如何借助輔助線理解圖形放大與縮小問題

□鄧招徒

“圖形的放大與縮小”是學(xué)生理解相似圖形的基礎(chǔ)。三角形和多邊形的放大和縮小，常常讓學(xué)生感到困難。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以利用輔助線幫助學(xué)生更好地理解這個(gè)難點(diǎn)。

一、探尋三角形的放大與縮小

（一）呈現(xiàn)問題

在圖1 上畫出將三角形ABC按1∶2縮小后的圖形。

圖1

（二）引導(dǎo)交流

圖2

學(xué)生可能找到AB和AC的中點(diǎn)D 和E，連接DE 后得到的三角形ADE 就是三角形ABC 按1∶2 縮 小 后 的 圖形。（如圖2）

學(xué)生可能會(huì)從對(duì)應(yīng)高的比這一角度進(jìn)行說明，也可能會(huì)從中位線的角度進(jìn)行說明。

繼續(xù)引導(dǎo)：如果按照這樣的思路，只能有這一種畫法嗎？還可以怎么畫？

學(xué)生可以通過找另外兩組相鄰邊的中點(diǎn)解決問題（如圖3）。

圖3

3.縮小后的圖形面積和原面積有什么關(guān)系？得到的三個(gè)三角形位置不一樣，都符合要求嗎？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，縮小后的圖形與原圖形面積的比都是1∶4。通過平移，將縮小后的三角形重疊，可以看到三個(gè)三角形的形狀和大小其實(shí)都是一樣的。

4.還有其他的方法嗎？

呈現(xiàn)第4 種方法（如圖4）：找到三條邊的中點(diǎn)連接起來得到三角形DEF，三角形DEF 也是將三角形ABC按1∶2縮小后的圖形。

討論：這樣畫可以嗎？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形DEF和其他三個(gè)三角形的相等關(guān)系。

圖4

（三）延伸拓展

根據(jù)剛才研究三角形縮小的過程，想一想：如果將三角形ABC按照2∶1放大，可能有幾種不同的方法？

二、研究多邊形的放大與縮小

（一）呈現(xiàn)問題

畫出將五邊形ABCDE 按2∶1 放大和按1∶2 縮小后的圖形。

（二）引導(dǎo)交流

有了剛才的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)將五邊形放大最方便的方法是在以點(diǎn)C為頂點(diǎn)引出的四條射線上（如圖5）找到CB、CA、CE 和CD2 倍長(zhǎng)度的點(diǎn)和中點(diǎn)，順次連接得到要求的圖形。

圖5

三、拓展延伸

（一）呈現(xiàn)問題

在原圖（如圖6）中分別畫出將五邊形按2:1放大和按1:2縮小后的圖形。

圖6

（二）引導(dǎo)交流

在學(xué)生嘗試獨(dú)立解決問題后，教師組織學(xué)生重點(diǎn)交流畫輔助線的方法：從五邊形的某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，作兩條輔助線，然后再找出中點(diǎn)（縮?。┗蜓娱L(zhǎng)1 倍（放大）畫出圖形（如圖7）。

圖7

通過這樣的操作過程，學(xué)生明確了畫放大與縮小圖時(shí)，找對(duì)應(yīng)邊其實(shí)就是找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，經(jīng)歷從立到破，又從破到立的過程。學(xué)生利用輔助線畫出較為抽象的圖形的同時(shí)，在知識(shí)遷移、多角度思考問題和空間想象能力等方面都得到了鍛煉。