藏在巧合背后的秘密

【摘要】文章從一道課堂例題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生使用錯(cuò)誤解法卻湊巧得出了正確答案，并且這種錯(cuò)誤解法能湊巧答對(duì)許多類似的題目，由此展開(kāi)了一番探究，并得出了一般性的結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】不等式? 整體代換? 線性規(guī)劃? 動(dòng)態(tài)掃描

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）18-0126-03

一、巧合產(chǎn)生

在教授人教A版必修5《3.1不等關(guān)系與不等式》這節(jié)內(nèi)容時(shí)，筆者選用了一道例題作為課內(nèi)探究題（當(dāng)時(shí)學(xué)生還未學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的相關(guān)內(nèi)容），該例題如下：

例1? 已知函數(shù)f（x）=ɑx2+bx滿足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（2）的取值范圍。

本題在不使用線性規(guī)劃作圖求解的情況下用整體代換的方法求解如下：

解法1? 設(shè)f（2）=αf（1）+βf（-1）=（α+β）ɑ+（α-β）b，

因?yàn)閒（2）=4ɑ+2b，所以α+β=4

α-β=2 ，可得α=3

β=1，即f（2）=3f（1）+f（-1）.

又由1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4，得7≤f（2）≤14.

課堂上筆者請(qǐng)了一位學(xué)生上黑板板演，他的做法如下：

解法2? 因?yàn)?≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4，兩式相加得3≤2ɑ≤6

又由4≤2ɑ+2b≤8， 所以f（2）=4ɑ+2b=2ɑ+（2ɑ+2b），得7≤f（2）≤14.

他得到的答案是正確的，班里還有一部分學(xué)生也是用這種方法做的。那么他們的解法對(duì)嗎？細(xì)究他的解題過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，他借助的是ɑ+b的范圍與ɑ的范圍，而ɑ與ɑ+b實(shí)際上不獨(dú)立，它們是相互制約的，即當(dāng)ɑ+b取到最大值時(shí)，ɑ未必取得到最大值。不妨利用線性規(guī)劃的方法做出本題的可行域。

圖1是由已知條件確定的（a，b）的可行域，圖2是該學(xué)生使用a+b與a的范圍所確定的（a，b）的可行域，發(fā)現(xiàn)兩者不一致。即利用a+b與a的范圍會(huì)使可行域擴(kuò)大，所得到的目標(biāo)函數(shù)z=4a+2b的范圍也有可能會(huì)擴(kuò)大。但此處目標(biāo)函數(shù)在圖1和圖2的可行域中，都恰好在點(diǎn)（3，1）處取得最大值，在（1.5，0.5）處取得最小值，所以產(chǎn)生了巧合。假如換一種拆法：

解法3? 由1≤f（-1）=ɑ-b≤2

2≤f（1）=ɑ+b≤4 ，可得-3≤-2ɑ≤0，

所以，4ɑ+2b=4（ɑ+b）-2b，所以5≤4ɑ+2b≤16.

此時(shí)得到的答案是錯(cuò)誤的，因此該學(xué)生用這種解法得出的答案雖然正確，卻是由于湊巧。

二、投石探路

此時(shí)筆者忍不住想，如果更換目標(biāo)函數(shù)，使用上述的“拆分法”是否還會(huì)產(chǎn)生巧合？

例2? 已知1≤ɑ-b≤2

2≤ɑ+b≤4

（1）求2ɑ+4b的取值范圍。

解法1 （整體代換）? 由2ɑ+4b=3（ɑ+b）-（ɑ-b），可得4≤2ɑ+4b≤11.

解法2 （拆分法）? 由2ɑ+4b=4（ɑ+b）-2ɑ，可得2≤2ɑ+4b≤13.

解法3 （拆分法）? 由2ɑ+4b=2（ɑ+b）+2b，可得4≤2ɑ+4b≤11.

