立足課堂教學 落實核心素養(yǎng)

程晶

摘要：本文以“任意角的三角函數(shù)”一課為例，重點著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，立足課堂，讓概念教學符合學生的認知規(guī)律；以問題串的形式，激發(fā)學生的探求欲望，讓數(shù)學核心素養(yǎng)落到實處。

關鍵詞：課堂教學；核心素養(yǎng)；問題串；變式教學

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）01-0081

隨著高考制度的改革，新課程標準的制定，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)越來越受到重視。2019年11月，筆者在所屬教育集團骨干教師教學交流活動中，以《任意角的三角函數(shù)》一課為例，進行了課堂教學展示。本著以發(fā)展學生的數(shù)學學科素養(yǎng)為主要目的，教學過程中采用問題串的形式，在情境引入、概念生成、實例剖析等多個環(huán)節(jié)做了一些嘗試與反思。

一、教學分析1.教材分析

《任意角的三角函數(shù)》是2019人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊第五章“三角函數(shù)”第二節(jié)的內(nèi)容，同時本節(jié)課題變更為“三角函數(shù)的概念”。本節(jié)課是在學習了“任意角和弧度制”以及初中“銳角三角函數(shù)”之后的一節(jié)新授課。為學生后續(xù)學習同角三角函數(shù)公式、誘導公式以及利用單位圓研究三角函數(shù)的圖像及性質等起的過渡作用。

2.教學目標

（1）了解任意角的三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，體會三角函數(shù)定義產(chǎn)生的背景。

（2）借助單位圓抽象出任意角三角函數(shù)的定義，理解并掌握定義。（3）從任意角三角函數(shù)的定義認識其定義域、函數(shù)值的符號。（4）能初步運用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題。

3.教學重難點

（1）任意角三角函數(shù)的定義以及三種三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號。

（2）用單位圓上點的坐標刻畫三角函數(shù)以及三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)。

二、教學過程

1.以史引題，激發(fā)興趣

在教材的“閱讀與思考”中簡單介紹了三角學的起源，為了讓學生更加了解三角學的發(fā)展歷史，也為了激發(fā)學生的學習興趣，開課伊始向學生簡要講述三角學的起源及發(fā)展。

教師：同學們，你們知道嗎？三角學的起源可以追溯到古希臘時期，在當時三角學是天文學的一個計算工具。公元5世紀到12世紀，印度數(shù)學家為三角學做出了較大的貢獻，引進了“正弦”和“余弦”的概念。15世紀后，德國數(shù)學家雷格蒙塔努斯將三角學從天文學獨立出來，對三角學做出了完整、獨立的闡述。到了明朝崇禎年間，德國的傳教士鄧玉函和明代著名的科學家、政治家徐光啟等共同編寫了《大測》，這是我國第一部編譯的三角學著作。在《大測》中，首次將sinus譯為“正半弦”，簡稱“正弦”，這就是“正弦”一詞的由來。

設計意圖：《普通高中數(shù)學課程標準》強調(diào)：數(shù)學課堂教學要適當?shù)厝谌霐?shù)學文化。它不僅能起到育人的功能，而且還能提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。在本課教學中，教師講述三角學的起源及發(fā)展史，提高學生學習三角學的興趣。

學生：函數(shù)的概念。

教師：既然符合函數(shù)的概念，那么定義域和值域又是什么呢？

學生：定義域是角的大小組成的集合，值域是比值組成的集合。

設計意圖：通過討論，師生互動，并結合圖形，學生可以深刻地理解并體會到銳角的三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，并且隨著角的大小變化，會有相應的唯一的比值與之對應，學生得出結論。在這一過程中，教師從學生已有的認知出發(fā)，一步步引導學生思考，突破思維障礙，有效地提高了學生數(shù)形結合、直觀想象、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。

問題4：由于比值不會隨著點P的位置變化而發(fā)生改變，那么將點P選在什么位置會使三角函數(shù)的形式更加簡潔呢？

學生：（異口同聲）讓r等于1！

教師：非常好！我們把半徑為1的圓叫作單位圓。在第一節(jié)課中，我們已經(jīng)將角的范圍推廣到了任意角，那么對于任意一個角α，它的終邊與單位圓的交點P的坐標是唯一確定的嗎？

學生：是唯一確定的。

在這樣的問題引導過程中，讓學生體會從“任意角α”到“角α的終邊OP”再到“單位圓上點P的橫縱坐標x，y”之間的對應關系，從而使任意角的三角函數(shù)的概念自然生成。

