{a n}是等比數(shù)列，S n為其前n項和.

（1）若S 4，S 10，S 7成等差數(shù)列，證明a 1，a 7，a 4也成等差數(shù)列;

（2）設(shè)S 3=3[]2，S 6=21[]16，b n=λa n-n2.若數(shù)列{b n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍.

分析 看完題目，我們可以得知，這道數(shù)列題考查的知識點的綜合性還是比較強(qiáng)的，里面既有等差數(shù)列，又有等比數(shù)列，還有數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列中的恒成立問題.

下面請大家先一起來看一下第二小問，我們可以先求出數(shù)列{a n}的通項公式，得知a n=2·-1[]2n-1，因此b n=λ·2·-1[]2n-1-n2.于是問題就轉(zhuǎn)化為不等式b n+1

解題的思路有了，可是問題又來了，首先-3-1[]2n-1這個表達(dá)式的正負(fù)情況我們不清楚，它可正可負(fù)，而且n是正整數(shù)，這又該怎么辦呢？大家仔細(xì)分析一下，我們來關(guān)注一下-3-1[]2n-1，當(dāng)n為偶數(shù)時，該式子是正數(shù)，待會在處理的時候不等號的方向不要改變;當(dāng)n是奇數(shù)的時候，該式子是負(fù)數(shù)，待會在處理的時候不等號的方向需要改變.

下面我們把這道例題的恒成立的過程給大家展示一下：

在不等式-3λ-1[]2n-1<2n+1中，

當(dāng)n為偶數(shù)時，不等式可化為λ<2n-1（2n+1）[]3.對于2n-1（2n+1），令c n=2n-1（2n+1）（n∈N*），則c n>0，∴c n+1[]c n=2n（2n+3）[]2n-1（2n+1）=2（2n+3）[]2n+1>1，∴c n+1>c n.∴數(shù)列{c n}為單調(diào)遞增數(shù)列.又λ<2n-1（2n+1）[]3 min，∴λ<（c n） min，∴λ

當(dāng)n為奇數(shù)時，不等式可化為λ>-2n-1（2n+1）[]3.由上述分析可知，數(shù)列{c n}為單調(diào)遞增數(shù)列，因此數(shù)列{-c n}是單調(diào)遞減數(shù)列，（-c n） max=-c 1=-1.∴λ>-1.

綜上得，實數(shù)λ的取值范圍為-1，10[]3.

點評 上述的精彩講評已經(jīng)結(jié)束，剛剛一開始就說了，這道例題中考查的知識點比較全面，在后面分參過程中對n的奇偶數(shù)的討論決定了不等號方向是否改變，中間對于數(shù)列單調(diào)性的判斷與證明表現(xiàn)得淋漓盡致.

事實上，關(guān)于數(shù)列中的項的單調(diào)性與最值問題，主要涉及不等式中的離散情況的恒成立問題.其中最常用的是作差比較的方法，用它來研究數(shù)列中的相鄰兩項的關(guān)系.另外，通過函數(shù)圖像法，運用基本不等式法，先猜后證法，求導(dǎo)法，當(dāng)然這些方法要和函數(shù)聯(lián)系起來，對于解決數(shù)列問題有時能夠收到意想不到的效果.同時，在解題時通過一題多解、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想處理數(shù)列中的單調(diào)性問題、最值問題、恒成立問題、范圍問題，能讓學(xué)生的思維逐漸活躍起來，讓學(xué)生的思維得到充分的鍛煉，使得學(xué)生能夠更加愛數(shù)學(xué)，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的各種解題能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.研究數(shù)列的單調(diào)性和最值問題，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性以及嚴(yán)謹(jǐn)性都有很好的幫助.因此我們教師在平時的教學(xué)過程中要注意培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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