學(xué)理性：“學(xué)科素養(yǎng)”下提升學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言力

丁小東 李勇

[摘? 要] 數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)當(dāng)追求一種內(nèi)在的學(xué)理性。無(wú)論是概念、意義、法則還是公式、模型等，都蘊(yùn)含著豐富的學(xué)理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以采用變式策略、精加工策略以及多元關(guān)聯(lián)策略，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表征、理解。準(zhǔn)確地運(yùn)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言來(lái)表達(dá)知識(shí)、表達(dá)思維，從而不斷地提升學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)！

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)語(yǔ)言;學(xué)理性;學(xué)科素養(yǎng)

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾曾經(jīng)這樣說(shuō)，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”。從根本上說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是掌握一門(mén)語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)，并用這種符號(hào)系統(tǒng)進(jìn)行思維。數(shù)學(xué)語(yǔ)言不同于文學(xué)語(yǔ)言，它有著自己的特質(zhì)，諸如嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性、抽象性等?；跀?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的視角，數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)當(dāng)追求一種內(nèi)在的學(xué)理性。當(dāng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言擁有了內(nèi)在的學(xué)理，自然也就體現(xiàn)了簡(jiǎn)約化、邏輯化、抽象化。也就是說(shuō)，“學(xué)理性”是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的根源，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的根系、命脈之所在。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)論是概念、意義、法則還是公式、模型等，都蘊(yùn)含著豐富的學(xué)理。認(rèn)識(shí)學(xué)理、把握學(xué)理、運(yùn)用學(xué)理，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力的根本路徑。

一、變式策略：在多元表征中理解學(xué)理

所謂“變式”，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)變換材料的非本質(zhì)屬性，而凸顯本質(zhì)屬性的過(guò)程。變式，有助學(xué)生理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言的內(nèi)在學(xué)理。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通常會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成比較膚淺的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)就表現(xiàn)為學(xué)生的生活化語(yǔ)言、描述性語(yǔ)言等。變式，能助推學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)從非本質(zhì)走向本質(zhì)、從生活走向數(shù)學(xué)、從膚淺走向深刻。法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“沒(méi)有數(shù)學(xué)這門(mén)語(yǔ)言，我們便無(wú)法發(fā)現(xiàn)世界內(nèi)部的和諧和事物間的密切聯(lián)系?！?/p>

例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)）一課，著重引導(dǎo)學(xué)生從過(guò)去的“一個(gè)物體”“一個(gè)計(jì)量單位”“許多物體組成的整體”抽象成“單位‘1的量”，這對(duì)于五年級(jí)學(xué)生而言具有一定的思維跨度，因而能引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。教學(xué)中，筆者運(yùn)用變式策略，將一塊蛋糕、一條線(xiàn)段、許多圓形組成的一個(gè)整體等進(jìn)行平均分，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平均分的對(duì)象進(jìn)行概括，即“一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的整體，都可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常我們把它叫作單位‘1”。在引導(dǎo)學(xué)生表述分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，我們對(duì)同樣的單位“1”的量平均分成不同的份數(shù)，對(duì)不同的單位“1”的量平均分成相同的份數(shù)。通過(guò)這樣的正反變式，讓學(xué)生感悟到，分?jǐn)?shù)的意義與物體的個(gè)數(shù)等無(wú)關(guān)，與平均分的份數(shù)以及表示的份數(shù)相關(guān)。由此，催生學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”的數(shù)學(xué)學(xué)理性表達(dá)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。表示其中一份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)單位。在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行多元化的表征過(guò)程中，學(xué)生逐漸舍棄了非本質(zhì)屬性，提煉出本質(zhì)屬性。如有學(xué)生說(shuō)，“分?jǐn)?shù)就是幾份之幾”。這種精簡(jiǎn)化的概括，正說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)把握了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵，因而就有了學(xué)理性的數(shù)學(xué)表達(dá)。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言追求精準(zhǔn)。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)理性數(shù)學(xué)語(yǔ)言素養(yǎng)的關(guān)鍵，就是要讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象、對(duì)數(shù)學(xué)新知有本質(zhì)的、深刻的認(rèn)知。當(dāng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象或數(shù)學(xué)新知有了本質(zhì)認(rèn)知后，其數(shù)學(xué)表達(dá)自然蘊(yùn)含著學(xué)理性，其語(yǔ)言表達(dá)也自然能散發(fā)出濃濃的“數(shù)學(xué)味”。反之，當(dāng)學(xué)生能用精準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)學(xué)理性語(yǔ)言將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象或數(shù)學(xué)新知表達(dá)出來(lái)時(shí)，也更加深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象或數(shù)學(xué)新知的理解、把握。這是一個(gè)“內(nèi)化”與“外化”的雙向互動(dòng)。

