一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法

鄭美華

【摘要】平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，它融數(shù)、形于一體，是代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的交匯點(diǎn).本文在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下，以三點(diǎn)共線(xiàn)定理引出推論，簡(jiǎn)化一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的求解.

【關(guān)鍵詞】平面向量線(xiàn)性表示;三點(diǎn)共線(xiàn)定理;推論;簡(jiǎn)化求解

平面向量在人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》A版必修四第二章，平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重要內(nèi)容之一.以平面向量為載體，結(jié)合其他知識(shí)的考查也是歷年全國(guó)各地高考命題的一大亮點(diǎn)，常常與解三角形、解析幾何、三角函數(shù)等內(nèi)容交叉滲透.高考對(duì)這部分的考查常以選擇、填空的形式出現(xiàn)，題型較穩(wěn)定，而解選擇、填空的基本要求和策略是：準(zhǔn)確、迅速.

在“平面向量”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，理解向量線(xiàn)性運(yùn)算的幾何意義更是本專(zhuān)題的教學(xué)目標(biāo)之一，學(xué)生往往不能做到恰當(dāng)轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是把握基本量的代數(shù)形式與幾何特征之間的聯(lián)系.一方面，復(fù)習(xí)中學(xué)生要時(shí)刻注意二者的聯(lián)系和相互表達(dá)，學(xué)會(huì)“看圖說(shuō)話(huà)”，另一方面，學(xué)生也可選擇恰當(dāng)?shù)睦}，對(duì)某些幾何特征量進(jìn)行歸納，逐漸學(xué)會(huì)“由數(shù)到形”的思維能力.

一、平面向量三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題拓展

1.定理

圖1如圖1，已知O是直線(xiàn)AB外任意一點(diǎn)，則A，B，P三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是PO=λOA+μO(píng)B，λ+μ=1（λ，μ∈R）.當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB之間移動(dòng)時(shí)，λ，μ∈（0，1）;當(dāng)點(diǎn)P落在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，λ<0，當(dāng)點(diǎn)P在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，μ<0.

2.推廣

問(wèn)題：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l上，且l與點(diǎn)O的距離是直線(xiàn)AB與點(diǎn)O距離的12，λ+μ=12嗎？反之亦然嗎？

圖2證明：延長(zhǎng)OP交AB于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.

∴OP=12OQ=12xOA+12yOB，

∴λ=12x，μ=12y，

∴λ+μ=12x+12y=12.

反之，當(dāng)λ+μ=12時(shí)，我們來(lái)證明滿(mǎn)足這個(gè)條件的點(diǎn)P都在直線(xiàn)l上.延長(zhǎng)OP交AB于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.設(shè)OP=tOQ，則OP=txOA+tyOB.

∴λ=tx，μ=ty，

∴λ+μ=tx+ty=12，∴t=12，

∴OP=12OQ，

∴點(diǎn)P在直線(xiàn)l上.

同理可證：（1）當(dāng)點(diǎn)P落在與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l上，且l與點(diǎn)O的距離是直線(xiàn)AB與點(diǎn)O距離的2倍時(shí)，λ+μ=2，反之也成立.（圖略） （2）當(dāng)點(diǎn)P落在與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l上，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l分別在點(diǎn)O兩側(cè)，并且點(diǎn)O到直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l的距離相等時(shí)，λ+μ=-1，反之也成立.（圖略）

3.推論

通過(guò)以上三個(gè)特殊的例子，可以得到一般性的結(jié)論：

已知O是直線(xiàn)AB外任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)AB，兩直線(xiàn)在點(diǎn)O同側(cè)，并且點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離是點(diǎn)O到直線(xiàn)AB距離的n倍，則點(diǎn)P落在直線(xiàn)l上的充要條件是λ+μ=n;

（2）當(dāng)點(diǎn)P所在直線(xiàn)l平行于直線(xiàn)AB，兩直線(xiàn)在點(diǎn)O異側(cè)，并且點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離是點(diǎn)O到直線(xiàn)AB距離的n倍，則點(diǎn)P落在直線(xiàn)l上的充要條件是λ+μ=-n.

證明：（1）“必要性”：設(shè)OP或其延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.

∴OP=nOQ=n（xOA+yOB）=nxOA+nyOB，

∴λ=nx，μ=ny，

∴λ+μ=nx+ny=n.

“充分性”：設(shè)OP或其延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于Q，則OQ=xOA+yOB，x+y=1.

設(shè)OP=tOQ=txOA+tyOB.

∴λ=tx，μ=ty，

∴λ+μ=tx+ty=n，

∴t=n，

∴OP=nOQ，

∴點(diǎn)P在直線(xiàn)l上.

綜合以上，推論（1）得證.

（2）證法同上.

有了三點(diǎn)共線(xiàn)定理的推論，可以大大簡(jiǎn)化某一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的解法.

二、平面向量三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題應(yīng)用

圖3例1 如圖3，A，B分別是射線(xiàn)OM，ON上的兩點(diǎn)，當(dāng)向量OP分別滿(mǎn)足下列條件時(shí)：①OP=13OA+23OB;②OP=43OA+23OB;

③OP=13OA+13OB;④OP=43OA-13OB.

點(diǎn)P分別落在哪一個(gè)區(qū)域？

解法一 直接在圖上作出每一種情形的向量OP.

