孫小康 肖政國
【摘要】數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)歷史的沉淀,為合理運用數(shù)學(xué)文化巧妙設(shè)計數(shù)學(xué)概念教學(xué),突破數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重難點,構(gòu)建一種數(shù)學(xué)文化型的概念教學(xué)模式,本文首先給出了兩個重要極限的發(fā)展歷史以及相關(guān)模型,隨之給出了擬共形映射的定義.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化;概念教學(xué);共形映射
一、引言
廣義數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)對其他學(xué)科的影響和促成、數(shù)學(xué)與各種文化的相互關(guān)系等.數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)的重要組成部分,是數(shù)學(xué)歷史的沉淀,如果將數(shù)學(xué)文化當(dāng)作道,教師合理運用其巧妙設(shè)計數(shù)學(xué)概念教學(xué),選擇具有代表性的數(shù)學(xué)概念發(fā)展史作為教學(xué)設(shè)計的素材,并貫穿于整個教學(xué)過程,再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程, 構(gòu)建一種數(shù)學(xué)文化型的概念教學(xué)模式,那么學(xué)生就能夠從中感知歷史,體會概念本質(zhì).
二、兩個重要的極限
極限思想方法是微積分的基礎(chǔ),是高等數(shù)學(xué)中最基本的工具,是貫穿高等數(shù)學(xué)課程的基本數(shù)學(xué)思想方法. 劉徽割圓術(shù):“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”半徑為 1 的圓內(nèi)接正三角形周長為6sinπ3.半徑為 1 的圓內(nèi)接正四邊形周長為:8sinπ4.半徑為 1 的圓內(nèi)接正n 邊形周長為:2nsinπn.當(dāng) n 趨向于無窮大的時候,半徑為 1 的圓內(nèi)接正n 邊形周長用極限的符號表示為:limn→∞2nsinπn=2π,變形得到limx→0sin xx=1.極限的符號是英文的,古人不懂得使用ε-δ 語言,極限思想用文言文描述非常直觀.一般教材是簡單介紹極限的歷史,并沒有直接給出limx→0sin xx=1,而是先講極限的ε-δ 語言定義,接下來才講兩個重要的極限.極限的ε-δ定義往往使學(xué)生畏懼,因此教師在教學(xué)中要讓學(xué)生先了解極限思想的發(fā)展歷史,拓展其數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識,這有利于大學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的原貌,使極限概念生動易懂,學(xué)生能從中得到有益的啟發(fā),從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.
突出案例教學(xué),化解高等數(shù)學(xué)知識難點.“一尺之棰,日截其半,萬世不竭.”或把時間比喻為尺子.假定有一家銀行,它允許進(jìn)行復(fù)利的存款,而其年利率為1=100100,假如辦理定期存款一年,往賬號存 1 元,按照單利計算,一年后本息和為 2 元.假如定期一年時間太長,改為半年定期存款.年利率不變?yōu)?1,本金為1.半年之后再將本息和繼續(xù)存半年,則最終的本息和為(1+0.5)(1+0.5)=2.25.似乎比定期一年的利息高出許多.如果不斷縮小周期,改為一個季度為期,分四次存取.按復(fù)利計算,一年后的本利和為1+144=2.44140625.如果在一年中,以一天為期,按復(fù)利計算.到年終時,所獲得的本利和應(yīng)該為1+1365365=2.714567482….現(xiàn)在作為一個數(shù)學(xué)問題,而不考慮實際的可能性.設(shè)本金仍為 1,到年終時的本利和則應(yīng)為1+1nn,其中n=1,2,3,…,如果令n 趨于無窮,則年終時,效益會是無窮大嗎?回答是否定的.另一方面,存取次數(shù)越多,按復(fù)利計算的本利和就越大.因此,其極限便是最大可能的本利和.雅各布·伯努利證明了這個復(fù)利的存在.很多年之后,歐拉在研究自然對數(shù)時,遇到了這個極限,并給它取了一個名字:e=limn→∞1+1nn=1+11!+12!+…+1n!+….
三、微分的定義推廣到復(fù)數(shù)域
從教學(xué)思路來看,數(shù)學(xué)文化的滲透常常有顯性和隱性兩種.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)故事常常是數(shù)學(xué)文化的顯性依附,在課堂上引入諸多數(shù)學(xué)文化事例或者故事,通過顯性的數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)激活學(xué)生的思維,吸引學(xué)生的注意力.將數(shù)學(xué)文化發(fā)展的歷史主線隱性地作為課堂上學(xué)生思維的主要思路,隱性的數(shù)學(xué)文化作用則在于讓學(xué)生的思維沿著數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)思路去解決問題,學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的隱性影響中獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.課堂教學(xué)容易過于重視顯性的文化存在而忽視隱性的數(shù)學(xué)文化的精髓.
令w(z)=limn→∞1+znn,下面來證明這個極限對于任意z∈C的存在性.為此令:z=x+iy,并注意到,由冪的提升規(guī)律有:
1+znn=1+2xn+x2+y2n2n2,
arg1+znn=narctanyn1+xn,
由此看出,存在limn→∞1+znn=ex,limn→∞arg1+znn=y,這意味著極限w(z)=limn→∞1+znn對于任意z∈C存在,并且可以寫成極坐標(biāo)形式:w(z)=ex(cos y+isin y),w(z)=eRe z,
arg w(z)=Im z,令x=0,有w(iy)=cos y+isin y,符號eiy作w(iy)=cos y+isin y的一個簡略的記號來使用,便得到歐拉公式:eiy=cos y+isin y=limn→∞1+iynn.可以理解它為數(shù)e=limn→∞1+1nn=2.718的虛冪.將eiy=cos y+isin y 中 的 y 取作π就得到:eiπ+1=0,這個恒等式將數(shù)學(xué)中兩個超越數(shù):自然對數(shù)的底e、圓周率π,兩個單位:虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位 1,以及數(shù)學(xué)里常見的 0這幾個數(shù)簡潔地聯(lián)系了起來.歐拉公式給出了向量的乘法運算法則,微積分從實數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域也就成為可能了.
