植樹(shù)問(wèn)題中的模型建立與方法指導(dǎo)

馮行順

[摘 要]“植樹(shù)問(wèn)題”的核心思想是歸納法（即從特殊情況推廣到一般情況的合情推理）和分類討論的思想方法（如兩端都栽、兩端不栽、封閉路線），以及由此衍生出來(lái)的方陣隊(duì)列問(wèn)題等。其傳達(dá)的學(xué)科核心素養(yǎng)是一一化歸思想，同時(shí)使學(xué)生體會(huì)到建模帶來(lái)的便捷。

[關(guān)鍵詞]植樹(shù)問(wèn)題;模型建立;方法指導(dǎo)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）17-0062-02

“植樹(shù)問(wèn)題”一課的教學(xué)重點(diǎn)是植樹(shù)時(shí)分隔的段數(shù)與植樹(shù)株數(shù)之間的關(guān)系，教學(xué)難點(diǎn)是將解決植樹(shù)問(wèn)題的方法抽象成一個(gè)模型去解決類似問(wèn)題。教學(xué)中，解題不是重點(diǎn)，重點(diǎn)是讓學(xué)生體驗(yàn)并感知復(fù)雜問(wèn)題可以從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，也就是從特殊到一般的合情推理，歸納出數(shù)學(xué)公式和定理，將數(shù)形結(jié)合、對(duì)應(yīng)、化歸等數(shù)學(xué)思想方法囊括其中，經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和概括形成數(shù)學(xué)理論的過(guò)程，落實(shí)知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三維目標(biāo)，提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

一、探究新知，建立模型

出示例題：市政局綠化隊(duì)在全長(zhǎng)100 米的柏油馬路的一邊栽行道樹(shù)，一共需要多少株樹(shù)苗？

1.補(bǔ)充信息

師：如果請(qǐng)你來(lái)當(dāng)規(guī)劃師，還需要路政部門(mén)提供什么數(shù)據(jù)？（株距5米）

2.理解信息

師：株距5米，是什么意思？

3.提出研究策略

師：你準(zhǔn)備采取什么策略解決這個(gè)問(wèn)題？

（指點(diǎn)學(xué)生遇到較復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，先進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，如將柏油馬路的長(zhǎng)改為“20米”去研究）

4.自主探究

給學(xué)生提供學(xué)具“一段20厘米長(zhǎng)的黑膠帶（模擬柏油馬路），一段長(zhǎng)5厘米的木方（當(dāng)作間隔）”，讓學(xué)生邊分段邊將小樹(shù)畫(huà)在黑膠帶上。

學(xué)生自主探究：（1）用擺放、圖示的方法去研究，并完成表格。

[柏油馬路長(zhǎng)20米（總長(zhǎng)） 每隔5米栽一棵（間隔） 有幾個(gè)間隔（分隔的段數(shù)） 栽了幾株樹(shù)（株數(shù)） ]

（2）組內(nèi)分享展示。

5.小組匯報(bào)

方法一：用學(xué)具演示并輔助說(shuō)明。

方法二：圖示法演示。

6.比較發(fā)現(xiàn)：不論何種方法，都指向一個(gè)結(jié)果，那就是20米被等分成4小段，種下5株樹(shù)。

師：你對(duì)分隔的段數(shù)和株數(shù)有什么發(fā)現(xiàn)？

動(dòng)畫(huà)演示：在20米長(zhǎng)的柏油馬路上種行道樹(shù)，一株樹(shù)緊隨一段間隔（一株樹(shù)和一段間隔黏在一起），輪到第五株樹(shù)時(shí)，后面沒(méi)有續(xù)接間隔，直觀演示株數(shù)比分隔的段數(shù)多1。

師：根據(jù)剛才畫(huà)的線段圖和多媒體演示，列出算式。

板書(shū)：20÷5=4（段） 4+1=5（株）

【設(shè)計(jì)意圖：如此教學(xué)淺顯易懂，通過(guò)商討栽行道樹(shù)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)什么是間隔的段數(shù)，同時(shí)縮減間距，化繁為簡(jiǎn)，將學(xué)習(xí)難度降級(jí)，目的在于讓學(xué)生在開(kāi)放情境中回歸初始狀態(tài)，用木方度量間隔段數(shù)的方法推算出株數(shù)和分隔的段數(shù)。在學(xué)生匯報(bào)時(shí)，由學(xué)生操作轉(zhuǎn)入教師繪圖，同時(shí)配合動(dòng)畫(huà)模擬演示植樹(shù)情境，巧用一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，揭示“多1”的原因，最后讓學(xué)生列出算式，從而幫助學(xué)生建立全面清晰的表象，初步建立植樹(shù)問(wèn)題的模型?！?/p>

二、合作研究，驗(yàn)證模型

1.小組學(xué)習(xí)指導(dǎo)

（1）每人隨機(jī)挑選一組數(shù)據(jù)，自選方法驗(yàn)證栽行道樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律。

（2）組內(nèi)交流栽行道樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律。

2.小組合作探究

分別分析10米、15米、25米、30米柏油馬路上種行道樹(shù)的情況。

3.匯報(bào)交流，發(fā)現(xiàn)并檢驗(yàn)規(guī)律的真實(shí)性

板書(shū)：全程÷每段間距=分隔的段數(shù);分隔的段數(shù)+1=株數(shù)。

4.數(shù)形結(jié)合，解釋模型

師：綜合分析多組數(shù)據(jù)總結(jié)出“株數(shù)=分隔的段數(shù)+1”。為什么“兩端都栽”的情形下，株數(shù)是“分隔的段數(shù)+1”呢？多的1株樹(shù)是從哪里冒出來(lái)的？

