在初中數(shù)學教學中滲透與應用建模思想

陸穎

[摘 要]建模思想是初中數(shù)學的重要思想之一，它對學生體會與理解數(shù)學與其他事物之間的聯(lián)系起著重要的作用.著重探究建模思想在初中數(shù)學教學中的滲透與應用，為提升初中數(shù)學教學的質(zhì)量與效率提供良好條件.

[關(guān)鍵詞]建模思想;初中數(shù)學;應用;滲透

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）05-0033-02

建模思想是初中數(shù)學的重要思想之一，它對學生體會與理解數(shù)學和其他事物之間的聯(lián)系起著重要的作用，有助于學生解決各類數(shù)學問題.

一、初中數(shù)學教學滲透與應用建模思想的意義

數(shù)學課程標準明確指出，要注重發(fā)展學生的建模思想.建模思想的作用十分顯著，可為學生解決問題提供條件與基礎(chǔ)，幫助學生樹立數(shù)學與生活緊密相關(guān)的意識，不斷增強學生的數(shù)學實踐應用能力.同時，在教師傳授建模思想的過程中，還能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和好奇心，提高學生學習的自信心.在初中數(shù)學教學中滲透與應用建模思想很有意義.

二、初中數(shù)學建模的一般步驟

教師指導學生建模時，可按照如下步驟進行：

（1）認真審題，分析題意為建模做準備.

（2）從問題中簡化情境，假設(shè)數(shù)學模型.

（3）選擇合適工具建立數(shù)學模型.

（4）解決模型中的數(shù)學問題并找出所有答案.

（5）根據(jù)實際意義對答案進行取舍，選擇正確答案.

三、初中數(shù)學常見模型

1.方程模型

在現(xiàn)實生活中有許多量與量相等關(guān)系的問題，可采用建立方程組的方法解決.

[例1]某社區(qū)為響應“綠色生活，美麗家園”的號召，計劃種植A、B兩類植物來美化小區(qū)環(huán)境，若種植A類植物3 m2，B類植物2 m2，共需420元;種植A類植物1 m2，B類植物3 m2，共需350元，求：該社區(qū)種植A類植物1 m2和種植B類植物1 m2各需多少錢？

解析：按照上述建模方法，分析題意，可設(shè)種植A類植物1 m2需x元，種植B類植物1 m2需y元.再由題目中的兩個等量關(guān)系列方程組即可解決問題.

2.函數(shù)模型

現(xiàn)實生活中還會涉及不同變量之間制約性關(guān)系的問題，使用函數(shù)可以解決此類問題.

[例2]為迎接六一兒童節(jié)，某商場購進若干件單價為20元的童裝，若規(guī)定銷售單價不低于每件20元，不高于每件50元，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為40元時，平均每月銷售量為70件;當銷售單價每降低1元時，平均每月能多售出2件.設(shè)銷售單價為x元，平均月銷售量為y件.

（1）求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（2）求月銷售利潤w與售價x之間的函數(shù)解析式;

（3）當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

解析：分析題意可得到銷售模型，利用“月銷售量=原銷售量+降價后增加的銷售量”即可列出對應的函數(shù)關(guān)系式;利用“月銷售利潤=（單件售價-單件進價）×銷售數(shù)量”列出關(guān)系式;把每月利潤最大問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題來解決.

本題的數(shù)學模型是二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]與一次函數(shù)[y=kx+b]的函數(shù)模型.

3.幾何模型

幾何在日常生活中的應用十分廣泛，如道路橋梁設(shè)計、建筑、航海等方面經(jīng)常涉及一些圖形的性質(zhì)，需要用數(shù)學知識建立幾何模型，再分析計算解決實際問題.

[例3]一下水管道的截面如圖1所示.已知排水管的直徑為100 cm，下雨前水面寬為60 cm.一場大雨過后，水面寬為80 cm，求水面上升多少？

解析：如圖2，可作半徑[OD⊥AB]于C，連接OB，再用垂徑定理和勾股定理進行相關(guān)計算.本題的分析過程就用到了“圓”這個幾何模型.

