一道平面幾何問題的多解和多變教學(xué)解析

劉一凡 陳算榮

[摘 ?要] 平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，幾何圖形千變?nèi)f化，解題角度多種多樣. 文章以一道平面幾何問題為例，通過對其進行一題多解和一題多變的教學(xué)分析，闡述如何在解題教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 平面幾何;直觀想象;邏輯推理;一題多解;一題多變

平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)生在平面幾何問題解答過程中的思維表現(xiàn)與直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)息息相關(guān)，因此，平面幾何問題解決的教學(xué)自然關(guān)聯(lián)著這些素養(yǎng)的落實和發(fā)展. 本文以一道平面幾何問題為例，通過解題教學(xué)分析，闡述如何引導(dǎo)學(xué)生抓住幾何圖形中給出的邊和角的信息，主動關(guān)聯(lián)與之相關(guān)的幾何知識，開展直觀想象，進而找到問題解答的有效路徑，并在后續(xù)的論證和求解過程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 此外，通過對問題進行變式，實現(xiàn)對原題信息不同角度的挖掘，從而進一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 由數(shù)量關(guān)系聯(lián)想位置特征，開辟數(shù)形結(jié)合的蹊徑

教學(xué)分析：教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：當(dāng)我們從“形”的角度一時難以突破時，我們可以借助什么？我們學(xué)過哪些方便我們進行數(shù)形結(jié)合的模型？在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生：由“∠A+∠B=90°”這個條件可以得到DA和CB有何位置關(guān)系？存在互相垂直的兩條線段為建立什么數(shù)學(xué)模型提供了可能？學(xué)生在教師問題串的引導(dǎo)下可以得出：建立平面直角坐標系. 接著，自然地“看”出以DA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，以兩條直線交點為原點建系. 合理建系后，要求線段EF的長度，便可通過確定點E、點F的坐標來完成. 由兩線段垂直關(guān)聯(lián)到平面直角坐標系這一思維過程有助于學(xué)生發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng)，利用坐標將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系也可以大大降低求解難度.

變式設(shè)計意圖：原題中的“中點”信息主要用于運用“直角三角形斜邊中線定理”，而缺少對“中位線”知識的關(guān)聯(lián)，所以本文設(shè)置變式1以彌補這一缺憾. 另外，變式1弱化條件，實現(xiàn)了對梯形這一特殊圖形的一般化.

教學(xué)分析：此題即求當(dāng)點G位于何處時，EG=FG. 要求的是一個等量關(guān)系，而由題已知的等量關(guān)系是：AD=BC，那么就要考慮如何在EG，F(xiàn)G與AD，BC之間建立數(shù)量聯(lián)系. 再次審題，“點E，F(xiàn)分別為DC，AB中點，點G為對角線DB上一動點”，教師可以啟發(fā)學(xué)生：我們學(xué)過哪些與“中點”有關(guān)的數(shù)量關(guān)系？并引導(dǎo)學(xué)生思考圖中的對角線將四邊形轉(zhuǎn)化為了什么圖形？通過師生、生生之間的對話、討論，使學(xué)生自己得出“三角形中位線定理”. 在這一過程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生從待求結(jié)論出發(fā)，回溯題目條件，通過邏輯推理厘清條件與結(jié)論、條件與條件之間的關(guān)系，將任務(wù)清晰化. 并且引導(dǎo)學(xué)生由條件中的幾何信息、圖形中的線條意義展開想象，進行直觀感知. 學(xué)生通過親歷這些思維過程，在潛移默化中養(yǎng)成這樣的思維習(xí)慣，對發(fā)展邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)大有裨益. 需要注意的是：構(gòu)造四邊形的對角線是處理四邊形問題的常用方法，對角線這條輔助線的添加，將學(xué)生較為陌生的任意四邊形轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的三角形，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法. 教師需要鼓勵學(xué)生在日常解題中積累幾何問題輔助線的添加方法，并將其內(nèi)化，實現(xiàn)揮灑自如，這有助于提升學(xué)生的直觀想象能力.

