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    一道橢圓方程題的求解思考

    2021-05-30 14:59:28曹曉琰
    數(shù)理化解題研究·高中版 2021年12期
    關(guān)鍵詞:解三角形平面向量橢圓

    摘 要:橢圓經(jīng)常出現(xiàn)在歷年高考數(shù)學(xué)試卷的選擇題或填空題中,借助橢圓的相關(guān)知識(shí)與其他知識(shí)加以交匯融合,破解時(shí)可以從平面解析幾何自身角度出發(fā),也可以借助平面向量、解三角形等相關(guān)工具,合理引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

    關(guān)鍵詞:橢圓;平面向量;解三角形;焦半徑;方程

    中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)34-0002-02

    收稿日期:2021-09-05

    作者簡(jiǎn)介:曹曉琰(1981.8-),女,江蘇省南通人,碩士,中學(xué)一級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    一、問(wèn)題呈現(xiàn)

    問(wèn)題 在橢圓C:

    x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓C的左、右焦點(diǎn),

    圖1

    且焦距為23,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn),|OP|=24a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

    二、問(wèn)題分析

    要求解橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,就是確定參數(shù)a,b,c的值,而根據(jù)題目條件,可以建立起已知的關(guān)系式c=3,a2=b2+c2,那么只需要再找到一個(gè)關(guān)于參數(shù)a,b,c的關(guān)系式即可達(dá)到破解的目的.而根據(jù)題目中的條件,還可以得到相關(guān)的信息:|OP|=24a,|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12,|PF1|+|PF2|=2a,如何整合這三個(gè)相關(guān)信息而轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,從而得以巧妙轉(zhuǎn)化與破解.這就需要我們從已知條件入手,運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí),從不同的破解方向入手,通過(guò)知識(shí)間的靈活遷移,加以巧妙變形,靈活運(yùn)用,整體代入.

    三、破解方向

    解法1 (平面向量的線性運(yùn)算法)

    由題可知PO為線段F1F2的中線,則有

    PF1+PF2=2PO,

    上式兩邊平方,可得|PF1|2+|PF2|2+2PF1·PF2=4PO2=12a2,

    則有|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=12a2,

    而結(jié)合余弦定理可得cos∠F1PF2=

    |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|,

    代入上式有|PF1|2+|PF2|2+(|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2)=12a2,

    整理可得2(|PF1|2+|PF2|2)-|F1F2|2=

    12a2,由題知c=3,則有|F1F2|2=4c2=12.

    又結(jié)合|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12,

    利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a,

    可得|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24,

    則有2(4a2-24)-12=12a2,解得a2=8,則b2=a2-c2=5,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

    解法2 (平面向量的極化恒等式法)

    由題知c=3,又由題可知PO為線段F1F2的中線,結(jié)合平面向量的極化恒等式可得4PF1·PF2=(PF1+PF2)2-(PF1-PF2)2,

    整理,得PF1·PF2=

    PO2-OF21=18a2-c2=18a2-3.

    結(jié)合余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|,那么

    PF1·PF2=

    |PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=12(|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2)=18a2-3.

    又由于|F1F2|2=4c2=12,又結(jié)合|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12,利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a,

    可得|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4a2-24,

    則有12(4a2-24-12)=18a2-3,解得a2=8,則b2=a2-c2=5,

    所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

    點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件可知PO為線段F1F2的中線,而與中線密切聯(lián)系的就是平面向量知識(shí),借助平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積等,就可以非常有效地構(gòu)建起與中線有關(guān)的關(guān)系式,從而得以巧妙破解.

    解法3 (同角的余弦值相等法)

    由題知c=3,|F1F2|2=4c2=12.在△PF1F2中,結(jié)合余弦定理,得cos∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1F2|,

    在△PF1O中,結(jié)合余弦定理可得cos∠PF1O=

    |PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|,

    根據(jù)同角的余弦值相等,可得

    |PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1O|=

    |PF1|2+|F1O|2-|PO|22|PF1|·|F1O|,整理,得|PF1|2+|PF2|2=

    14a2+6.

    又結(jié)合|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12,

    利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a,

    可得|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-

    2|PF1|·|PF2|=4a2-24,

    則有4a2-24=14a2+6,解得a2=8,則b2=a2-c2=5,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

    解法4 (互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)法)

    由題知c=3,|F1F2|2=4c2=12.

    在△POF1中,結(jié)合余弦定理,得cos∠POF1=

    |PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|,

    在△POF2中,結(jié)合余弦定理可得cos∠POF2=

    |PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|,

    根據(jù)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù),可得

    |PO|2+|OF1|2-|PF1|22|PO|·|OF1|+|PO|2+|OF2|2-|PF2|22|PO|·|OF2|=0,

    整理,得|PF1|2+|PF2|2=14a2+6.又結(jié)合|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12,

    利用橢圓的定義有|PF1|+|PF2|=2a,

    可得|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4a2-24,

    則4a2-24=14a2+6,解得a2=8,則b2=a2-c2=5,

    所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y25=1.

    點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件可知PO為線段F1F2的中線,把問(wèn)題放在△PF1F2中來(lái)處理,其實(shí)質(zhì)就是解三角形問(wèn)題,借助三角形的性質(zhì),通過(guò)三邊以及中線PO的條件,可以利用在兩個(gè)不同三角形中同角的余弦值相等,或是兩個(gè)不同三角形中互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)來(lái)建立有關(guān)的關(guān)系式,從而得以巧妙破解.

    解法5 (焦半徑公式法)

    圖2

    如圖2所示,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H,設(shè)P(x0,y0),在△PHO中,|PH|2+|OH|2=|OP|2,即x20+y20=18a2.①

    由題知c=3,|F1F2|2=4c2=12.

    又結(jié)合|PF1|,|F1F2|,|PF2|.成等比數(shù)列,可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12,根據(jù)焦半徑公式可得(a+ex0)·(a-ex0)=12,即a2-e2x20=12,亦即a2-3a2x20=12.②

    而點(diǎn)P在橢圓C上,可得

    x20a2+y20a2-3=1.③

    由①②③,解得a2=8,則b2=a2-c2=5,

    所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

    x28+y25=1.

    點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件可知PO為線段F1F2的中線,又由

    |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,可得|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=12,涉及|PF1|與|PF2|的長(zhǎng)度問(wèn)題,可以考慮利用橢圓的幾何性質(zhì),結(jié)合焦半徑公式(|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0)加以轉(zhuǎn)化,再結(jié)合題目相關(guān)條件建立有關(guān)的關(guān)系式,從而得以巧妙破解.

    其實(shí),在實(shí)際求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,一定要充分抓住橢圓的幾何性質(zhì),根據(jù)具體情況選取比較合適的求解方法加以處理,有時(shí)也結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)、平面幾何性質(zhì)、平面向量、三角函數(shù)、解三角形、直線與圓等相關(guān)知識(shí)加以融合與交匯,利用相交知識(shí)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來(lái)綜合處理相應(yīng)的方程問(wèn)題.

    參考文獻(xiàn):[1]李雪航.淺析橢圓方程的多種解法[J].數(shù)理化解題研究,2017(13):50.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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