經(jīng)歷探索過程 感受演繹推理
——拓展課《數(shù)字在哪里》教學實錄與思考

□覃佳韻

推理廣泛存在于人們的生活中，而且貫穿于各個學科的學習中。數(shù)學本身是一門邏輯性極強的科目，數(shù)學教學與學生推理能力的培養(yǎng)密不可分。受小學生年齡特征、認知水平所限，小學數(shù)學中與推理相關(guān)的內(nèi)容往往是多合情推理，少演繹推理。

人教版教材二年級下冊在“數(shù)學廣角”中安排了一節(jié)演繹推理的“入門課”。實踐表明，學生在低年級已經(jīng)能理解簡單的演繹推理過程，能運用一些推理的方法進行思考，并且能用簡單的數(shù)學語言進行表達，但教材中沒有作更深入的內(nèi)容安排。為進一步提高學生的演繹推理能力，筆者設計了一節(jié)基于培養(yǎng)推理能力，以在九宮格中填數(shù)字為主要內(nèi)容的拓展課《數(shù)字在哪里》，讓學生在愉快的游戲過程中經(jīng)歷演繹推理的過程。

【教學過程】

（一）了解規(guī)則，形成共識

師：這是一個九宮格，三個小朋友分別“住”在其中的一個格子里（圖1）。為了表述清楚，我們可以借助表格外的標注來表示他們的位置。比如小明的位置在上2，小強的位置在中1，小紅的位置可以怎么表示？（生答）

圖1

師：剛才我們幫三位小朋友找到了位置，現(xiàn)在我們來幫數(shù)字找位置。（出示課題：數(shù)字在哪里）

師：（呈現(xiàn)題目，如圖2）你能看懂題目的意思嗎？數(shù)字9和數(shù)字3要放在哪兒呢？

圖2

生1：數(shù)字9 一定在中2 的位置上，數(shù)字3 不一定。

師：你有自己的想法，如果能說清楚你這樣想的原因就更棒了。

生2：數(shù)字要放在標有“★”的位置上，所以9應該放在中2。數(shù)字不能在標有“×”的位置上，所以除了畫“×”的位置以外，3 在上3、中1、下2 這三個位置都有可能。

師：厲害！同學們有沒有注意到，剛剛生1 回答的時候用了“一定”“不一定”，非常清晰地告訴我們他判斷的結(jié)果，而生2 用了一組詞——“因為”“所以”表達了自己判斷的理由，這些詞能夠幫我們說得更清楚，讓別人聽得更明白。

生3：可能在上1。

師：有這種可能，同學們，他為什么不說一定在上1？

生4：因為信息只告訴我們4 在一行的第一個位置上，九宮格有三行，所以有三種可能，也就是4可以放在上1，也可以放在中1，還可以放在下1（如圖3）。

圖3

小結(jié)：我們可以根據(jù)已知信息幫數(shù)字找位置。有些信息可以幫助我們準確地判斷數(shù)的位置，有些信息不能讓我們直接確定數(shù)到底在哪個位置，但能圈定范圍，細心的同學會找出所有可能的答案。

生5：有兩種可能，如果數(shù)字5在上2，那么數(shù)字9就在上3；如果數(shù)字5在上3，那么數(shù)字9就在上2。

小結(jié)：如果有兩個數(shù)字、兩個位置可供選擇，那么這兩個數(shù)字都有可能在其中的某一個位置上，只要確定其中一個數(shù)字的位置，另一個數(shù)字的位置也就隨之確定了。

（設計意圖：建立共識，是明確推理前提條件的過程。這一環(huán)節(jié)的設計重在與學生建立以下幾條共識：第一，表達位置的共識。用上、中、下、1、2、3分別表示橫行數(shù)列的位置，用統(tǒng)一的先行后列的方式表達數(shù)所在格子的位置，這是后面大家交流的基礎。第二，表達思考的共識。鼓勵學生用“因為”“所以”“可能”“一定”等詞語表達思考的過程，這不僅是培養(yǎng)學生表達的習慣，更是培養(yǎng)學生思維的縝密性與嚴謹性。第三，基本邏輯的共識?！啊铩笨梢詭椭_定數(shù)字所在的位置，“×”可以幫助排除數(shù)在某一個格子的可能。根據(jù)信息，有時可以直接得到答案，有時可以得到幾種可能的答案；當兩個數(shù)可以選擇AB兩個位置的時候，一個確定了，另一個也隨之確定。）

（二）演繹推理，經(jīng)歷過程

1.小試牛刀

（1）呈現(xiàn)問題，請學生獨立嘗試解決。

在九宮格里放入1、2、3、4、5、6、7、8、9，每格放1 個數(shù)字，不能重復。數(shù)字在標有“☆”的位置上，數(shù)字不能在標有“×”的位置上（如圖4）。

圖4

（2）引導交流。

師：誰來說一說，根據(jù)信息提示，你是怎么填的？

生：因為“★”可以確定數(shù)字的位置，所以2、7、4、6、8、5、3 的位置都可以直接確定下來。先把這幾個數(shù)字填好，然后只剩下1 和9 的位置，根據(jù)信息，1不能在下1，所以只能在上3的位置上，最后剩下的9在下1的位置。

2.挑戰(zhàn)升級

（1）呈現(xiàn)問題，請學生獨立嘗試解決。

在九宮格里放入1、2、3、4、5、6、7、8、9，每格放1 個數(shù)字，不能重復。數(shù)字在標有“★”的位置上，數(shù)字不能在標有“×”的位置上（如圖5）。

