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    “再創(chuàng)造”范式下的一題一課復(fù)習(xí)

    2021-03-19 22:51:47胡柳青
    關(guān)鍵詞:一題一課再創(chuàng)造數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

    胡柳青

    [摘 ?要] 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”,也就是學(xué)生要學(xué)習(xí)的東西由自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來. 教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種“再創(chuàng)造”的工作,而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生. 文章以“反比例函數(shù)k的幾何意義”為例,結(jié)合一題一課復(fù)習(xí)詳盡地展現(xiàn)了這一范式操作的可行性和科學(xué)性,闡述實(shí)際操作中如何謀篇布局,提質(zhì)促效.

    [關(guān)鍵詞] 再創(chuàng)造;一題一課;數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

    問題提出

    弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào):學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”,也就是學(xué)生要學(xué)習(xí)的東西由自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來. 教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助進(jìn)行“再創(chuàng)造”的工作,而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生. 因此,進(jìn)行有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”無可非議是每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者必須領(lǐng)會(huì)和遵循的教學(xué)思想.

    省特級(jí)教師、正高級(jí)教師盛志軍于2017年成立桐廬縣、富陽(yáng)區(qū)杭州市農(nóng)村名師工作室. 工作室以弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論為指導(dǎo),開展《再創(chuàng)造:基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課堂范式研究》的課題研究(浙江省教研規(guī)劃課題G2019028). “再創(chuàng)造”教學(xué)范式顯著特征就是強(qiáng)調(diào)學(xué)生再創(chuàng)造者的地位,經(jīng)歷知識(shí)的再創(chuàng)造過程,注重與生活的聯(lián)系和應(yīng)用. 根據(jù)弗氏相關(guān)理論,我們把“再創(chuàng)造”教學(xué)的基本理念描述如下(如圖1):

    (1)確定處于學(xué)術(shù)狀態(tài)的“現(xiàn)成數(shù)學(xué)”中的核心內(nèi)容作為教學(xué)材料;

    (2)把核心問題回溯到學(xué)生的現(xiàn)成數(shù)學(xué)狀態(tài)中去,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題;

    (3)引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知聯(lián)結(jié)(尋求興趣點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和疑難點(diǎn)等),通過“水平數(shù)學(xué)化”分析問題,初步解決核心問題;

    (4)鞏固核心內(nèi)容,并以此為起點(diǎn),“垂直數(shù)學(xué)化”,拓展探索,發(fā)現(xiàn)新的問題,水平探索……螺旋上升,循環(huán)往復(fù).

    三年來,工作室開展了豐富多彩的實(shí)踐活動(dòng),就如何實(shí)施“再創(chuàng)造”教學(xué)進(jìn)行有益探索并構(gòu)建基本范式(如圖2). 《反比例函數(shù)k的幾何意義》為工作室成員盧老師的一堂示范課,現(xiàn)摘錄如下,以饗同仁.

    課例展示

    1. 復(fù)習(xí)課題

    反比例函數(shù)k的幾何意義.

    2. 復(fù)習(xí)目標(biāo)

    (1)經(jīng)歷從函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)向x、y軸作垂線所得三角形(矩形)面積的探索過程,進(jìn)一步理解函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

    (2)通過探究函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,感受數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法.

    (3)能夠靈活運(yùn)用函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,解決一些比較綜合的問題,理解函數(shù)系數(shù)k的本質(zhì).

    3. 學(xué)情分析

    浙教版教材中,學(xué)生在八上學(xué)習(xí)函數(shù)、一次函數(shù),在八下學(xué)習(xí)反比例函數(shù),在九上學(xué)習(xí)二次函數(shù),在九下學(xué)習(xí)三角函數(shù)等. 反比例函數(shù)學(xué)習(xí),可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)概念,熟悉研究過程與思考方法,為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 在學(xué)習(xí)中,學(xué)生對(duì)于函數(shù)解析式等理解相對(duì)透徹,對(duì)幾何意義的理解尚顯不足. 反比例函數(shù)的問題解決,通常會(huì)與圖形面積交匯一起,通過對(duì)應(yīng)關(guān)系滲透數(shù)形結(jié)合思想,從而理解函數(shù)系數(shù)k、函數(shù)解析式和函數(shù)圖形的內(nèi)在聯(lián)系,建立“數(shù)”“式”“形”的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 為此,本節(jié)課將在原有模型基礎(chǔ)上構(gòu)建新模型,通過水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化,激發(fā)學(xué)生更深層次的思維活動(dòng),實(shí)現(xiàn)反比例函數(shù)k的幾何意義的“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí). 本節(jié)課確定如下幾點(diǎn).

