2021年新課標Ⅲ卷解析幾何試題賞析與探究

摘 要：通過對2021年新課標Ⅲ卷第20題解析幾何試題的多角度分析，挖掘其中的競賽背景，再聯(lián)系與之相關(guān)的往年高考真題，從真題解法賞析、試題背景探源、基本思想方法的應(yīng)用和教學(xué)啟示等四個方面展開詳細闡述，談?wù)劷馕鰩缀蔚膹?fù)習(xí)策略.

關(guān)鍵詞：解析幾何;切線問題;競賽背景;基本思想

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0036-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：潘宇，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

2021年高考剛剛落下帷幕，全國各地老師紛紛對其中的優(yōu)秀試題展開研究.筆者在研究2021年新課標Ⅲ卷第20題解析幾何時，發(fā)現(xiàn)該題既可以用特殊位置猜想結(jié)果，又可以用基本思想方法解答.此題不僅可以尋找到往年舊題中的縮影，更能挖掘其深藏的競賽背景，下面筆者以此題為例，從真題解法賞析、試題背景探源、基本思想方法的應(yīng)用和教學(xué)啟示等四個方面展開詳細闡述.

一、真題解法賞析

例1 （2021年新課標Ⅲ卷第20題）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ，點M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C，⊙M的方程;

（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由.

圖1

分析1容易求得C：y2=x和⊙M：x-22+y2=1.先考慮特殊情形：當點A1位于坐標原點時，根據(jù)直線A1A2，A1A3均與⊙M相切可知kA1A2=33，直線A1A2：y=

33x，代入C：y2=x解得A23，3，同理可得A33，-3.此時直線A2A3與⊙M相切.

評注 由于第二問難度較大，很多學(xué)生可能想不到如何破解或者在考場上來不及研究，所以可以先用“特殊化”的思想，預(yù)測答案，再從“特殊到一般”，尋找證明思路，或者書寫有效的得分步驟，爭取得分最大化.

分析2設(shè)A1x0，y0，A2x1，y1，A3x2，y2，則kA1A2=y0-y1x0-x1=1y0+y1，所以直線A1A2：y-y0=1y0+y1x-x0，整理得A1A2：x-y0+y1y+y0y1=0，同理可得A2A3：x-y1+y2y+y1y2=0.由直線A1A2與⊙M相切得2+y1y01+y1+y02=1，整理得y20-1y12+2y0y1+3-y20=0，同理可得y20-1y22+2y0y2+3-y20=0，所以y1+y2=-2y0y20-1，y1y2=3-y20y20-1，代入點M（2，0）到直線A2A3的距離公式，得2+y1y21+y1+y22=1，所以直線A2A3與⊙M相切.

點評 本題有很多常見的解題經(jīng)驗或結(jié)論，值得總結(jié)并用于教學(xué).（1）拋物線y2=2px上的兩點連線斜率為k=2py1+y2.（2）已知拋物線上的兩點A2x1，y1，A3x2，y2，可以快速的寫出直線A2A3的方程：x-y1+y2y+y1y2=0，可以幫助我們快速找到根與系數(shù)的關(guān)系.（3）創(chuàng)造“同構(gòu)”方程，得到韋達定理，再用之解題，體現(xiàn)了圓錐曲線中“設(shè)而不求”的思想.

二、試題背景探源

例1的競賽背景為彭賽列閉合定理：平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內(nèi)接另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個點都是滿足這樣（切、內(nèi)外接）性質(zhì)的封閉多邊形的頂點，且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.

簡明的彭賽列閉合定理表示為：一個三角形外接于一個圓，內(nèi)切一個圓，則三角形的外接圓可以有無數(shù)個內(nèi)接三角形滿足其內(nèi)切圓為上述的同一個.于是可以得到例1分析如下：

分析3當點A1位于坐標原點時，根據(jù)直線A1A2，A1A3均與⊙M相切可知kA1A2=33，直線A1A2：y=33x，代入C：y2=x解得A23，3，同理可得A33，-3.此時直線A2A3與⊙M相切.由彭賽列閉合定理可知，當點A1在拋物線上運動時，直線A2A3始終與⊙M相切.

評注 知道彭賽列閉合定理可以幫助我們預(yù)判解題之路，但缺點是這些超綱知識不可用于考場答卷.所以幫助我們解決圓錐曲線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問題的最重要方法還是通性通法，也就是前文分析2后的總結(jié)（1）、（2）、（3）.下面繼續(xù)舉例說明這些總結(jié)的應(yīng)用.

三、基本思想方法的應(yīng)用

例2（2021年全國八省聯(lián)考第7題）已知拋物線y2=2px上三點A（2，2），B，C，直線AB，AC是圓（x-2）2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為（）.

A. x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0

C. 2x+6y+3=0 D. x+3y+2=0

分析 該題屬于偽彭賽列閉合，但仍然可以運用前文所寫的總結(jié)快速解決.易知拋物線方程為y2=2x，kAB=3，由kAB=2yA+yB得yB=23-2，則xB=8-433.同理可得yC=-23-2，所以kBC=2yC+yB=-12，BC：y-23-63=-12x-8-433，即BC：3x+6y+4=0.

