多思會(huì)算 不畏困難

摘 要：解析幾何中學(xué)生怕算，不愿意算導(dǎo)致幾何題得分率低，多算會(huì)思帶目標(biāo)進(jìn)行綜合運(yùn)算有利于學(xué)生更好學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：多思會(huì)算;減少運(yùn)算;盡量少算;防止漏算

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0025-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：戴德文（1972.11-），安徽省含山人，在職研究生，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何，但是用代數(shù)方法處理解析幾何題有時(shí)運(yùn)算量比較大.高中學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力普遍不太好，學(xué)生不想算，特別是含有字母和式子比較多，只要在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)符號(hào)或者字母的次數(shù)以及式子等價(jià)變形等一點(diǎn)差錯(cuò)就導(dǎo)致整個(gè)題目出錯(cuò).教師在教學(xué)過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生盡可能多思會(huì)算，在處理過(guò)程中有時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生善于畫(huà)圖，觀察圖像從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以圖助思，有時(shí)也要根據(jù)題意在求解過(guò)程中及時(shí)調(diào)整運(yùn)算方向、追根溯源、優(yōu)化運(yùn)算，不斷提高自己的綜合思維和運(yùn)算求解能力.

一、整體把握，突破難點(diǎn)

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），點(diǎn)Px0，y0是橢圓C在x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，且△PF1F2的周長(zhǎng)為16.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)Q為ΔPF1F2的內(nèi)心，①當(dāng)x0=-3時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo);②求證：點(diǎn)Q在定橢圓上.

學(xué)生容易算出（1）橢圓C：x225+y216=1;圖1（2）①Q(mào)-95，65.對(duì)于②

直線PF1：y0x-（x0+3）y+3y0=0，直線PF2：y0x-（x0-3）y-3y0=0，則點(diǎn)Q到ΔPF1F2三邊距離相等，即

y0x-（x0+3）y+3y0x0+32+y20=y，y0x-（x0-3）y-3y0x0-32+y20=y，

由于點(diǎn)Q在直線PF1：y0x-（x0+3）y+3y0=0的右上方，又在直線PF2：y0x-（x0-3）y-3y0=0的左下方，根據(jù)我們所學(xué)的線性規(guī)劃知識(shí)，能夠判斷出一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，結(jié)合圖形（圖1）我們可以知道上面的為正，下面的為負(fù).所以

y0x-（x0+3）y+3y0=yx0+32+y20，

-y0x-（x0+3）y+3y0=yx0-32+y20，

根據(jù)橢圓焦半徑公式x0+32+y20=35x0+5，x0-32+y20=5-35x0，所以

y0x-（x0+3）+3y0=y35x0+5，

-y0x-（x0+3）+3y0=y5-35x，

兩式相加得y0=83y，兩式相減得x0=83x，代入橢圓C：x225+y216=1得到點(diǎn)Q在定橢圓x29+4y29=1上.對(duì)于直線PF1或PF2的斜率不存在時(shí)解出的點(diǎn)-95，65，95，65也滿足.

二、利用性質(zhì)，減少運(yùn)算

對(duì)于例題1根據(jù)圖2我們利用切線長(zhǎng)相等得到

PF1-PF2=PR+RF1-（|PS|+|SF2|）=F1T-F2T=（x+3）-（3-x）.

∵PF1=35x0+5，PF2=5-35x0，∴x0=53x.

圖2根據(jù)圖3我們利用內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到PF1F1M=PQQM，PF2F2M=PQQM，根據(jù)橢圓定義和合比性質(zhì)得到：QMPQ=F1M+F2MPF1+PF2=2c2a=ca=35.

從而可得y0=83y代入橢圓C：x225+y216=1得到點(diǎn)Q在定橢圓x29+4y29=1上.對(duì)于直線PF1或PF2的斜率不存在時(shí)解出的點(diǎn)-95，65，95，65也滿足.

圖3

本題減少運(yùn)算還可以這樣處理（參見(jiàn)圖2）設(shè)PR=PS=m，F(xiàn)1R=F1T=x+3，F(xiàn)2T=F2S=3-x，因?yàn)镻F1+PF2=2m+x+3+3-x=10，所以m=2.

因?yàn)镻F1=x+5，PF2=5-x，p=8，pp-PF1p-PF2p-F1F2=12×16y，化簡(jiǎn)整理得：x225+y216=1.

三、目標(biāo)明確，不怕運(yùn)算

例2 如圖（圖4）所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B與C，D 分別是橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a

圖4

c）的左、右頂點(diǎn)與上下頂點(diǎn).設(shè)P，Q是Γ上且位于第一象限的兩點(diǎn)，滿足OQ∥AP，M是線段AP的中點(diǎn)，射線OM與橢圓交于點(diǎn)R.