    中心:反比例函數(shù)k的幾何意義;

    重心:反比例函數(shù)k的幾何意義的綜合問題探究;

    核心:反比例函數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

    4.思考方向

    函數(shù)背景考點(diǎn)多. 反比例函數(shù)知識(shí)繁雜,需要熟練掌握概念、圖像、性質(zhì)與應(yīng)用等. 知識(shí)間不是獨(dú)立存在的,往往相互聯(lián)系,綜合程度比較高. 反比例函數(shù)已然成為中考的??純?nèi)容,形式越來越新穎,探索性越來越強(qiáng). 本節(jié)課以反比例函數(shù)系數(shù)k為突破口,探究其與矩形、三角形面積的內(nèi)在聯(lián)系,將知識(shí)進(jìn)行整理、融合、提升,對(duì)學(xué)生分析和解決問題的能力提出更高要求.

    圖像變化種類多. 利用k的幾何意義解決反比例函數(shù)與面積的綜合問題,通常會(huì)在基礎(chǔ)圖形(見圖3)上變化延伸,從而產(chǎn)生更多圖形. 如何在眾多變形中找出內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而有效解決,就需要他們熟練掌握基礎(chǔ)圖形,概括歸納尋求共性,進(jìn)而找出通解通法.

    思維提升阻礙多. 反比例函數(shù)是最基本的初等函數(shù),是學(xué)習(xí)二次函數(shù)、三角函數(shù)乃至對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),系數(shù)k與生俱來的代數(shù)意義和幾何意義,完美體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”. 已知系數(shù)k,就應(yīng)該聯(lián)想到相關(guān)圖形面積,考慮系數(shù)k的幾何意義;反之,如果知道相關(guān)面積信息,就應(yīng)該考慮系數(shù)k的代數(shù)意義. 學(xué)習(xí)時(shí),學(xué)生們往往會(huì)割裂其聯(lián)系,顧此失彼. 這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生打破原有的知識(shí)壁壘,從復(fù)雜圖形中抽絲剝繭地找出基礎(chǔ)模型,尋找解決問題的鑰匙,實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí).

    基于以上分析,本節(jié)課將通過模型來研究題型,依托一題多解和多題一解,對(duì)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義進(jìn)行再次理解和歸納,從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能和思想方法上的“再創(chuàng)造”.

    5. 設(shè)計(jì)思路

    環(huán)節(jié)一 ?本源回溯

    (1)我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等知識(shí),請(qǐng)思考:

    問題1:平面直角坐標(biāo)系上有一點(diǎn)A(1,6),你能得到過點(diǎn)A的函數(shù)嗎?如果有點(diǎn)A(1,6)和點(diǎn)B(2,3),你能得到過點(diǎn)A,B的函數(shù)嗎?如果有點(diǎn)A(1,6)、點(diǎn)B(2,3)、點(diǎn)C(-1,-6),你能得到過點(diǎn)A,B,C的函數(shù)嗎?

    問題2:①如圖4,如果有點(diǎn)A(1,6)、點(diǎn)B(2,3)、點(diǎn)C(-1,-6)和點(diǎn)D(-2,-3),你能得到過點(diǎn)A,B,C,D的函數(shù)嗎?你能找出圖像上的其他點(diǎn)嗎?

    ②如圖5,在函數(shù)圖像上,過點(diǎn)B向x,y軸作垂線,垂足為E,F(xiàn),則OEBF面積為多少?若P(x,y)是圖像上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P向x,y軸作垂線,垂足為M,N,則OMPN面積為多少?

    ③如圖6,過點(diǎn)A,B,C,D作x軸(或y軸)垂線,該點(diǎn)、垂足與點(diǎn)O構(gòu)成四個(gè)三角形,求三角形面積. 如果P是函數(shù)圖像上任意點(diǎn),作x軸(或y軸)垂線,求垂足、點(diǎn)P、點(diǎn)O所構(gòu)三角形面積.