【設(shè)計(jì)意圖：有了夯實(shí)的基礎(chǔ)，教師放權(quán)讓學(xué)生自由研究后合作交流，再給不同數(shù)組配圖，幫助學(xué)生證實(shí)之前的推斷，發(fā)現(xiàn)兩端都栽的數(shù)學(xué)規(guī)律。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想有了深切體會(huì)，并通過(guò)反復(fù)證明，最終確信：分隔段數(shù)+1=株數(shù)。學(xué)生依仗線段圖，利用數(shù)形結(jié)合、圖文配合，讓思維發(fā)展有了肥沃的土壤，并感受到數(shù)學(xué)思想方法的魅力。】

模型的建立不能完全由教師牽著學(xué)生進(jìn)行，而應(yīng)該由學(xué)生合力創(chuàng)建，在建立模型的過(guò)程中落實(shí)合作研究、交流展示等學(xué)習(xí)方法。教師要做的只是提供技術(shù)指導(dǎo)，做出戰(zhàn)略部署，而一磚一瓦都要由學(xué)生拼搭。如教師只是提供幾組數(shù)據(jù)作為素材，由學(xué)生自由選擇一組數(shù)據(jù)作為“全程”和“間距”來(lái)構(gòu)建模型，進(jìn)行栽樹(shù)操作。學(xué)生可以自由發(fā)揮，大膽創(chuàng)新。學(xué)生拿著選好的數(shù)據(jù)進(jìn)行小組合作，自創(chuàng)模型：可以是在公路上栽樹(shù)，可以是在圍墻上插紅旗，可以是汽車長(zhǎng)途行駛的途中每隔一段距離加油一次，形形色色，不一而足。最后發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是在哪種情境下建立的模型，最后兩端都栽樹(shù)（起止兩處端點(diǎn)都各進(jìn)行一次獨(dú)立試驗(yàn)），那么試驗(yàn)次數(shù)就比間隔段數(shù)多1，這個(gè)試驗(yàn)可以是栽樹(shù)間隔也可以是鋸木頭，甚至是敲鐘，間隔數(shù)可以是距離間隔，也可以是時(shí)間間隔。所有模型都指向一個(gè)規(guī)律（也是模型的主要性質(zhì)和課程重點(diǎn)），那就是兩端都栽的情況下，“栽樹(shù)株數(shù)=間隔數(shù)+1”。

三、教學(xué)反思

1.線索流暢、簡(jiǎn)明易懂，歸功于不斷改進(jìn)

新課伊始，引出例題，迅速確立課程內(nèi)容，緊接著將植樹(shù)問(wèn)題中的數(shù)據(jù)改小。教師在學(xué)生自主探究時(shí)指導(dǎo)有方，點(diǎn)到為止，讓學(xué)生利用學(xué)具擺放或者自主畫(huà)出線段圖，解析問(wèn)題后列式。學(xué)生在手腦并用中初步建立了植樹(shù)問(wèn)題的模型。一開(kāi)始，讓學(xué)生自主探索20米柏油馬路上種行道樹(shù)的規(guī)律時(shí)，學(xué)生在畫(huà)線段圖的過(guò)程中感到阻礙重重，不知從何下手。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生用黑膠帶代替柏油馬路，用木方代替5米的間隔，邊度量邊標(biāo)記行道樹(shù)，最終推算出行道樹(shù)株數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。

在學(xué)生匯報(bào)操作結(jié)果后，教師指示學(xué)生繪制線段圖，其用意在于給學(xué)生搭建研究方法的臺(tái)階，由粗笨的黑膠帶操作升級(jí)到靈巧的畫(huà)線段圖、列算式，從而厘清間距、分隔的段數(shù)、株數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系，一舉攻克重點(diǎn)和難點(diǎn)。經(jīng)過(guò)一番探究，學(xué)生對(duì)栽行道樹(shù)問(wèn)題中間距、分隔的段數(shù)、株數(shù)的數(shù)量關(guān)系已初步建立了模型，為后續(xù)的檢驗(yàn)埋下伏筆。這也反映教師對(duì)學(xué)生的方法指導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)有序，循序漸進(jìn)。

2.注重實(shí)踐、體驗(yàn)，探究隱藏的數(shù)學(xué)思想方法

教師的指導(dǎo)給學(xué)生創(chuàng)造了更多體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，借助圖示和動(dòng)畫(huà)揭示問(wèn)題本質(zhì)，能使學(xué)生清醒地認(rèn)識(shí)到株數(shù)并不是簡(jiǎn)單等于分隔的段數(shù)。學(xué)生在首次探究后，教師趁機(jī)追問(wèn)“你能找出什么規(guī)律”，啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣將解決問(wèn)題的經(jīng)過(guò)原原本本地展現(xiàn)出來(lái)，可讓學(xué)生縱觀全局，形成謀略。在探究栽行道樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律的本質(zhì)時(shí)，教師動(dòng)畫(huà)演示“20米的柏油馬路上一株樹(shù)緊隨一段間隔，第五株樹(shù)身后沒(méi)有跟隨一段間隔”，有助于學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)株數(shù)比分隔的段數(shù)多1。這里，動(dòng)畫(huà)演示巧用一一對(duì)應(yīng)的思想方法揭示多1的真相，幫助學(xué)生建立起全面穩(wěn)定的表象，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)研究一端栽樹(shù)和兩端都不栽樹(shù)的情形打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（責(zé)編 羅 艷）