幾何直觀：小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的助力器

陳瑛 傅佳俊

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》將“幾何直觀”作為新增的四個(gè)核心概念之一.學(xué)生正確理解幾何直觀的意義與價(jià)值，有利于教師在教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀，有利于學(xué)生從幾何直觀角度探究數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題.幾何直觀運(yùn)用在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)策略有：以形釋數(shù)，抽象概念直觀表征策略;以形探理，理解算理直觀再現(xiàn)策略;以形輔數(shù)，解決問題直觀促思策略; 潤數(shù)于形，梳理知識(shí)直觀構(gòu)建策略.

【關(guān)鍵詞】幾何直觀;小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)用策略

教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“幾何直觀”開展教學(xué)，符合小學(xué)生直觀思維發(fā)達(dá)、抽象思維較弱的特點(diǎn)，借助幾何直觀的運(yùn)用策略，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，使學(xué)生積極主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)抽象知識(shí)的學(xué)習(xí).在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中運(yùn)用幾何直觀，

充分發(fā)揮了幾何直觀對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的助推作用

，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更全面、深刻，有助于促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展.

一、幾何直觀的意義與價(jià)值

什么是幾何直觀？幾何直觀是把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成圖形的一種學(xué)習(xí)方式，在幾何直觀輔助下，學(xué)生可以借助圖形高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式的理解.基于幾何直觀對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用，教師在開展“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)時(shí)，要把抽象的數(shù)學(xué)語言和幾何圖形結(jié)合起來，讓學(xué)生在直觀圖形的引導(dǎo)下理解知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，順利完成學(xué)習(xí)內(nèi)容.因此，幾何直觀是創(chuàng)新教學(xué)中的一種重要教學(xué)方式和學(xué)生自主學(xué)習(xí)運(yùn)用的重要思想方法

，不管是對(duì)教師的教學(xué)，還是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)都有極為重要的推動(dòng)作用.

二、“幾何直觀”在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域教學(xué)運(yùn)用策略

“幾何直觀”是新課標(biāo)中新增的核心概念之一.

在教學(xué)過程中，

運(yùn)用“幾何直觀”可以讓學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和圖形結(jié)合起來，學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的思想.

在學(xué)習(xí)過程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“幾何直觀”的能力，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中能運(yùn)用幾何直觀思想來分析所學(xué)的知識(shí)，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域均有不同程度地滲透，本文重點(diǎn)闡述其在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的運(yùn)用，明確“幾何直觀”在教學(xué)活動(dòng)中的促進(jìn)作用.筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，作了如下嘗試.

（一）以形釋數(shù)——抽象概念直觀表征策略

小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，經(jīng)常采用直觀思維來理解教材內(nèi)容.在學(xué)習(xí)過程中，他們抽象思維較弱，很難理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí).針對(duì)小學(xué)生的思維發(fā)展情況，在開展教學(xué)時(shí)，教師借助圖形來引導(dǎo)學(xué)生的思維，可以獲得較好的學(xué)習(xí)效果，使他們?cè)趫D形的輔助作用下理解抽象的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)公式，降低他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中的挫敗感，從而在圖形與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合的過程中掌握所學(xué)知識(shí)，并能靈活運(yùn)用.

【案例1】 “最大公因數(shù)”教學(xué)片段

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，教師普遍采用的是在黑板上書寫兩個(gè)自然數(shù)，然后讓學(xué)生找出這兩個(gè)自然數(shù)各自的因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，從而揭示公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念.這樣的教學(xué)方式中學(xué)生是被動(dòng)學(xué)習(xí)，只是淺嘗輒止，并未真正建構(gòu)知識(shí)體系，對(duì)如何求最大公因數(shù)一知半解，隨機(jī)變換自然數(shù)后就會(huì)遇到問題.把“幾何直觀”運(yùn)用到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在將教學(xué)內(nèi)容重新整合后，利用數(shù)與形之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)產(chǎn)生的角度分析，從而掌握公因數(shù)和最大公因數(shù)的關(guān)系和求法.

教師出示問題：長方形紙片長18厘米，寬12厘米.要把這個(gè)紙片分割成同樣大小的正方形，并且沒有剩余，正方形的邊長可以是多少厘米？

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題目大膽地猜測，想一想正方形的邊長可以是多少厘米？你能通過操作來驗(yàn)證猜測結(jié)果嗎？

生：我猜測正方形的邊長可以是1厘米.

師：你怎樣來驗(yàn)證？

生：用邊長1厘米的正方形來擺一擺.長18厘米可以擺18個(gè)，寬12厘米可以擺12個(gè).

教師根據(jù)學(xué)生的說法進(jìn)行課件演示：邊長是1厘米的正方形可以把這個(gè)長方形擺滿，并且沒有剩余.