4.不等式模型

[例4]某市為了提升菜籃子工程質(zhì)量，計劃用甲、乙種車輛共40輛調(diào)撥不超過305噸肉制品和325噸蔬菜補充當?shù)厥袌?已知一輛甲型車可運肉制品8噸和蔬菜10噸;一輛乙型車可運肉制品7噸和蔬菜5噸.

（1）符合題意的運輸方案有幾種？請你幫助設(shè)計出來;

（2）若一輛甲型車的運費是1000元，一輛乙型車的運費為800元，試說明（1）中哪種運輸方案費用最低？最低費用是多少？

解析：設(shè)安排甲型車x輛，乙型車（40-x）輛，再結(jié)合題目的不等量關(guān)系列出不等式組進行求解;由“總費用=甲型車的費用+乙型車的費用”建立一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)及其增減性可解決最低費用問題.本題就用到了不等式模型和一次函數(shù)的模型來解決實際問題.

四、建模思想在初中數(shù)學教學的滲透與應用

1.應用于概念教學

數(shù)學概念具有一定的抽象性，學生在理解數(shù)學概念時存在一定的難度.對此，教師可在概念教學中滲透建模思想，以促進學生更好地理解數(shù)學概念.

例如，在教學反比例函數(shù)概念時，教師可結(jié)合生活實例滲透建模思想為學生創(chuàng)設(shè)良好的理解情境.如小王在籃球場打完籃球準備回家，如果小王的家與籃球場距離2000米，那么小王回家花費的時間t與平均速度v之間的關(guān)系表達是怎樣的？將學生分為若干小組，引導學生應用數(shù)學建模思想小組合作研究相關(guān)的關(guān)系式，進而理解反比例函數(shù)的概念.

2.應用于函數(shù)教學

在初中數(shù)學中，函數(shù)知識占據(jù)著較大的比重，它還是中考數(shù)學必考的知識點，最重要的是它與現(xiàn)實生活存在著緊密聯(lián)系.發(fā)揮函數(shù)知識的作用來解決實際問題，是函數(shù)教學的重難點.函數(shù)與方程的應用非常相似.初中生在掌握函數(shù)具體問題所涉及的數(shù)量關(guān)系方面，缺乏建模意識，這對于他們有效解決函數(shù)相關(guān)問題具有不良影響.對此，教師要重視對學生建模思想的培育，在解決函數(shù)問題的過程中幫助學生明確建立函數(shù)模型的方式，引導學生利用數(shù)學模型有效解決現(xiàn)實生活中的相關(guān)問題，提高學生解決實際問題的能力.

例如，在教學二次函數(shù)應用的相關(guān)知識時，教師應告知學生函數(shù)模型與方程模型的一致性，及兩者存在的顯著差別是函數(shù)模型表示的是兩個變量的關(guān)系，然后與學生共同探討旅社客房的問題.如：有120間客房的旅社，一間客房的租金是160元，幾乎天天滿房.在進行市場調(diào)查之后發(fā)現(xiàn)，如果將每間客房的租金提升10元，那么客房的出租數(shù)量也會隨之減少 6間.在不過多思考其他因素的前提下，將客房租金提升到多少客房的日租金可以實現(xiàn)最大化？要解決這一問題，建立函數(shù)模型是非常必要的.但并不是所有學生都具備建模的能力，這時需要教師發(fā)揮引導作用，引導學生對題目中的數(shù)量關(guān)系進行分析，建立正確的函數(shù)模型，進而解決問題.

通過以上幾個例子可以發(fā)現(xiàn)，建立函數(shù)模型可有效解決函數(shù)實際問題，對于學生來說，只有具備了一定水平的建模能力，才能自主地解決與函數(shù)相關(guān)的問題.因此，教師需要發(fā)揮自身的引導作用，幫助學生逐漸形成建模思想與意識.

總之，在初中數(shù)學教學中，建模思想的作用是無可取代的，它不僅能極大地提高學生的學習興趣與熱情，提升學生的學習效率，還能培養(yǎng)學生的實踐應用能力.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

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（責任編輯 陳 昕）