解法二 ①由三點(diǎn)共線(xiàn)基本定理可知點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上.

②OP=13OA+23OB+OA，運(yùn)算即可求得點(diǎn)P在二區(qū)，③同理可求.

④有的學(xué)生可能會(huì)利用圖形分析發(fā)現(xiàn)它在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上.

解法三 ②OP=43OA+23OB=223OA+13OB，結(jié)合①可知點(diǎn)P在二區(qū).

③OP=13OA+13OB=2312OA+12OB，同上可知點(diǎn)P在一區(qū).

④可類(lèi)似直角坐標(biāo)系象限符號(hào)判斷，若學(xué)生未提及，看學(xué)生具體情況可稍加點(diǎn)撥.

解法四 由三點(diǎn)共線(xiàn)定理推論，由基底的系數(shù)符號(hào)及系數(shù)和即可判斷點(diǎn)P的位置.

解析 （1）由基底系數(shù)和是1且都是正數(shù)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上.

（2）由基底系數(shù)和比1大，且都是正數(shù)，點(diǎn)P在二區(qū).

（3）由基底系數(shù)和比1小，且都是正數(shù)，點(diǎn)P在一區(qū).

（4）由一個(gè)系數(shù)是負(fù)數(shù)判斷點(diǎn)P在三區(qū)，再由系數(shù)和是1可以進(jìn)一步判斷點(diǎn)P落在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上.

例2 三角形的角平分線(xiàn)定理：如圖4，在△ABC中，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于D，則ABAC=BDDC.已知點(diǎn)O在AD上，滿(mǎn)足AO=2OD，AC=2，BC=4，AB=3，且AO=xAB+yAC，利用三角形的角平分線(xiàn)定理可求得x+y的值為（? ）.

A.415??? B.25??? C.815??? D.23

圖4解法一 ∵ABAC=BDDC=32，∴BD=35BC，

∴AO=23AD=23AB+BD

=23AB+35AC-35AB

=2325AB+35AC，

∴x+y=2325+35=23.

解法二 過(guò)O作BC的平行線(xiàn)，由推論知，x+y的值即為直線(xiàn)l到點(diǎn)A的距離與直線(xiàn)BC到點(diǎn)A距離的比值，即線(xiàn)段AO與AD的比，故選D.

圖5

例3 （2017全國(guó)3理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（? ）.

A.3B.22

C.5D.2

解法一 由題意，畫(huà)出圖形，如圖5所示.設(shè)BD與⊙C相切于點(diǎn)E，連接CE.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸正半軸，AB為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）.

因?yàn)閨CD|=1，|BC|=2，所以|BD|=12+22=5.

因?yàn)锽D與⊙C相切于點(diǎn)E，所以CE⊥BD，

所以CE是Rt△BCD斜邊BD上的高，

∴|EC|=2S△BCD|BD|=2·12·|BC|·|CD||BD|=25=255，

即⊙C的半徑為255.

因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙C上，所以點(diǎn)P的軌跡方程為（x-2）2+（y-1）2=45.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），可以設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)滿(mǎn)足的參數(shù)方程x0=2+255cos θ，y0=1+255sin θ.

而AP=（x0，y0），AB=（0，1），AD=（2，0）.

因?yàn)锳P=λAB+μAD=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ），

所以μ=12x0=1+55cos θ，λ=y0=1+255sin θ.

兩式相加得

λ+μ=1+255sin θ+1+55cos θ=2+2552+552·sin（θ+φ）=2+sin（θ+φ）≤3其中sin φ=55，cos φ=255，

圖6當(dāng)且僅當(dāng)θ=π2+2kπ-φ，k∈Z時(shí)，λ+μ取得最大值為3.故選A.

解法二 如圖所示，由定理推論，可得λ+μ的最大值為3.

通過(guò)以上幾個(gè)例子，我們歸納出OP=xOA+yOB這一類(lèi)平面向量線(xiàn)性表示問(wèn)題的解法：（1）由基底前系數(shù)的符號(hào)及系數(shù)和可以判定點(diǎn)P的位置.（2）由點(diǎn)P位置的變化，過(guò)點(diǎn)P作與AB平行的直線(xiàn)l，由直線(xiàn)l與點(diǎn)O距離和直線(xiàn)AB與點(diǎn)O距離的比值可以得到基底系數(shù)和的范圍，從而得到基底系數(shù)和的最大或最小值.

三、結(jié) 語(yǔ)

總之，平面向量是一個(gè)運(yùn)算的工具，它具備形與數(shù)轉(zhuǎn)化的便利.教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該不斷地讓學(xué)生嘗試發(fā)散思維，在顯著的幾何特征圖形中尋找向量關(guān)系，在代數(shù)運(yùn)算的情景下構(gòu)造向量關(guān)系，并能歸納解題模型.平面向量問(wèn)題是多姿多彩的，利用其運(yùn)算的幾何意義來(lái)發(fā)掘平面的內(nèi)在本質(zhì)是解決平面問(wèn)題的有效手段，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在解題教學(xué)過(guò)程中的滲透.

【參考文獻(xiàn)】

[1]胡傳虎.平面向量三點(diǎn)共線(xiàn)定理在高考中的運(yùn)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2020（03）：36-39.

[2]黃鵬程.用幾何法處理平面向量中最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（03）：48-51.

[3]羅賢旭.一道平面向量題解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2020（03）：34-36.