    設(shè)計(jì)說明:本源回溯是整個(gè)課堂教學(xué)的基礎(chǔ),務(wù)須符合認(rèn)知需求,強(qiáng)調(diào)知識(shí)銜接. 教師從經(jīng)過一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)點(diǎn)的解析式入手,從本源上引導(dǎo)學(xué)生回溯系數(shù)k與幾何面積的聯(lián)系,關(guān)注k的代數(shù)意義與幾何意義. 只有本源回溯精準(zhǔn),才能從學(xué)生實(shí)際出發(fā),開展適合學(xué)生認(rèn)知的學(xué)習(xí),以此來加強(qiáng)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的實(shí)效性,為“再創(chuàng)造”提供可行條件.

    環(huán)節(jié)二 ?新知再造

    設(shè)計(jì)說明:新知再造要引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò),在整體結(jié)構(gòu)中理解數(shù)學(xué)本質(zhì). 學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等均有不同,有獨(dú)特“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”. 教師課堂教學(xué)“再創(chuàng)造”,要根植學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“思維水平”,創(chuàng)設(shè)豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng),分別經(jīng)歷知識(shí)的水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化,完成“再創(chuàng)造”,達(dá)成知識(shí)建構(gòu). 拓展一,先求出點(diǎn)A,B,延長(zhǎng)BO交另一支于點(diǎn)C,如圖14,利用對(duì)稱性得BO=CO,△AOB與△AOC面積相等,求得△AOB面積. 拓展二,由一支曲線上兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩支曲線的特殊點(diǎn),如圖16,連接OA,OB,得S△APB=S△AOB,利用模型求得S△APB=S△AOB=S△AOC-S△BOC=2. 拓展三,將特殊點(diǎn)又轉(zhuǎn)化為一般點(diǎn)(如圖18),將同一象限的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為不同象限的兩點(diǎn)(如圖20、22),仍可用類似方法求解:?jiǎn)栴}1,如圖19,過A,B作x軸垂線AM,BN,轉(zhuǎn)化為四邊形與三角形面積的和(差):S△AOB=S△AOM+S四邊形AMNB-S△OBN,與例題不同的地方是:由于點(diǎn)在不同函數(shù)上,故兩個(gè)三角形面積不相等;問題2則與拓展一完全相同,可利用中心對(duì)稱性,如圖21,延長(zhǎng)BO交雙曲線另一支于點(diǎn)C,得S△ABO=S△ACO;問題3則與前兩問題的解法相似,如圖23,轉(zhuǎn)化為四邊形與三角形面積的和(差). 教師逐步引導(dǎo)下,找出問題共性,一題多解,多題一解,體會(huì)利用基礎(chǔ)模型解決復(fù)雜問題的便利,最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的“再創(chuàng)造”.

    設(shè)計(jì)說明:后續(xù)聯(lián)結(jié)是整節(jié)課的知識(shí)回顧,也可以是下節(jié)課的本源回溯,但不能和預(yù)習(xí)與復(fù)習(xí)混淆. 后續(xù)聯(lián)結(jié)是鞏固所學(xué)知識(shí)、形成技能方法、培養(yǎng)良好思維、發(fā)展核心素養(yǎng)的重要途徑. 問題選擇時(shí)也要適當(dāng)提升難度,培養(yǎng)發(fā)散思維,提升創(chuàng)新思維,在持續(xù)發(fā)展中不斷“再創(chuàng)造”. 上述題目均選自2020年中考真題,著重考查學(xué)生是否掌握了反比例系數(shù)k的幾何意義,起到課后檢測(cè)的作用.

    反思跟進(jìn)

    “再創(chuàng)造”范式下的一題一課復(fù)習(xí),是一個(gè)讓學(xué)生在更高視野下的構(gòu)建知識(shí)的過程,也是一個(gè)讓學(xué)生在更深思維下的感受生長(zhǎng)的過程,還是一個(gè)讓學(xué)生在更精文化下的發(fā)展自我的過程. 本節(jié)課從一個(gè)主問題開始,以點(diǎn)帶面、由淺入深地復(fù)習(xí)整章知識(shí),通過反比例函數(shù)k的幾何意義串聯(lián)形成一條主線,不同的知識(shí)又由這條主線關(guān)聯(lián)在一起,從而使得復(fù)習(xí)教學(xué)走向簡(jiǎn)約而高效.