圖5

（2）引導交流。

師：找到答案的同學，先檢驗一下，看看是不是可以保證自己的答案正確。然后想一想，怎么跟大家介紹你的思考過程。

生：我發(fā)現(xiàn)了一個秘密，這9 個數(shù)字旁邊的格子，有的排除掉的可能性多，有的排除掉的可能性少。所以我就按照先填排除掉的可能性多的數(shù)這樣的順序填，就找到答案了。比如說，數(shù)字5 已經(jīng)排除了8 個格子，它肯定在中1 的位置。數(shù)字2 排除了7 個格子，中1 填了5，所以2 一定在上3 的位置，這樣很快就找到了所有的答案。

生：這道題看起來挺嚇人，其實一點也不難，只要找到突破口，也就是先找只留有一個位置的數(shù)字來填就行了。

取能見度為1 km，平流霧和輻射霧的譜分布如圖1所示.由圖1可知，當能見度為1 km時，隨著粒子半徑的增加，兩種霧的譜分布曲線均先增加后減小，且兩種霧的濃度在半徑較小一側(cè)迅速增大，在半徑大的一側(cè)則緩慢減小.其中平流霧的霧滴粒子半徑較集中在2～5 μm，輻射霧的霧滴粒子半徑較集中在0.1～2 μm，且輻射霧粒子濃度約大于平流霧粒子濃度兩個數(shù)量級.

（設計意圖：同樣是填9個數(shù)，本題從單一條件推理進階到關(guān)聯(lián)推理，讓學生感受到只有當確定唯一可能的時候，才能直接確定答案。很多數(shù)看起來無法確定位置，但當確定了某一個數(shù)的位置以后，就等于給其他數(shù)的位置多“排除”了一種可能。）

3.靈活運用

（1）呈現(xiàn)問題，請學生獨立嘗試解決

在九宮格里放入1、2、3、4、5、6、7、8、9，每格放1 個數(shù)字，不能重復。數(shù)字在標有“★”的位置上，數(shù)字不能在標有“×”的位置上（如圖6）。

圖6

師：沒有“★”幫助我們直接確定某一個數(shù)，也沒有8個“×”幫助我們排除所有可能直接找到某個數(shù)的位置，在這種情況下，你能想辦法確定一個數(shù)的位置嗎？先自己試試看。

（2）引導交流。

生：我可以確定數(shù)字4的位置。因為我看到圖（三）和圖（五）都有數(shù)字4，兩幅圖里的三顆星星中都有一顆是在中2 的位置，說明這就是數(shù)字4 的位置。

師：圖（三）和圖（五）還有數(shù)字5、8、2、7，為什么不是它們呢？

生：因為它們不是同時出現(xiàn)，只有數(shù)字4 兩幅圖里都有，所以星星重疊的位置，就是數(shù)字4 的位置。

師：通過觀察兩幅圖中同時出現(xiàn)的數(shù)字，推理出星星重疊的位置就是這個數(shù)字的位置。按照這個思路，還能找出哪個數(shù)字的位置？大家可以拿出桌面上袋子里的小幫手，擺一擺，你還能找出哪些數(shù)字的位置？

……

小結(jié)：數(shù)字的位置不能唯一確定的時候，可以將幾幅圖的信息整合在一起找到突破點，再利用排除法、重疊法等方法來推理出數(shù)字的位置。

（設計意圖：本題從關(guān)聯(lián)推理進階到多個條件復合推理，對學生來講，思維更有挑戰(zhàn)性，實際教學中學生對本內(nèi)容的興趣非常濃。他們在獨立嘗試與合作交流的過程中逐步體會，當根據(jù)一個條件不能直接確定答案的時候，可以將兩個甚至幾個條件復合起來進行判斷，找到數(shù)字位置。引導學生用“根據(jù)滿足……又滿足……可以確定答案”的方式進行表達，更深刻地體會推理的嚴謹性。）

【教學思考】

（一）演繹推理教學有必要從低年級開始

數(shù)學教學內(nèi)容的學習與推理能力的培養(yǎng)密不可分?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》中提出了小學數(shù)學的10 個核心詞，反映了對小學生數(shù)學素養(yǎng)的基本要求，其中就包含了推理能力。但小學數(shù)學的教學中，無論是教材編寫還是教師教學，對推理尤其是演繹推理的教學都不夠重視。雖然小學生掌握的知識有限，認知能力發(fā)展還不夠完善，但他們正處在思維發(fā)展的重要奠基階段，從低年級開始，逐步培養(yǎng)科學嚴謹?shù)乃季S方式，養(yǎng)成“言必有據(jù)，說必有理”的習慣非常重要。因此，演繹推理教學有必要從低年級開始進行。

（二）演繹推理教學有可能從低年級開始

在人教版教材二年級下冊關(guān)于演繹推理的“入門課”教學中，教師會感受到學生有進行演繹推理的可能，他們能夠理解根據(jù)前提推導出結(jié)論的過程。本節(jié)拓展課的教學，學生經(jīng)歷的演繹推理過程層層深入。在初步建立共識以后，學生先后經(jīng)歷根據(jù)單一條件進行演繹推理、關(guān)聯(lián)推理、復合推理幾個階段，每個階段中學生都先獨立思考，嘗試解決問題，然后在教師的帶領下通過相互交流，學會有根據(jù)有條理地表達推理過程，體會有邏輯的思考、有邏輯的表達。學生情況不同，在一節(jié)課里能夠落實的程度必將不同，本節(jié)課的教學在一些班級的實踐中取得了很好的教學效果，但這并不說明這樣的教學內(nèi)容或?qū)哟卧O計可以在任何一個課堂里進行。教師可以根據(jù)學生的實際情況選擇本節(jié)課的終點，但無論學生可以進行哪一個層次的邏輯推理，實踐表明，演繹推理的教學可以在低年級進行。