問題5：根據(jù)三角函數(shù)的定義如何確定三角函數(shù)的定義域？

設計意圖：通過幾個問題的層層遞進，引導學生自主探究，符合學生的認知規(guī)律，并且容易接受和理解，進而抽象出在單位圓下任意角的三角函數(shù)的概念。這樣的設計既抓住了重點又突破了難點，而且還揭示了三角函數(shù)定義的本質特征。由三角函數(shù)定義可知，三角函數(shù)是一個比值，即一個實數(shù)，它的大小只與角α終邊的位置有關，即與角有關，與角α終邊上的點P的位置無關，而單位圓定義法體現(xiàn)了點P選擇的特殊性，也體現(xiàn)了數(shù)學中的簡潔之美。在三角函數(shù)概念的生成過程中，不斷提高了學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

3.循序漸進，以簡馭繁

教師點評：注意終邊的不同情況，進行分類討論。

設計意圖：在這個課堂教學環(huán)節(jié)中，主要通過三個例題和三個變式題，讓學生從任意角的三角函數(shù)的簡單應用出發(fā)，緊扣三角函數(shù)的定義，加深對于“終邊定義法”和“單位圓定義法”在不同已知條件下的應用理解，并通過對比分析，進一步確認其定義的合理性。在此過程中，不僅提高了學生分析問題和解決問題的能力，強化了數(shù)學中的數(shù)形結合以及分類討論的思想，同時進一步提升了學生的數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

4.順勢而為，發(fā)展思維

問題7：根據(jù)三角函數(shù)的定義能否確定正弦、余弦、正切值在四個象限內(nèi)的符號？

設計意圖：在學生理解并掌握了三角函數(shù)定義的基礎上，采用問題串的形式，繼續(xù)引導學生對知識進行探究思考。學生不僅掌握了三角函數(shù)在四個象限的符號及特殊角的三角函數(shù)值，而且發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)的“周期性”這一本質屬性，從而推導出公式一。

三、課后感悟與反思

1.《課標》指出：基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應該把握數(shù)學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

本節(jié)課，在創(chuàng)設情境上，首先介紹三角學的發(fā)展歷史吸引學生，激發(fā)學生對三角函數(shù)的探索興趣；然后以初中學過的銳角三角函數(shù)的舊知來創(chuàng)設情境，引出教學內(nèi)容。這樣做可以讓學生溫故知新的同時，感覺到新知的難度降低，讓學生感受到數(shù)學知識之間的“整體性”；再以一系列具有引導性和探究性的問題作為“支架”，讓學生置身于“問題解決”的情境中，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，促發(fā)學習動機，激起數(shù)學思考。并于學生思維活躍狀態(tài)下進行揭示、釋疑和小結，在收到良好的教學效果的同時，學生的數(shù)學素養(yǎng)也得到了很大提升。

2.數(shù)學概念是數(shù)學知識的基礎，也是數(shù)學教學中的重點。在概念教學中，要引導學生對概念的發(fā)生、概括過程的理解。

本節(jié)課在進行任意角的三角函數(shù)的概念教學時，采用一系列啟發(fā)遞進式“問題串”的形式，一步步引導學生對任意角三角函數(shù)的探索。這符合學生的認知規(guī)律，貼近學生的最近思維發(fā)展區(qū)，讓學生既不感覺陌生又很有欲望去探求新知，驅動學生積極思考并參與課堂。

3.本節(jié)課，在對任意角的三角函數(shù)概念進行理解應用的過程中，采用了例題及變式的方式進行教學。所謂“變式”教學，是指教師對已知命題在保留好對象的本質因素上對題目的條件、結論或形式做一定的改變，使學生一層一層掌握研究對象的本質屬性。變式教學充分調(diào)動學生的積極性，學生在變式訓練中，思維的靈活性也進一步增強。

四、結束語

總之，數(shù)學教學要遵循學生的認知規(guī)律，以數(shù)學思維邏輯為中心，精心設計數(shù)學問題串，引導學生感知概念的發(fā)生、概括與理解的過程，促進學生積極思維。讓學生在數(shù)學知識的獲得與數(shù)學能力培養(yǎng)過程中，數(shù)學核心素養(yǎng)也得到發(fā)展。

參考文獻：

[1]高中數(shù)學新課標案例解讀[S].北京：北京師范大學出版社，2020.

[2]邢星.基于模塊單元下的教學設計——以《三角函數(shù)的概念》為例[J].中學數(shù)學，2020（3）.

[3]李國富.發(fā)展高中數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學實踐與思考——以任意角的三角函數(shù)為例[J].中學數(shù)學，2019（6）.

[4]倪帥.情境教學在初中數(shù)學課堂中的探索與實踐[J].中學教研，2019（9）.

（作者單位：浙江省杭州第四中學320018）