時間尺度上奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)的Noether對稱性

方 蕊，朱建青

(蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

時間尺度是測度鏈的一種，可以將差分系統(tǒng)與微分系統(tǒng)統(tǒng)一起來進行研究，避免了對于同一問題的重復(fù)研究，使得力學(xué)系統(tǒng)的研究結(jié)果更具有普遍性.目前，時間尺度理論在經(jīng)濟學(xué)、物理學(xué)等許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-4].在力學(xué)系統(tǒng)中，利用對稱性導(dǎo)出守恒量是一個比較重要的研究方向，主要通過Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性來尋求守恒量[5-12].2008年，Bartosiewicz和Torres給出了時間尺度上Noether定理的一種證明方法[13]；2011年，Bartosiewicz和Torres等給出了時間尺度上Noether定理的另一種證明方法[14].隨后，關(guān)于時間尺度上對稱性的研究取得了一系列重要成果，如：非完整非保守系統(tǒng)的Noether對稱性[15]、相空間中非Chetaev型非完整系統(tǒng)的Noether對稱性[16]、Lagrange系統(tǒng)的Mei對稱性[17]、基于非標(biāo)準(zhǔn)Lagrange函數(shù)的動力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性[18]、Hergoltz型Hamilton系統(tǒng)的Noether對稱性[19]、奇異Chetaev型非完整系統(tǒng)的Lie對稱性[20]、二階線性可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性[21]及完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性[22]．

隨著航天技術(shù)與工業(yè)的不斷發(fā)展，變質(zhì)量系統(tǒng)的研究日益重要.通常情況下噴氣飛機、火箭、航天器等都是變質(zhì)量系統(tǒng).近年來，一些學(xué)者對于變質(zhì)量系統(tǒng)的對稱性進行了研究并取得了一些成果[23-24].2007年，夏麗莉研究了變質(zhì)量非完整可控力學(xué)系統(tǒng)的統(tǒng)一對稱性[25]；2014年，徐超研究了奇異變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的對稱性與守恒量[26]；2019年，吳艷研究了時間尺度上變質(zhì)量系統(tǒng)的對稱性理論[27]；2020年，闕朝月研究了時間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量[28].本文在時間尺度上研究奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量，給出系統(tǒng)Noether廣義準(zhǔn)對稱性的判據(jù)和守恒量，最后對結(jié)果的應(yīng)用舉例說明．

1 時間尺度上奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)的運動方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1，2，…，n)確定，mi(i=1，2，…，N)和Δmi分別是第i個質(zhì)點在t時刻的質(zhì)量和在時刻t+Δt質(zhì)點分離(或質(zhì)點并入)的微粒質(zhì)量，設(shè)時間尺度上質(zhì)點的質(zhì)量為

(1)

系統(tǒng)受g個雙面理想非Chetaev型非完整約束

s=1，2，…，n;r=1，2，…，b)，

(2)

(3)

時間尺度上的Lagrange函數(shù)為

(4)

變質(zhì)量系統(tǒng)在時間尺度上的Hamilton原理為

(5)

且滿足如下的交換關(guān)系和端點條件

(6)

δqs(t)|t=t1=δqs(t)|t=t2=0，

(7)

(8)

(9)

ui是微粒相對于質(zhì)點自身的相對速度．

由(5)式可得

(10)

其中，λβ為約束乘子．由(10)式，根據(jù)Dubois-Reymond引理可得

(11)

對(11)兩邊求Δ導(dǎo)數(shù)，可得

(12)

令

Λs=λβωβs，

(13)

則方程(12)可表示為

(14)

方程(14)為時間尺度上變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)的運動方程．

如果

(15)

則將該系統(tǒng)稱為時間尺度上奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)．

因為系統(tǒng)是奇異的，所以僅能解出系統(tǒng)一部分的廣義加速度，記為

(s=1，2，…，l，0≤l≤n)，

(16)

則有(n-l)個關(guān)系

(k=1，2，…，n-l).

(17)

2 時間尺度上奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量

在時間尺度上Hamilton作用量為

(18)

引入無限小變換群

(19)

其中ε為無限小參數(shù)，ξ0和ξs為生成元．

定義1如果作用量(18)在無限小變換(19)下為廣義準(zhǔn)對稱不變量，即當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的區(qū)間[ta，tb]?[t1，t2]，始終成立

(20)

(21)

和限制條件

(22)

其中，

(23)

則將這種不變性稱作時間尺度上奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對稱性．

定理1對時間尺度上奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)，如果變換(19)的生成元ξ0和ξs使得廣義Noether等式(21)和限制條件(22)成立，則系統(tǒng)的守恒量為

(24)

證明

(25)

推論1當(dāng)時間尺度T=，非完整約束為Chetaev型且系統(tǒng)非奇異時，根據(jù)(21)式可以得到相應(yīng)經(jīng)典的廣義Noether等式[20]

(26)

根據(jù)(24)式可得到相應(yīng)的守恒量為[20]

(27)

3 算例

例1設(shè)時間尺度為

T={2n:n∈}∪{0}.

(28)

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(29)

其中,m=m0e-t，m0=const.微粒的絕對速度為零，即

u=-rΔ，

(30)

非勢廣義力不存在.所受的非完整約束為

(31)

假設(shè)(31)為非Chetaev型約束，虛位移的限制方程為

(32)

根據(jù)題意可知

P1=P2=0.

(33)

由(12)式可得

(34)

由(29)、(31)、(34)式解出

(35)

可得

(36)

由(21)、(22)式可得

(37)

(38)

由(37)、(38)式可解得系統(tǒng)的生成元為

ξ0=0，ξ1=1，ξ2=1，G=0.

(39)

由定理1可得守恒量為

(40)

例2設(shè)時間尺度為

T={2n:n∈}∪{0}.

(41)

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(42)

其中,m=m0e-αt，其中m0，α均為常數(shù)，且微粒的絕對速度為零，即

u=-rΔ，

(43)

非勢廣義力為

(44)

所受非Chetaev型的非完整約束為

(45)

虛位移的限制方程為

(46)

由題可知

P1=P2=P3=0，

(47)

由(12)式，有

(48)

由(42)、(45)、(48)式，有

(49)

可得

(50)

根據(jù)(21)、(22)式可得

(51)

(52)

聯(lián)立方程(51)和(52)，可得到如下解

ξ0=0，ξ1=1，ξ2=1，ξ3=0，

(53)

由定理1可得系統(tǒng)的守恒量為

(54)

4 結(jié)論

本文對時間尺度上奇異變質(zhì)量可控非完整系統(tǒng)的Noether對稱性和其相應(yīng)的守恒量進行了研究.文章基于時間尺度上系統(tǒng)的Hamilton原理，導(dǎo)出系統(tǒng)的運動方程，得到了系統(tǒng)的廣義Noether等式和Noether廣義準(zhǔn)對稱性的判據(jù)，進而給出守恒量并進行證明.由于時間尺度具有任意性，因此本文結(jié)果具有普遍性.本文研究結(jié)果可拓展到時間尺度上奇異可控變質(zhì)量系統(tǒng)的Mei對稱性等的研究中．