數(shù)形結(jié)合：給思維展翅的機(jī)會(huì)

錢紅娟

摘? 要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想和解題方式，同時(shí)也是轉(zhuǎn)換思維的主要手段，能有效提升學(xué)生的解題能力。但是，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)過多強(qiáng)調(diào)成績(jī)，而忽視了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)思想，以提高教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;一次函數(shù)

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是滲透數(shù)形結(jié)合思想的生動(dòng)范例。教師可以從兩個(gè)方面來(lái)組織教學(xué)，一方面，以數(shù)解形，將“形”的本質(zhì)展露出來(lái);另一方面，以形助數(shù)，把抽象的“數(shù)”變成可以親近的“形”。在教學(xué)過程中，教師要做到授人以漁，即讓學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合思想，并巧妙地利用其解決問題。

一、以數(shù)解形，撥動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是學(xué)生重要的思維能力，數(shù)形結(jié)合能為創(chuàng)新提供媒介，敦促其生成。

題目1? 如圖1，x軸上有五個(gè)點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，5，分別過這些點(diǎn)作x軸的垂線與三條直線[y=ax，y=a+1x，y=a+2x]相交，其中[a>0]。則圖1中陰影部分的面積是多少？

大部分學(xué)生看到題目后會(huì)知道這是一道函數(shù)題，于是從已知的橫坐標(biāo)入手進(jìn)行解題，分別將x = 1，2，3，4，5帶入三個(gè)直線解析式，并求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用相關(guān)數(shù)據(jù)求得結(jié)論。雖然這種做法可以得到正確答案，但是卻非常煩瑣。為此，教師可以在前面的教學(xué)基礎(chǔ)上建議學(xué)生從幾何圖形的角度去思考這個(gè)問題，將零散的圖形通過之前學(xué)過的平移聚集在一起。圖1中的陰影面積與相對(duì)應(yīng)的空白面積并不能直觀看出同樣大，要想平移，需要先證明兩者面積一樣大。通過計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)相鄰兩條平行于y軸的直線內(nèi)的陰影與空白圖形的對(duì)應(yīng)邊（三角形底邊，梯形的上底和下底）相等，且高都為1，根據(jù)對(duì)應(yīng)的面積公式，可求得對(duì)應(yīng)圖形的面積相等，進(jìn)而確定平移后的陰影面積就是直線[y=ax，y=a+1x]與直線[x=5]所圍成的三角形的面積，由此可以快速計(jì)算出圖中陰影部分的面積。函數(shù)是代數(shù)中比較復(fù)雜的問題，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)問題，不僅可以簡(jiǎn)便計(jì)算、提高解題的正確率，而且還可以拓寬學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?？梢?，解題的關(guān)鍵在于創(chuàng)新思維，而數(shù)形結(jié)合為創(chuàng)新思維提供了土壤。

二、以形助數(shù)，激勵(lì)學(xué)生的擴(kuò)散思維

數(shù)形結(jié)合能成為學(xué)生思考的一個(gè)聚點(diǎn)，學(xué)生能由數(shù)想到形，也可以由形想到數(shù)，這就是擴(kuò)散思維的形成過程。

題目2? 如圖2，已知一次函數(shù)[y=kx+b]的圖象經(jīng)過[A-2，-1，][B1，3]兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D。

（1）求一次函數(shù)解析式;

（2）求線段CD的長(zhǎng);

（3）求∠AOB的度數(shù)。

第（1）小題根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，用待定系數(shù)法即可解決問題，考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記能力。第（2）小題要求線段CD的長(zhǎng)，可以根據(jù)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)所表示的幾何意義得到線段OC，OD的長(zhǎng)度，再由勾股定理求CD的長(zhǎng)度，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。第（3）小題，由于△AOB是鈍角三角形，直接求∠AOB的度數(shù)比較復(fù)雜，怎樣分散難點(diǎn)呢？我們可以先求出∠AOB補(bǔ)角的大小，因?yàn)轭}中各點(diǎn)的坐標(biāo)已知，故可以根據(jù)坐標(biāo)的幾何意義求線段的長(zhǎng)度，再將思維進(jìn)一步擴(kuò)散，即利用勾股定理的逆定理將邊的條件轉(zhuǎn)化為角的條件。通過解題的過程不難發(fā)現(xiàn)，將問題情境擴(kuò)散到平面直角坐標(biāo)系這個(gè)大環(huán)境中后，可以由數(shù)的途徑求得邊長(zhǎng)，再利用勾股定理這座橋梁，便可以簡(jiǎn)單地求出角的度數(shù)。

在一次函數(shù)中，對(duì)數(shù)與形進(jìn)行思維擴(kuò)散的終點(diǎn)就是圖象，即看到數(shù)要聯(lián)想與之相關(guān)的形，看到形則要嘗試將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的數(shù)。擴(kuò)散思維就是要將數(shù)與形作為思考問題的左右手，缺一不可。

三、數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的分析思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生分析能力發(fā)展的過程，也是學(xué)生由淺入深的學(xué)習(xí)過程，是學(xué)生不斷借助外物思考的過程。

題目3? 如圖3，直線[l1：y=x+1]與直線[l2：y=mx+n]相交于點(diǎn)[Pa，2，] 則關(guān)于x的不等式[x+1≥mx+n]的解集為? ? ? ? 。

解題時(shí)，學(xué)生先會(huì)根據(jù)兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)求出[a=1，] 但是接下來(lái)只能根據(jù)已知坐標(biāo)知道[m，n]之間的關(guān)系，并不能確定具體的解析式，代數(shù)的解題方法無(wú)法繼續(xù)解法這道題目。這時(shí)教師需要啟發(fā)學(xué)生將目光轉(zhuǎn)向函數(shù)圖象，讓他們將[l1]的縱坐標(biāo)大于等于[l2]的縱坐標(biāo)的部分標(biāo)出來(lái)，這樣可以直觀地看到包括點(diǎn)P在內(nèi)的右邊部分都是符合要求的。又因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)[a=1，] 所以這個(gè)不等式相對(duì)應(yīng)的解集[x≥1]?？梢?，此題運(yùn)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)把數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)。借圖分析，又由圖轉(zhuǎn)數(shù)，不僅減少了計(jì)算量，而且提高了解題的效率。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合就是讓學(xué)生進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，這就需要教師賜予學(xué)生一雙“慧眼”，引導(dǎo)學(xué)生做到“眼中有形，心中有數(shù)”，從而以數(shù)解形、以形助數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]白輝. 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J]. 科學(xué)咨詢（教育科研），2020（4）.

[2]張玉翠. 數(shù)形結(jié)合巧運(yùn)用? 思維能力妙培養(yǎng)[J]. 名師在線，2020（10）.