證明：線段OQ，OR，BC能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.證明1 設(shè)P（x0，y0）.由OQ∥AP，AP=OP-OA;OR∥OM，OM=12（OP+OA），所以存在λ，μ∈R，使得

OQ=λ（OP-OA），OR=μ（OP+OA）

進(jìn)而可得Q（λ（x0+a），λy0），R（μ（x0-a），μy0）.再由點(diǎn)Q，R都在橢圓Γ上，可得λ2[（x0+a）2a2+y20b2

]=

μ2[（x0-a）2a2+y20b2]=1，

再由x20a2+y20b2=1，可得

λ2（2+2x0a）=μ2（2-2x0a）=1

λ2=a2（a+x0），μ2=a2（a-x0）

因此|OQ|2+|OR|2=λ2[（x0+a）2+y20]+μ2[（x0-a）2+y20]

因此|OQ|2+|OR|2=λ2[（x0+a）2+y20]+μ2[（x0-a）2+y20]

=a2（a+x0）[（x0+a）2+y20]+a2（a-x0）[（x0-a）2+y20]

=a（a+x0）2+ay202（a+x0）+a（a-x0）2+ay202（a-x0）

=a2+ay202（1a+x0+1a-x0）=a2+ay202·2aa2-x20

=a2+a2·b2（1-x20a2）2·2aa2-x20

=a2+b2=|BC|2.

從而線段OQ，OR，BC能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

證明過(guò)程目標(biāo)明確，思路清楚，不畏困難，這種通性通法就是要求學(xué)生直面困難，逢山開(kāi)路遇水搭橋，一步一步往下算直到成功，不回避繁瑣的運(yùn)算，有利于學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算能力的提高.四、深度思考，盡量少算

對(duì)于例題2我們也可以換一個(gè)角度去思考，這對(duì)學(xué)生的要求較高，學(xué)生必須掌握好書(shū)中的閱讀材料，同時(shí)對(duì)放射變換的相關(guān)知識(shí)也應(yīng)該有所理解.

圖5

證明2：構(gòu)造一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為a的圓，如圖5滿足OQ∥AP，M是線段AP的中點(diǎn)，射線OM與圓O交于點(diǎn)R .設(shè)OQ與x軸所成的角為θ，則∠AOR=90°-θ.

作放射變換x′=xy′=bay

在圓中Q（acosθ，asinθ），R（-acos（90°-θ），asin（90°-θ））=

（-asinθ，acosθ），

經(jīng)過(guò)放射變換后得出：

Q′acosθ，asinθ·ba=acosθ，bsinθ，

R′=（-asinθ，acosθ·ba）=（-asinθ，bcosθ），

∴OQ′2+OR′2=a2cos2θ+b2sin2θ+（-asinθ）2+b2cos2θ=a2+b2=B′C′2.

所以線段OQ，OR，BC能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

證明2：主要是利用放射變換的性質(zhì)，通過(guò)放射變換橢圓順利變成了一個(gè)圓，放射變換過(guò)程中直線的平行關(guān)系保持不變，通過(guò)設(shè)θ角進(jìn)行運(yùn)算求解，利用圓中的幾何性質(zhì)垂直平分弦，從而得出結(jié)論.

五、思維嚴(yán)謹(jǐn)，防止漏算

例3 已知A（-1，0），B（5，0），圓M：（x-4）2+（y-m）2=4上存在唯一的點(diǎn)P使得直線PA，PB在y軸上的截距的乘積為5.求m的值.

解 設(shè)P（x0，y0），直線PA：y=y0x0+1（x+1），直線PB：y=y0x0-5（x-5）.

令x=0得：直線PA在y軸上的截距為y0x0+1，令x=0得：直線PB在y軸上的截距為5y05-x0，由已知得：y0x0+1·5y05-x0=5，則：x20+y20-4x0-5=0，學(xué)生容易想到點(diǎn)P的軌跡是圓，根據(jù)題意只要和圓M：（x-4）2+（y-m）2=4相切就可以了，若內(nèi)切，則4+m2=2-3，無(wú)解;若內(nèi)切4+m2=2+3，解得：m=±21.學(xué)生此時(shí)誤認(rèn)為該題已經(jīng)做完，導(dǎo)致答案不完整.其實(shí)當(dāng)兩圓相交時(shí)，其中一個(gè)點(diǎn)B（5，0）為兩個(gè)圓的交點(diǎn)也是滿足題意的，參見(jiàn)圖6.圖6

此時(shí)解得m=±3.綜上本題答案應(yīng)該是m=±21或m=±3.

六、先算數(shù)值，再推一般例4

已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l：y=2x+a與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).

（1）若a=-1，求△FAB的面積;

（2）已知圓M：x-32+y2=4，過(guò)點(diǎn)P（4，4）作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點(diǎn)D，E，求證：直線DE也圓M相切.解

（1）易知△FAB=32.

圖7

設(shè)過(guò)P點(diǎn)圓的切線方程為x=my-4+4，即 x=my+4-4m，因?yàn)橹本€PD，PE與圓M相切（圖7），所以

-3+4-4m1+m2=2，即 12m2-8m-3=0.

由韋達(dá)定理知：m1+m2=23m1m2=-14.

設(shè)D（x1，y1），再由x=my+4-4my2=4x

解得：x1=4m-12.

不妨設(shè)D4m1-12，4（m1-1），E（4（m2-1）2，4（m2-1）），

∴KDE=1m1+m2-2=-34.

所以DE的中點(diǎn)299，-83，直線DE的方程為y=-34x-14.

因?yàn)閳AM到直線DE的距離為d，則：d=-94-141+-342=2，

所以直線DE也圓M相切.

總之解析幾何要想學(xué)生在考試過(guò)程中得到較好的成績(jī)，在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多思會(huì)算，不畏困難，以圖助思，善于總結(jié)，在教學(xué)的實(shí)踐中不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì)，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：[1]黃富妹.高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題運(yùn)算量解決技巧探究[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2019（12）：18-19.

[責(zé)任編輯：李 璟]