初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

連元坤

[摘 ?要] 在不同的背景之下，對數(shù)學(xué)思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對應(yīng)著不同的教學(xué)實踐行為. 對核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)思維的理解，應(yīng)當包括這樣兩個方面：一是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”，二是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)地思維”. 考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識、提升學(xué)科素養(yǎng)的主要載體，那么教師所設(shè)計的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)指向高階思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一定要抓住思維的基本特征. 思維的多向性是高階思維的根本體現(xiàn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個重要抓手.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;思維培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題. 對于數(shù)學(xué)思維的價值，歷來受到數(shù)學(xué)教學(xué)研究者以及教師的重視，普遍認同的一個觀點就是：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當中，最為重要的一部分就是培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，當學(xué)生擁有良好的數(shù)學(xué)思維后，學(xué)生往往能夠更好地運用自己的知識儲備進行有效的遷移，解決在練習(xí)過程中的問題. 需要注意的是，在不同的背景之下，對數(shù)學(xué)思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對應(yīng)著不同的教學(xué)實踐行為：在追求數(shù)學(xué)知識價值的時代，數(shù)學(xué)思維服務(wù)于學(xué)生知識的建構(gòu);在追求數(shù)學(xué)思想和方法的價值的時代，數(shù)學(xué)思維起著支撐學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想和方法的作用;在課程改革中，數(shù)學(xué)思維又與數(shù)學(xué)思想和方法一起，被包括在三維目標中. 當下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，追求核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，那么在核心素養(yǎng)的背景之下，數(shù)學(xué)思維又應(yīng)當如何理解呢？數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)又應(yīng)當如何進行呢？對這些問題的回答，筆者在實踐中進行了探究. 現(xiàn)以人教版“三角形的穩(wěn)定性”的教學(xué)為例，略談筆者的一些思索.

核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)思維的

理解

從核心素養(yǎng)的表述來看，其中強調(diào)的關(guān)鍵能力離不開具體的思維支撐，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就是為關(guān)鍵能力的形成打基礎(chǔ);從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表述來看，六個要素中與數(shù)學(xué)思維關(guān)系最為直接的，當屬邏輯推理，一個基于嚴密數(shù)學(xué)邏輯進行推理的過程，必然是數(shù)學(xué)思維的過程. 但實際上其他的要素與數(shù)學(xué)思維也密切相關(guān)，比如說離開了數(shù)學(xué)思維就談不上數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵在于剝離實際事物中的非數(shù)學(xué)因素，這就需要判斷什么樣的因素是數(shù)學(xué)因素，什么樣的因素是非數(shù)學(xué)因素，這顯然是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果. 反之，如果沒有數(shù)學(xué)思維，那么數(shù)學(xué)抽象就很難獲得成功. 具體來說，對核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)思維的理解，應(yīng)當包括這樣兩個方面：

一是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”. 思維是一個廣泛的概念，在任何學(xué)科中都能談及思維，因此數(shù)學(xué)思維實際上是思維的一個下位概念. 在數(shù)學(xué)學(xué)科的視野下理解思維，也就是所謂的數(shù)學(xué)思維，首先必須強調(diào)的一點就是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”，數(shù)學(xué)思維是隸屬于數(shù)學(xué)的. 當學(xué)生開始鍛煉數(shù)學(xué)思維的時候，意味著是帶著數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)工具去鍛煉思維的.

比如“三角形的穩(wěn)定性”這一知識，從生活的角度來看，“穩(wěn)定性”有“固定”的意思，而從數(shù)學(xué)的角度來看，穩(wěn)定性則是指“三角形的邊長、內(nèi)角是固定的值”. 盡管兩個理解中都有“固定”的內(nèi)涵，但唯有從邊長、內(nèi)角大小等角度去界定，這才是真正的以“數(shù)量”去描述“圖形”，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，彰顯著數(shù)學(xué)思維的價值.

二是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)地思維”. 如果說“數(shù)學(xué)的思維”是一個靜態(tài)的概念的話，那么“數(shù)學(xué)地思維”就是一個動態(tài)的概念. “數(shù)學(xué)地思維”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系在于其是對“用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物，用數(shù)學(xué)的邏輯判斷事物，用數(shù)學(xué)的語言描述事物”的高度概括，意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中有觀察、判斷和描述的動態(tài)需要，意味著學(xué)生是伴隨著這些過程完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的.

比如，“三角形的穩(wěn)定性”這一知識中，給學(xué)生提供生活中的一些三角形圖形（如圖1），要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，就必須讓他們在“為什么房梁要設(shè)計成這個形狀”這一問題的驅(qū)動之下進行思考. 只有這樣學(xué)生才會有意識地進行數(shù)學(xué)抽象，并進行適當?shù)耐评?，最后用語言來描述. 這樣的一個動態(tài)過程就是“數(shù)學(xué)地思維”過程，學(xué)生的思維能力可以在這樣的過程中得到充分的培養(yǎng).