    1. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課,要選準(zhǔn)一個(gè)好題

    數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)該有一定的廣度和深度. 廣度是橫向上的容量與范圍,深度則是縱向上的數(shù)學(xué)思考. 一題一課,知識(shí)的掌握、方法的提升、思想的領(lǐng)悟都凝聚于題,一題的選擇就尤其關(guān)鍵. 首先,知識(shí)內(nèi)容應(yīng)該是主干知識(shí)、重要思想,而不能旁枝逸出,輕重不分;其次,知識(shí)含量應(yīng)該充足,或者可供拓展,能進(jìn)行豐富和必要的發(fā)散提升;最后,知識(shí)種類應(yīng)該豐富,是多種類、多樣化的,既要有知識(shí)、技能,又要有思想、方法和活動(dòng)體驗(yàn). 教學(xué)時(shí)還要對(duì)所選例題進(jìn)行充分的、必要的、精細(xì)的打磨,要將所選問題與教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行關(guān)聯(lián),弱化無關(guān)知識(shí),強(qiáng)化核心思想,從而保證最終解決的問題具有很高的價(jià)值.

    2. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課,要突出一個(gè)主體

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課就是要強(qiáng)調(diào)“學(xué)生之本位”,還“課堂之本色”. 教學(xué)中,要始終以學(xué)生為主體,嘗試引導(dǎo)學(xué)生參與變式、擬題活動(dòng),提出一些富有探究?jī)r(jià)值的問題,在問題中提升,使得學(xué)生對(duì)知識(shí)理解更為全面、更加透徹,讓不同層次學(xué)生有不同程度的理解深度,讓個(gè)性相異學(xué)生表達(dá)自主獨(dú)特的思考路徑,還要讓學(xué)生的疑惑引發(fā)教師的思考,將被動(dòng)灌輸轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)探究,從而將復(fù)習(xí)教學(xué)轉(zhuǎn)化為生動(dòng)有趣、學(xué)知育人的有效課堂.

    3. “再創(chuàng)造”范例下的一題一課,要經(jīng)歷一次生長(zhǎng)

    教育的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)就是讓學(xué)生經(jīng)歷成長(zhǎng)、見證成長(zhǎng)、完成成長(zhǎng). “再創(chuàng)造”范例下的一題一課復(fù)習(xí)秉承的是一種讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中成長(zhǎng)的理念,講究的是一種讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中成長(zhǎng)的策略. 具體地講,“再創(chuàng)造”范例下的一題一課,正是通過創(chuàng)設(shè)問題情境、獨(dú)立自主探究、生生合作交流、師生成果展示等過程,讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、類比、猜想、思考、驗(yàn)證、推理、轉(zhuǎn)化等過程,讓他們感受到數(shù)學(xué)可以如此有趣、輕松地學(xué),而且能夠理解與掌握研究數(shù)學(xué)、解決問題的常用思路和一般方法. 唯有如此,才能讓核心知識(shí)、重要思想的真正價(jià)值落到實(shí)處,也只有這樣,才能確保教學(xué)方向的準(zhǔn)確無誤,學(xué)習(xí)成效的顯著提升,才能真正激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,啟迪數(shù)學(xué)智慧,開拓思維能力,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    以往,在浩瀚的圖書館中尋找多日的資料,今天,借助百度、知乎可以信手拈來;以往,“知識(shí)就是力量”,未來,“思維才是力量”;以往,在職場(chǎng)中穩(wěn)操勝券的是“有知識(shí)的人”,未來,在職場(chǎng)中獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷的將是“會(huì)學(xué)習(xí)的人”……“再創(chuàng)造”就是讓學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)造知識(shí)的全過程. 只有教師“再創(chuàng)造”地教才能為學(xué)生“再創(chuàng)造”地學(xué)提供肥沃土壤,才能使學(xué)生的“再創(chuàng)造”能力不斷地得到發(fā)展.

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