師：邊長為1厘米正方形完全符合條件，還有沒有其他分割的方法呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試用邊長為2厘米、3厘米、4厘米的正方形來進(jìn)行分割，并驗(yàn)證，同時(shí)相互交流鋪擺的情況.

師：不計(jì)算，你是不是可以推斷出能否擺滿？

課件分別呈現(xiàn)用邊長2、3、4厘米的鋪擺的情況和思考過程.

師：你能嘗試用邊長為5厘米、6厘米、7厘米的正方形進(jìn)行分割，并鋪擺在要分割的這個(gè)長方形上嗎？請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)鋪擺情況進(jìn)行判斷……

小結(jié)歸納：通過同學(xué)們的實(shí)際操作和教師的課件演示，得出用邊長為1厘米、2厘米、3厘米和6厘米的正方形可以將長方形完全分割，并且沒有剩余，而用邊長是4厘米、5厘米或7厘米的正方形分割，就有剩余了.

師：1、2、3、6與18、12有什么關(guān)系呢？

生：這些數(shù)都18的因數(shù)，也是12的因數(shù).只要是18和12都有的因數(shù)就一定可以擺滿，而且沒有剩余.

學(xué)生說得太棒了，教師在學(xué)生的回答的基礎(chǔ)上用韋恩圖揭示公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義.

這樣的教學(xué)方式不同于傳統(tǒng)“最大公因數(shù)”的教學(xué).在只講解抽象的數(shù)概念的情況下，學(xué)生學(xué)習(xí)公因數(shù)與最大公因數(shù)都是只限于表層意義的理解;而結(jié)合“幾何直觀”進(jìn)行學(xué)習(xí)，教師能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，引導(dǎo)他們?cè)诜治鰡栴}時(shí)先大膽猜測，然后借助操作活動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證，在直觀操作過程中獲得最大公因數(shù)的深刻認(rèn)知.學(xué)生的抽象思維得到了發(fā)展，并進(jìn)一步理解了最大公因數(shù)的意義和求法.在幾何直觀的作用下，學(xué)生初步具備了數(shù)形結(jié)合的思想，產(chǎn)生了運(yùn)用幾何直觀分析數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，提升了運(yùn)用幾何直觀的能力.

（二）以形探理——理解算理直觀再現(xiàn)策略

理解算理是學(xué)生掌握算法、提高計(jì)算能力的重要環(huán)節(jié).在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，教師只注重計(jì)算方法的教學(xué)，而忽略了算理的教學(xué).學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中由于思維能力的限制不能通過自主分析掌握算理，只能死記硬背同一類型計(jì)算題目的計(jì)算方法，以致出現(xiàn)只知解法和不知算理的情況，只要算式稍微進(jìn)行變化，就會(huì)不知所措.因此掌握算理是提高學(xué)生計(jì)算能力、激發(fā)學(xué)生計(jì)算興趣的重要前提.在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以運(yùn)用“幾何直觀”來引導(dǎo)學(xué)生的思維，讓學(xué)生通過直觀的方式理解知識(shí)，掌握知識(shí)的本質(zhì).

【案例2】 “分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”教學(xué)片段

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，那么像這樣的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)你會(huì)計(jì)算嗎？板書：25×13.

生：會(huì).分子乘分子，分母乘分母.

師：沒錯(cuò)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)你們都已經(jīng)會(huì)了，那你們知道分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)為什么要這樣計(jì)算嗎？

大部分學(xué)生都不知道答案.

師：我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，不僅要掌握計(jì)算方法，還要理解為什么要這樣算.這就是我們今天課上探索的重要內(nèi)容.我們可以通過畫圖進(jìn)行理解.

教師讓學(xué)生自己說一個(gè)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算式，先計(jì)算出結(jié)果，再通過畫圖進(jìn)行驗(yàn)證.經(jīng)過自主思考和畫圖探究，有學(xué)生舉手提問.

生：老師，我寫的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算式是25×9899，我不知道怎么畫圖來驗(yàn)證？

師：這兩個(gè)分?jǐn)?shù)你能用畫圖表示嗎？

生：可以，25用畫圖表示很簡單，而9899就有點(diǎn)麻煩了，需要畫的太多了.

師：在驗(yàn)證時(shí)，我們可以不畫在紙上，而是通過想象來進(jìn)行驗(yàn)證.首先在腦海中想象出25×9899的圖，然后進(jìn)行驗(yàn)證.對(duì)于23×45和21100×910這類式子，我們就可以用這種想象的方法畫圖和計(jì)算.