評注 以上的例1、例2都是考查拋物線的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓問題，下面看看一個橢圓中的例子.研究往年經(jīng)典題可以提煉解題方法，指導(dǎo)未來解題.

例3（2009年江西文科第22題·改編）如圖2，已知圓G：（x-2）2+y2=49是橢圓x216+y2=1的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓， 其中A為橢圓的左頂點.過點M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，證明：直線EF與圓G相切.

圖2

分析 設(shè)過點M0，1與圓（x-2）2+y2=49相切的直線方程為：y-1=kx， 則23=2k+11+k2，即32k2+36k+5=0解得k1=-9+4116，k2=-9-4116.

代入x216+y2=1得（16k2+1）x2+32kx=0，則異于零的解為x=-32k16k2+1.

設(shè)F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），則x1=-32k116k12+1，x2=-32k216k22+1.則直線FE的斜率為：kEF=k2x2-k1x1x2-x1=k1+k21-16k1k2=34，于是直線FE的方程為：

y+32k1216k12+1-1=34（x+32k116k12+1），即y=34x-73.則圓心（2，0）到直線FE的距離d=32-731+916=23，故結(jié)論成立.

評注 該題是典型的彭賽列閉合.積極研究往年經(jīng)典例題，并用于日常教學(xué)，不僅可以“與命題者對話”，在研究掌握通性通法的同時訓(xùn)練學(xué)生的計算毅力，還可以滲透數(shù)學(xué)文化、括展知識面，往前追溯，還可以在聯(lián)賽試題中找到類似考法.

例4（2008高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）點P是拋物線y2=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓x-12+y2=1內(nèi)切于ΔPBC，求ΔPBC面積的最小值.

圖3

分析 設(shè)Px0，y0，B0，b，C0，c，不妨設(shè)b>c，直線PB：y-b=y0-bx0x.

即y0-bx-x0y+x0b=0，又因為圓心B1，0到PB的距離1，即y0-b+x0by0-b2+x20=1，

故y0-b2+x20=y0-b2+2x0by0-b+x20b2，易知x0>2，化簡得x0-2b2+2y0b-x0=0，同理可得x0-2c2+2y0c-x0=0.

所以b+c=-2y0x0-2，bc=-x0x0-2，則b-c2=4x20+4y20-8x0x0-22，因為Px0，y0是拋物線上的點，所以y20=2x0，b-c2=4x20x0-22，即b-c=2x0x0-2.

所以SΔPBC=12b-cx0=x0x0-2x0=x0-2+4x0-2+4≥8，當且僅當x0=4時，SΔPBC取得最小值8.

點評 從以上例題的解答過程可以提煉出解析幾何最常用的解題思想方法：設(shè)點、設(shè)線、聯(lián)立、消元、設(shè)而不求，仍然是圓錐曲線解題的主旋律;以點斜式、點線距離公式、線圓相切等知識為載體，通過運算求解、方程變形，得到“同構(gòu)”二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找到解題突破口.

四、教學(xué)啟示

隨著新課程、新教材、新高考的逐步推進，圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實的全國卷數(shù)學(xué)試題已然引領(lǐng)著新時期的數(shù)學(xué)教學(xué)改革.基于2021年新課標Ⅲ卷數(shù)學(xué)第21題解析幾何試題的全面闡述，在解析幾何教學(xué)中需要關(guān)注的的幾個方面有：

1.貫徹解析幾何基本思想方法，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì).解析幾何其核心思想就是運用代數(shù)的方法研究幾何問題，故而其關(guān)鍵要處理的是幾何問題.因此在解析幾何實踐教學(xué)中要注重幾何關(guān)系的分析，厘清復(fù)雜曲線中的幾何關(guān)系，尤其是直線與曲線的常見位置關(guān)系（相切、平行、垂直）的代數(shù)等價形式，其基本處理方法是“設(shè)而不求”和“設(shè)且求”.

2.滲透類比探究思想，強化思維訓(xùn)練，提升運算素養(yǎng).解析幾何內(nèi)容，尤其是有心二次曲線的性質(zhì)常常都具有極其類似的結(jié)論，因而在引導(dǎo)學(xué)生進行自主探究活動中始終樹立類比推理的意識，充分挖掘出與已知知識相鄰的“知識圈”.在探究推理過程中遵循特殊到一般原則，狠抓學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和創(chuàng)新思維.

3.關(guān)注學(xué)科知識間的融合，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力. 2021年新課標Ⅲ卷數(shù)學(xué)第21題第（2）問考查學(xué)生在開放的情境中發(fā)現(xiàn)主要矛盾的能力，結(jié)合特殊值的思想與彭賽列閉合定理理論支撐，能夠明晰問題結(jié)論，指引推理方向.因此在解析幾何的教學(xué)中需要適當關(guān)注數(shù)學(xué)文化，融合不等式、導(dǎo)數(shù)等學(xué)科知識.

解析幾何問題，不僅僅是運算問題，更是思維問題.“多考一點想，少考一點算”新高考理念下的解析幾何問題，設(shè)問開放，教學(xué)的核心始終圍繞基本思想方法才是解決問題的關(guān)鍵.

參考文獻：

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[2]郝志剛.一道高考壓軸題探源[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2009（19）：20.

[3]梅向明等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，2008（4）.

[責任編輯：李 璟]