靈活運(yùn)用教材，緊抓學(xué)科核心素養(yǎng)培育す賾凇耙淮魏數(shù)的應(yīng)用（1）”的教學(xué)設(shè)計(jì)思考

潘正剛

【摘要】對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫串于教學(xué)的全程，教師只有充分了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識基礎(chǔ)，清晰掌握課堂教學(xué)目標(biāo)，才能設(shè)計(jì)出高質(zhì)量的教學(xué)活動.本文筆者以北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第四章第4節(jié)“一次函數(shù)的應(yīng)用（第1課時(shí)）”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，與其他初中數(shù)學(xué)教師共同探討如何讀懂課標(biāo)、整合教材、分析學(xué)情，科學(xué)地設(shè)計(jì)出一堂高質(zhì)量的初中數(shù)學(xué)課，使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中有效提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)圖像;數(shù)學(xué)建模;應(yīng)用意識;數(shù)形結(jié)合

本文以北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第四章第4節(jié)“一次函數(shù)的應(yīng)用（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)為例.此課在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常關(guān)鍵，既是難點(diǎn)，也是重點(diǎn)，這一節(jié)課將為學(xué)生開啟應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模這些具有數(shù)學(xué)特色的思維模式.

一、教學(xué)難點(diǎn)剖析

1.學(xué)生的困難

“一次函數(shù)的應(yīng)用”這一章的教學(xué)內(nèi)容作為研究函數(shù)的起始單元，每一節(jié)課都為后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和二次函數(shù)打下基礎(chǔ).“一次函數(shù)的應(yīng)用”是學(xué)生利用函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，也是學(xué)生體悟數(shù)形結(jié)合思想的重要關(guān)卡，是學(xué)生搭建數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的開始，從中可以讓學(xué)生初步理解數(shù)學(xué)在理工科中應(yīng)用的基本工具.因此，“一次函數(shù)的應(yīng)用”是發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的關(guān)鍵課程.

2.教師的困惑

在教學(xué)實(shí)踐中，使用北師大版教材的教師常常困惑于“學(xué)生在不會求解二元一次方程組的情況下，如何求解一次函數(shù)解析式”這一問題.基于自身已有的思維習(xí)慣和相對完整的知識系統(tǒng)，部分教師會調(diào)整教材的章節(jié)順序，先進(jìn)行“二元一次方程組”的教學(xué)，以利于學(xué)生求解一次函數(shù)解析式.

二、教材對比分析

筆者對目前國內(nèi)主流的北師大版教材、人教版教材這個(gè)知識點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)北師大版教材中，“一次函數(shù)的應(yīng)用”為獨(dú)立課程，出現(xiàn)在八年級上冊，有三個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)借助解析式解決實(shí)際問題，后面兩課時(shí)主要借助圖像解決實(shí)際問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中初步體會數(shù)形結(jié)合的思維方式，發(fā)展利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.此時(shí)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一次函數(shù)等相關(guān)知識，有了一定的數(shù)形結(jié)合思維，為求解一次函數(shù)解析式提供了理論基礎(chǔ).本課時(shí)有兩個(gè)難點(diǎn)：一是將實(shí)際問題抽象為函數(shù)問題，建立一次函數(shù)模型;二是求解一次函數(shù)解析式，由于“二元一次方程組”被編排在第五章，學(xué)生對用代數(shù)方法求解函數(shù)解析式難以理解.對此，部分教師將“二元一次方程組”提前教學(xué)，這是解決問題的一個(gè)辦法.

與北師大版教材相比，人教版教材有兩點(diǎn)不同的設(shè)計(jì)：一是設(shè)計(jì)以“一次函數(shù)的應(yīng)用”為題的獨(dú)立課時(shí)，二是“二元一次方程組”的內(nèi)容在一次函數(shù)之前.

盡管兩種教材在內(nèi)容編排的先后順序上有所不同，但都以解決現(xiàn)實(shí)問題為出發(fā)點(diǎn)，突出函數(shù)的模型思想和數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).實(shí)際上，學(xué)生普遍善于學(xué)習(xí)程序化的知識，對不同題型的解題邏輯較易上手，能較好地掌握一次函數(shù)中“數(shù)”的特征，但是對于函數(shù)圖像卻不甚理解.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)概述

據(jù)此，筆者設(shè)計(jì)以下教學(xué)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：初識數(shù)學(xué)建模

1.例題導(dǎo)入

圖1例1 隨著中國高鐵建設(shè)的飛速發(fā)展，廣州市作為華南地區(qū)的交通樞紐，由廣州出發(fā)的高鐵列車幾乎可以直達(dá)全國各大重要城市.圖1反映了某高鐵列車從廣州出發(fā)前往西安在行駛過程中與深圳的距離s（km）與行駛時(shí)間t（h）之間的數(shù)量關(guān)系（假設(shè)高鐵列車勻速行進(jìn)）.請思考：