二、精加工策略：在深層理解中領(lǐng)悟?qū)W理

數(shù)學(xué)語(yǔ)言有著豐富的內(nèi)涵、特定的意義，尤其是一些數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、數(shù)學(xué)符號(hào)等。所謂“精加工”，就是通過(guò)豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)概念作出不同層面的理解或者多元理解。通過(guò)精加工，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解從片面走向全面、從模糊走向清晰、從膚淺走向深刻。當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延有了精準(zhǔn)到位的把握，自然就能對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)化的編碼，自然就能運(yùn)用數(shù)學(xué)的學(xué)理性語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。

例如，教學(xué)“平均數(shù)”（蘇教版四年級(jí)上冊(cè)）時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在生活中已經(jīng)觸碰到了平均數(shù)，但對(duì)平均數(shù)的理解處于感性的、模糊的層面，沒(méi)有形成理性的認(rèn)知。因而，學(xué)生在表達(dá)對(duì)平均數(shù)的認(rèn)知時(shí)，常常說(shuō)成“平均數(shù)就是讓這些數(shù)量都相等”“平均數(shù)就是讓大的一些數(shù)量給小的一些數(shù)量，讓大數(shù)量和小數(shù)量同樣多”，等等。為此，筆者在教學(xué)中，借助教材中的素材——“四年級(jí)第一小組男女生套圈比賽，怎樣比較男女生套圈的本領(lǐng)”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解從膚淺走向深度?！捌骄鶖?shù)作為一種統(tǒng)計(jì)量，具有一種虛擬性、敏感性”，也就是說(shuō)，“平均數(shù)是我們?yōu)榱丝坍?huà)一組數(shù)據(jù)的整體水平而虛擬出的一個(gè)數(shù)據(jù)，并不是真實(shí)存在的數(shù)據(jù)”“一組數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)都會(huì)影響作為統(tǒng)計(jì)量的平均數(shù)”。教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生通過(guò)“移多補(bǔ)少”以及“算術(shù)計(jì)算”之后，發(fā)現(xiàn)男生套圈的平均數(shù)是7，這個(gè)數(shù)據(jù)恰好與男生中的王宇同學(xué)套中圈的個(gè)數(shù)相同?；诖?，筆者適時(shí)追問(wèn)學(xué)生：這個(gè)平均數(shù)7與王宇同學(xué)套中圈的數(shù)據(jù)7一樣嗎？學(xué)生通過(guò)反思、內(nèi)省，發(fā)現(xiàn)“平均數(shù)是一種假想的、虛擬的數(shù)據(jù)，它只是反映了一組數(shù)據(jù)的整體性水平，而王宇同學(xué)套中圈的個(gè)數(shù)7卻是一個(gè)真實(shí)存在的數(shù)據(jù)”。在學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均數(shù)的虛擬性之后，多媒體課件顯示這一小組又來(lái)了一位男生，學(xué)生再次計(jì)算平均數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)已經(jīng)發(fā)生了變化：原來(lái)男生套中圈的平均數(shù)高于女生，現(xiàn)在男生套中圈的平均數(shù)反而低于女生。有學(xué)生說(shuō)，一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)就會(huì)影響平均數(shù)，就會(huì)影響一組數(shù)據(jù)的整體水平。由此，學(xué)生理解了平均數(shù)的敏感性。最后，筆者通過(guò)一組精心設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)（包含兩個(gè)極端數(shù)據(jù)），引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均數(shù)只是統(tǒng)計(jì)量中的一種。統(tǒng)計(jì)量不僅僅有平均數(shù)，還包括眾數(shù)、中位數(shù)等。