師：現(xiàn)在，同學(xué)們能領(lǐng)悟到分子乘分子，分母乘分母的道理了嗎？

生：畫圖表示乘法ba×dc，（在黑板上邊畫圖邊說明）先把長方形平均分成a行，取其中的b行涂上顏色，表示ba，再把涂色部分平均分成c列，取其中的d列涂上顏色，表示dc，這時(shí)長方形就被平均分成了a行c列，所以a×c就是結(jié)果的分母; 涂色部分是b行d列，所以b×d就是結(jié)果的分子.

運(yùn)用“幾何直觀”的思想來分析分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理和意義.當(dāng)教師追問：“為什么分子乘分子作為積的分子，分母乘分母作為積的分母？”時(shí)，我們欣喜地看到，學(xué)生一次次的嘗試畫圖，先分再取，后又分再取，將抽象的算理逐漸直觀化、形象化地體現(xiàn)出來.在學(xué)習(xí)中運(yùn)用“幾何直觀”，學(xué)生能夠從中提煉算法，把抽象的問題簡單化，真正提高自身的運(yùn)算能力.

（三）潤數(shù)于形——梳理知識(shí)直觀構(gòu)建策略

在課堂小結(jié)或單元復(fù)習(xí)整理時(shí)，幫助學(xué)生理清知識(shí)之間的聯(lián)系是教師的教學(xué)目標(biāo)之一.在日常的教學(xué)中，老師們對(duì)新授課的研究較多而對(duì)復(fù)習(xí)課或練習(xí)課的關(guān)注很少.如果教師賦予復(fù)習(xí)課一條主線，借助“幾何直觀”幫助學(xué)生梳理知識(shí)、構(gòu)建知識(shí)框架可以更好地完成教學(xué)目標(biāo).通過“幾何直觀”帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)，可以讓學(xué)生把學(xué)過的知識(shí)用圖形的方式聯(lián)系起來，從而完善知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)高效的復(fù)習(xí)效率.

【案例3】 “運(yùn)算定律與簡便計(jì)算單元復(fù)習(xí)”教學(xué)片段

師：課件展示：一個(gè)長25厘米，寬12厘米的長方形看到這個(gè)長方形，你能想到什么問題？

生：求這個(gè)長方形的周長，還能求它的面積.

師：你能計(jì)算這個(gè)長方形的面積嗎？如何列式？

生：12×25，也可以是25×12.

課件呈現(xiàn)：12×25 25×12

師：這兩個(gè)算式之間有什么聯(lián)系？

生：12×25=25×12 師跟進(jìn)：你是怎么想到的？

生：它運(yùn)用了乘法交換律.

根據(jù)學(xué)生的回答，老師整理板書：a×b=b×a.

師：（課件展示圖片）請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察圖片，結(jié)合圖片分析算式20×5×2表示的實(shí)際意義是什么？

生：將圖上長方形的寬平均分成了2份，每份就是20×5，表示的是一個(gè)小長方形的面積.

師：我明白了，原來這個(gè)20×5是在計(jì)算一個(gè)小面積呀，那么這個(gè)等式又運(yùn)用了什么性質(zhì)呢？

生：乘法結(jié)合律.

師：計(jì)算長方形的面積時(shí)既可以整體考慮，又可以分一分再計(jì)算.這樣的規(guī)律就是乘法結(jié)合律，用字母表示為（a×b）×c=a×（b×c）（教師板書）.

在案例中，教師結(jié)合課件讓學(xué)生復(fù)習(xí)了運(yùn)算定律，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，從長方形的面積出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察圖形的基礎(chǔ)上深入理解了乘法交換律、乘法結(jié)合律的實(shí)際意義，幫助他們建立運(yùn)算定律知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.學(xué)生經(jīng)歷了由圖形到公式，再由公式到圖形的雙向?qū)W習(xí)過程，通過觀察、思考和分析深刻掌握了所學(xué)的運(yùn)算定律.

其實(shí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不乏用幾何直觀圖整理知識(shí)的案例，像六年級(jí)總復(fù)習(xí)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，教師用數(shù)軸呈現(xiàn)數(shù)的分布情況，學(xué)生就能直觀感受到數(shù)的分類以及它們之間的聯(lián)系，看到數(shù)想到圖這就是幾何直觀思想.

結(jié) 語

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生想要深刻掌握抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅需要具備較高的抽象思維能力，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何直觀分析和探究數(shù)學(xué)知識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題.同樣的，教師在講授“數(shù)與代數(shù)”的知識(shí)時(shí)要引入“幾何直觀”，讓學(xué)生把抽象的知識(shí)與幾何直觀圖形結(jié)合起來，彰顯運(yùn)用幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義與價(jià)值，架起直觀圖形與抽象知識(shí)的橋梁，讓數(shù)學(xué)變得更簡單.