問題1：坐標(biāo)系中的點(diǎn)（0，120）表示什么意義？

問題2：當(dāng)行駛時(shí)間為4 h時(shí)，高鐵列車和深圳的距離是多少？

問題3：兩個(gè)變量s和t具有函數(shù)關(guān)系嗎？你能求出函數(shù)解析式嗎？

問題4：當(dāng)t=8 h時(shí)，s的值是多少？當(dāng)s=1440 km時(shí)，t的值是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】北師大版教材的設(shè)計(jì)是求解正比例函數(shù)解析式，所創(chuàng)設(shè)的情境是物體“勻加速直線運(yùn)動”實(shí)驗(yàn)，該活動是高一的物理實(shí)驗(yàn)，初二的學(xué)生既沒有實(shí)驗(yàn)經(jīng)歷，也不理解 “加速度”的概念，欠缺與之相應(yīng)的活動經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，這個(gè)情境設(shè)計(jì)會讓學(xué)生感到困惑，難以建立函數(shù)模型.基于熟悉的情境、合適的問題有助于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.因此筆者舍棄了這個(gè)實(shí)驗(yàn)情境，一是從人教版教材中選用了路程問題的情境，并改編為學(xué)生更為熟悉的高鐵情境，二是將北師大版教材中呈現(xiàn)的正比例圖像改為一次函數(shù)圖像，提升難度.

“問題1”引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)特殊的點(diǎn)，學(xué)生理解并解釋點(diǎn)（0，120）的含義：出發(fā)時(shí)，高鐵列車與深圳的距離為120 km，這是廣州、深圳兩地之間的距離.

“問題2” 沒有按照教材的設(shè)計(jì)明確要求學(xué)生求解函數(shù)解析式，而是鼓勵(lì)學(xué)生自行尋找解決問題的方法.學(xué)生可以建構(gòu)函數(shù)模型，也可以用算術(shù)方法求解，從而為對比算術(shù)方法和函數(shù)方法創(chuàng)造機(jī)會.

基于“問題1”和“問題2”的解決，學(xué)生產(chǎn)生了用函數(shù)解決問題的意識，“問題3”則引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度思考，將直線與一次函數(shù)聯(lián)系起來，從而建立函數(shù)模型，學(xué)習(xí)用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b.鑒于解二元一次方程組是下一章的內(nèi)容，本課所研究的一次函數(shù)的某個(gè)參數(shù)（k或b）比較容易從所給的條件中直接獲得，再求解一元一次方程即可.學(xué)生利用函數(shù)解析式求解“問題4”可以積累將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步感受自變量和因變量的對應(yīng)關(guān)系，體悟函數(shù)中蘊(yùn)含的動態(tài)的辯證思維.

2.想一想

（1）一次函數(shù)解析式中k的實(shí)際意義是什么？b的實(shí)際意義是什么？

（2）確定一次函數(shù)的解析式需要幾個(gè)條件？

數(shù)學(xué)家阿蒂亞指出：“代數(shù)中，有序思維占主導(dǎo)地位;幾何中，視覺思維占主導(dǎo)地位.”通過“想一想”，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度思考、理解k表示高鐵列車的速度，b表示出發(fā)時(shí)高鐵列車與深圳的距離.從形的角度看，（0，b）是一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn).讓學(xué)生體會到“兩點(diǎn)確定一條直線”的公理是求解一次函數(shù)解析式的理論依據(jù).

環(huán)節(jié)二：再識數(shù)學(xué)建模

1.例題導(dǎo)入

例2 攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）是兩大國際主流的計(jì)量溫度的標(biāo)準(zhǔn).某學(xué)?？萍夹〗M查閱資料，獲得了攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）相對應(yīng)的5組數(shù)據(jù)如下表所示：

請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜想攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）之間的關(guān)系，并推測當(dāng)攝氏溫度為100 ℃時(shí)，華氏溫度是多少.

（1）以攝氏溫度為橫坐標(biāo)、華氏溫度為縱坐標(biāo)，將5組數(shù)據(jù)寫成5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描出以上5個(gè)點(diǎn);

（3）觀察這5個(gè)點(diǎn)的位置，猜想攝氏溫度（℃）與華氏溫度（）之間的關(guān)系，并求出關(guān)系式;

（4）根據(jù)猜想，求出當(dāng)攝氏溫度為100 ℃時(shí)，華氏溫度是多少.

【設(shè)計(jì)意圖】培育數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)至少有兩個(gè)方面的要求，一是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識，二是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的具體方法.原北師大版教材的設(shè)計(jì)指明了一次函數(shù)，注重講解用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.為了繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識，筆者首先在設(shè)問中去掉一次函數(shù)的指示，然后修改表格中的數(shù)據(jù)使其缺乏連續(xù)性，并設(shè)計(jì)作圖的要求，學(xué)生通過繪制圖像、觀察圖像，更容易聯(lián)想到一次函數(shù).計(jì)算中，學(xué)生是否能避開解二元一次方程組的困難，則取決于他們在分析表格中的數(shù)據(jù)時(shí)，能否理解（0，32）的代數(shù)意義.