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)

既然當前教育的大背景是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，那對于初中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，就要在這樣的背景之下去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識、提升學(xué)科素養(yǎng)的主要載體，那么教師所設(shè)計的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)指向高階思維的發(fā)展（學(xué)生思維能力培養(yǎng)的標志，就是從低階思維走向高階思維）. 在目標設(shè)計的時候要突出關(guān)鍵能力導(dǎo)向，在內(nèi)容設(shè)計的時候要突出問題任務(wù)導(dǎo)向，在過程設(shè)計的時候要突出主體實踐導(dǎo)向，在評價設(shè)計的時候要突出批判反思導(dǎo)向. 只要滿足了這些條件，那么學(xué)生在實際的學(xué)習(xí)過程中就能夠投入高階的學(xué)習(xí)活動，進而經(jīng)歷鍛煉高階思維的過程，最終發(fā)展高階思維能力.

例如，在“三角形的穩(wěn)定性”這一知識的教學(xué)中，筆者在設(shè)計教學(xué)目標的時候，就特別強調(diào)“要讓學(xué)生通過有效的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，得出三角形具有穩(wěn)定性”這一目標，因為在筆者看來，只有明確了這兩個要素（實際上當學(xué)生得出三角形具有穩(wěn)定性這一認識之后，數(shù)學(xué)建模這一要素也得到了體現(xiàn)），才能讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)意識去鍛煉思維.

而在具體的內(nèi)容設(shè)計與過程設(shè)計中，筆者重點設(shè)計了一個充滿對比性的數(shù)學(xué)實驗過程. 也就是分別讓學(xué)生用準備好的學(xué)具（若干根可以連接的木片），然后分別去組成三角形、四邊形、五邊形等，再分別去扭動，看它們的形狀是否發(fā)生改變. 通過學(xué)生的體驗與比較可以發(fā)現(xiàn)，唯有三角形的形狀是不會改變的. 由于這是一個學(xué)生自己體驗的比較過程，因此學(xué)生可以形成比較深刻的直覺性認識，這一認識中有一個很重要的比較思路，即促使學(xué)生思考“三角形的形狀不會改變說明了什么”. 教師此時可以順著學(xué)生的思維提出一個問題：“如果從數(shù)學(xué)的角度來看三角形的這一特征，那應(yīng)當如何來描述？”這實際上是一個將學(xué)生的思維從一般性思維引向數(shù)學(xué)思維的過程，而在這一問題的驅(qū)動之下，學(xué)生的思維也就更加具有數(shù)學(xué)意味，他們會思考“三角形的這種固定，如果用數(shù)學(xué)語言來描述，那么應(yīng)該如何描述？”思考過程中學(xué)生給出的答案是具有階梯性的，比如有學(xué)生剛開始認為“只要一個圖形的邊或者角固定不變，那就說明這個圖形是穩(wěn)定的”，后來才發(fā)現(xiàn)不應(yīng)當是“或”，而應(yīng)當是“且”. 為了闡述這一觀點，學(xué)生也舉出了相應(yīng)的例子，比如平行四邊形在變化的過程中邊的長度不變，又比如說用皮筋繃成的三角形可以在角度不變的情況下改變邊的長度. 學(xué)生能夠主動地想到這些例子來證明自己的觀點，就說明學(xué)生處于一個深度思維的狀態(tài)，具有了高階思維的水平，是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到培養(yǎng)的實實在在的過程.

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)要抓住基本

特征

著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞，在他的經(jīng)典著作《怎樣解題》中曾經(jīng)這樣啟發(fā)學(xué)生：解決數(shù)學(xué)問題要善于聯(lián)想——你以前見過它嗎？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？這里有一個與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？這樣一段通俗的表述，深刻地見識了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的重要價值以及具體的運用策略. 也就是說在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要讓學(xué)生在面對新問題的時候，從已有的經(jīng)驗中尋找蛛絲馬跡，進行廣泛的聯(lián)系，這樣往往可以將思維的觸角伸向陌生的領(lǐng)域. 在這個過程中，筆者以為必須特別強調(diào)：數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一定要抓住思維的基本特征.

在眾多特征中，筆者想重點強調(diào)的是思維的多向性. 所謂思維的多向性，就是從不同的角度思考問題，既思前因，又思后果，擴大思路有所突破. 這種多向性具體表現(xiàn)在能自如地從一種心理運算轉(zhuǎn)換到另一種性質(zhì)不同的心理運算過程. 這是高階思維的根本體現(xiàn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個重要抓手，瞄準學(xué)生的思維，多向性去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，既可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有一定的深度，又可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有一定的廣度. 在同時滿足了深度和廣度這兩個要求之后，學(xué)生在新的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)以及新的數(shù)學(xué)問題解決過程中，往往能夠進行更為廣泛的聯(lián)系，進行更加深度的推理，而只要做到這一點，就不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，也促進了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.

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