設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)某鄰域U(P0)內(nèi)有定義,對于U(P0)中的點P(x,y)=(x0+Δx,y0+Δy),若函數(shù)f在點P0處的全增量表示為
Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)=AΔx+BΔy+ο(ρ),
其中A,B是僅與點P0處有關(guān)的常數(shù),ρ=(Δx)2+(Δy)2,ο(ρ)是較ρ高階的無窮小量,則稱函數(shù)f在點P0處可微.
二元實值函數(shù)的可微定義推廣到復(fù)值函數(shù):f(z)在點z0=x0+iy0的一個鄰域D內(nèi)有定義,如果存在兩個常數(shù)a與b使
f(x0+Δx+i(y0+Δy))-f(x0+iy0)=aΔx+bΔy+ο(ρ) (ρ→0),
其中ρ=(Δx)2+(Δy)2,則稱f(x+iy)在點x0+y0i關(guān)于(x,y)可微.這個定義實際上就是將關(guān)于二元實值函數(shù)的可微性定義推廣到復(fù)值函數(shù).稱為R-可微.
四、擬共形映射的定義
命題:設(shè)f(z)在點z0=x0+iy0的一個領(lǐng)域D內(nèi)有定義,且f(x+iy)在點z0處關(guān)于(x,y)可微,則存在兩個復(fù)數(shù)A與B,使:
f(z)=f(z0)+A(z-z0)+B(z--z0-)+ο(z-z0),(z→z0).
其中A=12fx-ifyz0,B=12fx+ifyz0.
引入兩個純形式記號fz=12fx-ify,
fz-=12fx+ify為f(z)的形式偏導(dǎo)數(shù).
f(z)=f(z0)+fzz0(z-z0)+fz-z0(z--z0-)+ο(z-z0),
Δf=df+ο(Δz),(Δz→0).其中:Δz=z-z0,Δf=f(z0+Δz)-f(z0),df=fzz0Δz+fz-z0Δz .
R-可微函數(shù)的微分公式為df=fzdz+fz-dz-,C-可微是在R-可微函數(shù)中附加了條件fz-=0分離出來的. 二元實值函數(shù)的可微定義推廣到復(fù)值函數(shù).函數(shù)f(z)=u+iv在z為R-可微性是指u和v作為兩個實變量x和y的函數(shù)在該點具有通常的微分,從本質(zhì)上說這并沒有引進(jìn)在分析中的任何新概念,C-可微性的概念才是新的.
通常的解析函數(shù)是C-可微的, 它的實部與虛部都是二元實函數(shù),而且滿足柯西-黎曼條件,由它們構(gòu)成的曲線族u(x,y)=c和v(x,y)=c是正交的.導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實現(xiàn)的映射是共形映射,共形映射具有保角性和伸縮率不變性,擬共形映射是共形映射的推廣.
設(shè)f是區(qū)域D到D′的同胚,即雙方單值且連續(xù)的映射,并假設(shè)它在點z0∈D處作為實變量(x,y)的函數(shù)可微,則這個映射在z0附近的一階近似是一個線性變換:
z→w(z)=f(z0)+zf(z0)(z-z0)+z-f(z0)(z--z0-).
定義:設(shè)f是區(qū)域D到D′的C1類同胚映射,且在D內(nèi)處處滿足下列條件:(i)z-f(z) (ii)zf(z)+z-f(z)zf(z)-z-f(z)≤K,其中K是一個大于1或等于1的常數(shù). 則稱f為D內(nèi)的一個經(jīng)典擬共形映射,或C1類擬共形映射. 五、結(jié)束語 數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識,掌握數(shù)學(xué)思想就是掌握數(shù)學(xué)的精髓.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想為核心,而不僅僅以學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識為目的,數(shù)學(xué)教學(xué)中,與知識相比,數(shù)學(xué)思想是核心和靈魂.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中,在教教材顯性知識的同時,要挖掘出其后的隱性知識,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并欣賞數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)思想及其內(nèi)涵,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.數(shù)學(xué)教材中蘊涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法,而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般過于注重概念的敘述與應(yīng)用,要求學(xué)生熟記概念,再通過重復(fù)練習(xí)鞏固概念,基本上按照“概念+練習(xí)”的教學(xué)模式進(jìn)行.如何提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果呢?借數(shù)學(xué)文化之道行概念教學(xué)之術(shù)是一個可行之策.道即事物發(fā)展的規(guī)律,術(shù)即做事的策略、方法及技巧.道是術(shù)的基礎(chǔ),術(shù)是道的表現(xiàn).借數(shù)學(xué)文化之道再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展及運用的過程,使教之遵道有術(shù),學(xué)之明道懂術(shù),從而達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的. 【參考文獻(xiàn)】 [1] Ahlfors L. V.復(fù)分析[M].趙志勇,薛運華,楊旭,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005. [2]石辛民,翁智.復(fù)變函數(shù)及其應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012. [3]張奠宙. 微積分教學(xué):從冰冷的美麗到火熱的思考[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006(02):2-4.