2.想一想

（1）k的實(shí)際意義是什么？b的實(shí)際意義是什么？

（2）確定一次函數(shù)的表達(dá)式需要幾個(gè)條件？

【設(shè)計(jì)意圖】在不同的情境中運(yùn)用類似的方法得到相同的函數(shù)，學(xué)生會有更多收獲：

（1）讓學(xué)生從數(shù)的角度深刻理解k的實(shí)際意義，當(dāng)x增加1時(shí)，等于b增加的值為k，這為第三課時(shí)進(jìn)一步探究k的幾何意義積累經(jīng)驗(yàn);

（2）讓學(xué)生從形的角度理解點(diǎn)（0，b），它作為一次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)，是求解函數(shù)解析式的關(guān)鍵;

（3）學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念和基本原理有進(jìn)一步的理解：從形的角度看，正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像雖然都是一條直線，但不同之處在于正比例函數(shù)圖像必定經(jīng)過原點(diǎn)，因此只需再任意確定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)便可求解函數(shù)解析式;從數(shù)的角度看，一個(gè)是求解關(guān)于k的一元一次方程，另一個(gè)則是求解關(guān)于k和b的二元一次方程組.這個(gè)知識點(diǎn)雖然簡單，但它涉及數(shù)學(xué)對象的一個(gè)重要本質(zhì)概念：基本量.正比例函數(shù)含有一個(gè)基本量k，一次函數(shù)含有兩個(gè)基本量k和b.學(xué)生若能形成這樣的數(shù)學(xué)思維方式，必將加深其對數(shù)學(xué)對象的理解.

在環(huán)節(jié)二的教學(xué)活動中，學(xué)生完整地經(jīng)歷了分析問題、作出圖像、分析圖像、建立模型、求解模型、應(yīng)用模型的過程.

環(huán)節(jié)三：加深認(rèn)識數(shù)學(xué)建模

例3 某養(yǎng)雞場使用恒溫室孵化小雞，該恒溫室在0：00時(shí)的溫度為20 ℃，根據(jù)養(yǎng)殖要求需在0：00-2：00勻速升溫，每小時(shí)升高9 ℃，隨后在2：00-4：00保持恒溫.寫出孵化室的溫度T（單位： ℃）關(guān)于時(shí)間t（單位：h）在0：00-4：00時(shí)間段的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像.

【設(shè)計(jì)意圖】本題改編自人教版教材的練習(xí)題，原題的情境為先恒溫后升溫，現(xiàn)改為先升溫后恒溫，以降低學(xué)生求解一次函數(shù)解析式的難度.設(shè)計(jì)該題的目的是借助簡單的分段函數(shù)拓展一次函數(shù)的應(yīng)用，積累觀察函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識，讓學(xué)生深入體會數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用性和實(shí)用性.

四、教學(xué)反思

1.理解課標(biāo)、靈活運(yùn)用教材是提高教學(xué)質(zhì)量的前提

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求學(xué)生初步學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法等解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力.

“一次函數(shù)的應(yīng)用”這節(jié)課的意義在于對一次函數(shù)模型的解釋、應(yīng)用與拓展.本課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生經(jīng)歷分析實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，掌握建立一次函數(shù)模型的方法，初步形成用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界的意識.學(xué)生不僅要掌握一次函數(shù)y=kx+b的代數(shù)結(jié)構(gòu)，還要能從“數(shù)”的角度揭示k和b的實(shí)際意義，并從“形”的角度理解它們的幾何意義.

2.分析學(xué)情是教學(xué)成功的關(guān)鍵

2018年國家義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測結(jié)果顯示，全國八年級學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)五個(gè)指標(biāo)（運(yùn)算能力、空間想象力、數(shù)據(jù)分析能力、推理能力、問題解決能力）上處于中等及以上水平的比例分別為 82.6%，80.0%，78.4%，82.2%和71.8%.其中，比例最高的是運(yùn)算能力，比例最低的是問題解決能力.有理數(shù)和整式的運(yùn)算、一元一次方程和一次函數(shù)的運(yùn)算等知識已經(jīng)融入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.但面對實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生往往難以聯(lián)想到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識建模求解.為有效提升學(xué)生的問題解決能力，教師在教學(xué)中不妨減少一些方法性的指示，多一些為學(xué)生創(chuàng)造聯(lián)系知識和經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會，讓學(xué)生經(jīng)歷檢驗(yàn)和對比的過程，逐步形成數(shù)學(xué)建模的意識.

3.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是教學(xué)的根本方向

核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中逐步形成和發(fā)展的.本課以培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)為主要目標(biāo)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷將實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、分析圖像中的變量關(guān)系、建立函數(shù)模型、求解函數(shù)模型、應(yīng)用函數(shù)模型的過程.學(xué)生在學(xué)習(xí)中，體會數(shù)形結(jié)合的思想，形成數(shù)學(xué)建模的意識，熟悉并掌握數(shù)學(xué)建模的方法.教師需要認(rèn)真研讀不同版本的教材，準(zhǔn)確分析學(xué)情，科學(xué)合理地設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，才能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張奠宙，于波.數(shù)學(xué)教育的“中國道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.

[2]孔小軍.基于教材整合的教學(xué)設(shè)計(jì)與行為改進(jìn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（08）：16-19.

[3]詹金芳.數(shù)學(xué)建模源于自然、成于比較[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（03）：6-9.