對(duì)平均數(shù)素材的精加工，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)作為統(tǒng)計(jì)量的“平均數(shù)”的深刻理解。因而，也就有了學(xué)生對(duì)平均數(shù)這樣一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的學(xué)理性數(shù)學(xué)表達(dá)。值得注意的是，不同的學(xué)生對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象會(huì)產(chǎn)生不同的學(xué)理性表達(dá)。作為教師，不必苛求學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)理性表達(dá)的統(tǒng)一性，而應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生的多元化表達(dá)，只要這種表達(dá)所揭示的數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與外延是到位的即可。

三、多元關(guān)聯(lián)策略：在互譯互化中發(fā)展學(xué)理

學(xué)理性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有著不同的類(lèi)型，這些類(lèi)型的學(xué)理性數(shù)學(xué)語(yǔ)言是相通的。同時(shí)，學(xué)理性數(shù)學(xué)語(yǔ)言也不是憑空產(chǎn)生的，它來(lái)源于學(xué)生的生活語(yǔ)言、日常語(yǔ)言，卻高于學(xué)生的生活語(yǔ)言、日常語(yǔ)言。因而，學(xué)理性數(shù)學(xué)語(yǔ)言與生活語(yǔ)言、日常語(yǔ)言也是相通的。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生在不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)學(xué)理性語(yǔ)言之間互化互譯互通，引導(dǎo)學(xué)生將日常的生活語(yǔ)言提煉成學(xué)理性數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而能建立一個(gè)基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)“話(huà)語(yǔ)系統(tǒng)”“表達(dá)系統(tǒng)”等。

例如，教學(xué)“比的認(rèn)識(shí)”“比的基本性質(zhì)”（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）時(shí)，教師可以通過(guò)表格，溝通“比”與“分?jǐn)?shù)”“除法”等概念之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)比的意義的理解，催生學(xué)生對(duì)比的意義的學(xué)理性表達(dá)?！氨取薄胺?jǐn)?shù)”“除法”這三個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容分屬于不同的數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這些概念得到了有效的溝通。在教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)“比”“分?jǐn)?shù)”“除法”之間的關(guān)聯(lián)，更要引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)它們之間的區(qū)別。有了對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念關(guān)系的認(rèn)知，學(xué)生就能借助自我的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)——“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”等，嘗試建構(gòu)、表達(dá)“比的基本性質(zhì)”。通過(guò)對(duì)“比的基本性質(zhì)”的建構(gòu)、表達(dá)，學(xué)生能對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的整體性建構(gòu)、整體性表達(dá)。通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的整體性表達(dá)，數(shù)學(xué)新知被有效地納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，形成了較強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性功能的數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)。如在“比”“分?jǐn)?shù)”和“除法”的話(huà)語(yǔ)系統(tǒng)之中，學(xué)生牢牢地把握了“同時(shí)”“乘除”“相同的不為0的數(shù)”的概念的關(guān)鍵性特質(zhì)。

同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（概念、定理等）可以有不同的表征方式。多元關(guān)聯(lián)策略要求學(xué)生在數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的過(guò)程中，要進(jìn)行不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言的互化、互轉(zhuǎn)、互譯。通過(guò)這樣的多元關(guān)聯(lián)，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地運(yùn)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言來(lái)表達(dá)知識(shí)、表達(dá)思維，從而不斷地提升學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)！