（2）求4ɑ-2b的取值范圍。

解法1 （整體代換）? 由4ɑ-2b=（ɑ+b）+3（ɑ-b），可得5≤4ɑ-2b≤10.

解法2 （拆分法）? 由4ɑ-2b=4（ɑ-b）+2b，可得4≤4ɑ-2b≤11.

解法3 （拆分法）? 由4ɑ-2b=2（ɑ-b）+2ɑ，可得5≤4ɑ-2b≤10.

（3）求2ɑ-4b的取值范圍。

解法1 （整體代換）? 由2ɑ-4b=-（ɑ+b）+3（ɑ-b），可得-1≤2ɑ-4b≤4.

解法2 （拆分法）? 由2ɑ-4b=2（ɑ-b）-2b，可得-1≤2ɑ-4b≤4.

解法3 （拆分法）? 由2ɑ-4b=4（ɑ-b）-2ɑ，可得-2≤2ɑ-4b≤5.

三、柳暗花明

不妨以例2的（1）、（2）為例，來(lái)探究其中的奧秘。

（1）求2ɑ+4b的取值范圍

如圖3，解法2中由a和a+b確定的可行域?yàn)?ABCD。如圖4，解法3中由b和a+b確定的可行域?yàn)?EFCH。而由已知條件a+b和ɑ-b確定的可行域?yàn)閳D3或圖4中的陰影部分，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z=2ɑ+4b時(shí)，目標(biāo)函數(shù)確定的動(dòng)直線b=-ɑ+為圖中虛線。由圖可知，?EFCH與陰影部分使目標(biāo)函數(shù)z=2ɑ+4b取到的最大值點(diǎn)都是點(diǎn)F，最小值點(diǎn)都是點(diǎn)H，因此解法3可得正確答案。此處目標(biāo)函數(shù)z=2ɑ+4b確定的直線斜率為-，解法3利用了ɑ+b與b的范圍。還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)確定的直線斜率在（-1，0）內(nèi)時(shí)，?EFCH與陰影部分使目標(biāo)函數(shù)取到的最大值點(diǎn)都是點(diǎn)F，最小值點(diǎn)都是點(diǎn)H，因此只要目標(biāo)函數(shù)確定的直線斜率在（-1，0）內(nèi)，將目標(biāo)函數(shù)拆成ɑ+b與b的組合所得答案必正確。

（2）求4ɑ-2b的范圍

圖5和圖6分別是解法2和解法3確定的可行域，可以發(fā)現(xiàn)解法2的可行域?yàn)?ABCD，解法3的可行域?yàn)?EFCH，由已知條件確定的可行域?yàn)殛幱安糠?，其中解?恰好使得目標(biāo)函數(shù)z=4ɑ-2b在點(diǎn)E取到最大值，點(diǎn)G取到最小值，從而解法3得到正確答案。并且，只要目標(biāo)函數(shù)確定的直線斜率在（1，+∞）內(nèi)，則?EFCH與陰影部分使目標(biāo)函數(shù)取到的最大值點(diǎn)都是點(diǎn)E，最小值點(diǎn)都是點(diǎn)G，此時(shí)將目標(biāo)函數(shù)拆成ɑ-b與ɑ的組合所得答案必正確。

同理，（3）求2ɑ-4b的取值范圍中，解法2得到正確答案，目標(biāo)函數(shù)z=2ɑ-4b確定的直線b=ɑ-的斜率在（0，1）內(nèi)，利用了ɑ-b和b的范圍。例1中求4ɑ+2b的取值范圍，利用ɑ+b和ɑ的范圍得到正確答案，目標(biāo)函數(shù)z=4ɑ+2b確定的直線b=-2ɑ+的斜率在（-∞，-1）內(nèi)。

因此，可有結(jié)論：若已知c≤ɑ+b≤d

p≤ɑ-b≤q求mɑ+nb，（mn≠0）的取值范圍。

使用“拆分法”，設(shè)k=-，

①k∈（-∞，-1），將mɑ+nb拆成ɑ+b與ɑ的組合，使用ɑ+b與ɑ的范圍;