變式設(shè)計意圖：變式2亦是將原題中的“中點”信息與“中位線”知識進行關(guān)聯(lián)，變式1側(cè)重于考查中位線的數(shù)量關(guān)系，而變式2側(cè)重于考查中位線的位置關(guān)系. 此外，變式2以變式1為抓手，實現(xiàn)了對變式1中所積累的輔助線添加方法的應(yīng)用，因此學(xué)生能夠主動關(guān)聯(lián)、直觀想象，并從中感知到積累輔助線、發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的裨益.

教學(xué)分析：變式2的解題關(guān)鍵是將題中分散的三條長度信息通過合理轉(zhuǎn)化整合在一起. 此題輔助線的添加反映了一種通過圖形展開的想象力：教師可以引導(dǎo)學(xué)生由“中點”聯(lián)想學(xué)過的知識，在學(xué)生關(guān)聯(lián)到“中位線”的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考中位線一般適用的圖形：題中的任意四邊形能轉(zhuǎn)化為梯形嗎？能轉(zhuǎn)化為三角形嗎？如何將其轉(zhuǎn)化為三角形呢？這時，經(jīng)過變式1 的練習(xí)，學(xué)生對構(gòu)造四邊形對角線已有經(jīng)驗，所以學(xué)生能夠從積累的輔助線添加方法中進行合理提取，構(gòu)造出對角線及其中點. 這一過程發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，也提高了學(xué)生主動積累輔助線添加方法的積極性，而這種積累又為進一步提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)打下基礎(chǔ). 接著，根據(jù)已知條件聯(lián)系相關(guān)知識，對這些幾何圖形進行邏輯推理，完成求解過程.

變式設(shè)計意圖：幾何最值求解問題、動點問題都是中考的熱門問題，幾何圖形的變換、運動也是幾何直觀的重要內(nèi)容，可以使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)操作等具體感知過程，整體把握圖形與圖形之間的關(guān)系，學(xué)會用運動變化思想分析問題，于是我們對變式2進行改編，得到變式3，使問題由靜變動，從而發(fā)展學(xué)生對動態(tài)幾何的直觀想象素養(yǎng).

教學(xué)分析：對于動點問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生多畫圖（作出幾個具體情況下的點的位置），使學(xué)生通過畫圖直觀感受圖形變換中的變與不變. 再對這些具體的點進行分析，利用直觀想象感知動點的完整軌跡，進而直觀地發(fā)現(xiàn)變化過程中的最值位置;利用邏輯推理，從特殊情況入手，歸納出變化中的不變，并推廣到一般情形. 此題中點E的位置（圓心）和ED的長度（半徑）都是不變量，得到動點的運動軌跡（圓）后，利用轉(zhuǎn)化思維，原問題就轉(zhuǎn)化為求圓周上一動點D′到圓內(nèi)一定點F的距離的最小值，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)，最值的求解就水到渠成了.

教學(xué)啟示

直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展需要學(xué)生積累幾何經(jīng)驗，邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展需要學(xué)生養(yǎng)成嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)習(xí)慣. 在幾何教學(xué)過程中，教師可以鼓勵學(xué)生多畫圖、觀察圖形、合理想象，利用幾何圖形中邊和角的條件信息獲得輔助線的添加方法;可以通過一題多解、一題多變對基本圖形、輔助線常用添加方法等進行歸納、積累，使學(xué)生能夠?qū)缀螆D形進行直觀判斷與合理聯(lián)想，“看”出解題思路. 同時，教師要注意直觀想象與邏輯推理之間的密切聯(lián)系，要在做題時提醒學(xué)生：利用直觀想象得出的結(jié)論需要經(jīng)過邏輯推理給出嚴謹?shù)淖C明，進而提升學(xué)生的邏輯推理能力. 教師要引導(dǎo)學(xué)生在具體解題過程中，首先利用直觀想象直接感知幾何圖形的特征、性質(zhì)，聯(lián)想所學(xué)知識，“看”出解題思路，再借助邏輯推理進行驗證，給出完整嚴密的解題過程.

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