②k∈（-1，0），將mɑ+nb拆成ɑ+b與b的組合，使用ɑ+b與b的范圍;

③k∈（0，1），將mɑ+nb拆成ɑ-b與b 的組合，使用ɑ-b與b的范圍;

④k∈（1，+∞），將mɑ+nb拆成ɑ-b與ɑ的組合，使用ɑ-b與ɑ的范圍;

則所求的取值范圍正確。

四、改錯(cuò)為正

既然有部分學(xué)生會(huì)把目標(biāo)函數(shù)z=mɑ+nb拆成ɑ±b與ɑ或b的組合，而使用ɑ±b與ɑ或b的范圍不一定能得到正確答案，那么如何得到正確答案呢？不妨重新來(lái)看例1的解法3，目標(biāo)函數(shù)z=4ɑ+2b=4（ɑ+b）-2b，下面來(lái)探究如何獲得正確的答案。

解法4? 如圖7中，可行域中位于線段EF上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足ɑ+b=m，此時(shí)z=4（ɑ+b）-2b=4m-2b，因此目標(biāo)函數(shù)應(yīng)該在縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)E處取得最小值，在縱坐標(biāo)最小的點(diǎn)F處取最大值。而當(dāng)EF所在直線在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)就在線段AB上取最小值，在線段CD上取最大值。題目就轉(zhuǎn)化為：

（1）已知ɑ-b=1，1，0.5≤b≤1.5，求z=4ɑ+2b的最小值。

將ɑ=b+1代入目標(biāo)函數(shù)得z=6b+4，由0.5≤b≤1.5，可得z=4ɑ+2b的最小值是7.

（2）已知ɑ-b=2，0≤b≤1，求z=4ɑ+2b的最大值。

將ɑ=b+2代入目標(biāo)函數(shù)得z=6b+8，由0≤b≤1，可得z=4ɑ+2b的最大值是14.

上述解法具有可遷移性，適用于把目標(biāo)函數(shù)z=mɑ+nb拆成ɑ±b與ɑ或b的任意組合，保證了“拆分法”的正確性。

五、思考感悟

學(xué)生把目標(biāo)函數(shù)z=mɑ+nb拆成ɑ±b與ɑ或b的組合，使用ɑ±b與ɑ或b的范圍來(lái)求z=mɑ+nb的范圍的原因可能有如下幾點(diǎn)：一是在等量關(guān)系當(dāng)中經(jīng)常使用等價(jià)代換，所以學(xué)生有這樣的思維習(xí)慣，在類比遷移過(guò)程中想要使用代換的思想。二是學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)必修5第三章不等式與不等關(guān)系，還沒(méi)有接觸線性規(guī)劃的內(nèi)容，因此還沒(méi)建立起可行域的概念，不知道代換過(guò)程中可能會(huì)引起可行域的改變。三是對(duì)不等式的性質(zhì)理解不透徹，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到變量之間是相互制約的。此外，這種做法的錯(cuò)因，是學(xué)生初學(xué)不等式時(shí)不易理解的地方，也正是教學(xué)的重難點(diǎn)。在經(jīng)歷問(wèn)題分析和解決的過(guò)程中，讓學(xué)生領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。因此，在解題教學(xué)中可以以此作為知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，讓學(xué)生落入巧合，產(chǎn)生興趣，展開(kāi)探究，得出結(jié)論，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得樂(lè)趣。師生也能夠一起享用數(shù)學(xué)這一充滿智力挑戰(zhàn)又飽含樂(lè)趣的盛宴。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉銳.解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一種新方法及其應(yīng)用[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2016（Z2）：107-108

[2]劉少平，張學(xué)禮.線性規(guī)劃常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析[J].數(shù)理化解題研究，2016（25）：7-9

作者簡(jiǎn)介：

王聰聰（1991年-），女，浙江溫州人，中學(xué)二級(jí)教師，本科學(xué)歷。