“圓的第一節(jié)復(fù)習(xí)課”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

齊肖肖

【摘要】本文筆者從不同視角研究圓的復(fù)習(xí)課教學(xué)的新模式，基于生活經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)“破鏡重圓”的生活問題，采用三段式教學(xué)層層遞進(jìn)復(fù)習(xí)圓的相關(guān)概念、定理和性質(zhì)，通過課堂效果，反思提煉教學(xué)革新方法，融入整體建構(gòu)思想，開發(fā)學(xué)生思維，讓圓的知識(shí)系統(tǒng)化，幫助學(xué)生更好、更有效地消化吸收課堂中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，用生活經(jīng)驗(yàn)配合整體建構(gòu)思想打造新的初三復(fù)習(xí)新模式.

【關(guān)鍵詞】圓;三段式教學(xué);整體建構(gòu)

引言：圓是蘇科版初中教材中最后學(xué)習(xí)的幾何圖形，學(xué)生在小學(xué)時(shí)就已經(jīng)能從具體的事物中抽象出圓的形狀，對(duì)圓有一定的了解.圓的知識(shí)位于蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第二章內(nèi)容，學(xué)生剛學(xué)習(xí)過圓的概念、與圓相關(guān)的定理和圓的一些性質(zhì)，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，學(xué)生如果不及時(shí)復(fù)習(xí)，那么殘留在腦海里的圓的知識(shí)會(huì)越來越少，再加之圓這一章涉及的知識(shí)點(diǎn)繁雜，因此圓的第一節(jié)復(fù)習(xí)課不能過多追求難度的提升.針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該略高于新課引入設(shè)置問題情境，可以充分利用知識(shí)導(dǎo)圖，幫助學(xué)生搭建整體結(jié)構(gòu)體系.因此本堂課的主旨是概念的梳理和性質(zhì)、概念的總結(jié)歸類.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出：“數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具[1]”，因此教師在整堂復(fù)習(xí)課中應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、總結(jié)等基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、教學(xué)設(shè)計(jì)過程

整堂課以回顧、思考本章所學(xué)知識(shí)及所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法為主，并讓學(xué)生用自己喜歡的方式對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理，使其所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化;進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)“對(duì)稱圖形——圓”的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生能有條理地、清晰地闡明自己的觀點(diǎn);以培養(yǎng)學(xué)生歸納、反思的意識(shí)為教學(xué)目標(biāo)，采用講授法、討論法、動(dòng)手操作法等教學(xué)方法，讓學(xué)生動(dòng)手作圖，通過觀察——發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題——總結(jié)方法的基本研究方式歸納圓這一章的知識(shí)點(diǎn)，形成完整的知識(shí)導(dǎo)圖.

二、教學(xué)過程

采用四個(gè)板塊，依次為：確定圓的條件，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓心角、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系及回歸本“圓”.考慮到課堂容量有限，并結(jié)合教參的教學(xué)建議，將直線與圓的位置關(guān)系這部分內(nèi)容放置在復(fù)習(xí)課的第二課時(shí).教學(xué)時(shí)以現(xiàn)實(shí)生活中的圓鏡為“引”，層層遞進(jìn)，逐步引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建圓的知識(shí)體系.

板塊1 確定圓的條件

圖1任務(wù)1：小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖1所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片可以是.

問題1：帶第1塊可不可以？為什么？（預(yù)設(shè)：第1塊只含有圓上兩個(gè)點(diǎn)無法確定圓心位置）

圖2

圖3問題2：那可以帶哪塊去？怎樣確定圓心位置？（預(yù)設(shè)：應(yīng)該帶第3塊，如圖2所示，可以在弧CD上再取一個(gè)點(diǎn)P，連接PC，PD，作PC，PD的垂直平分線，即可確定圓心O，再以O(shè)C為半徑即可還原圓形鏡子）

問題3：上述過程利用的是“垂徑定理”，涉及了圓的軸對(duì)稱性，在圖3中，利用圓的軸對(duì)稱性還可以得到： ①CK=PK，CM=PM（對(duì)應(yīng)的弦相等）;②弧CK=弧KP、弧CM=弧PM（對(duì)應(yīng)的弧相等）;③△CKN≌△PKN、△CMN≌△PMN（對(duì)應(yīng)角和邊相等）.

練習(xí)：①若弧CK的度數(shù)為10°，則弧PM的度數(shù)為.②若OM=13，ON=12，則CP的長(zhǎng)為.

任務(wù)小結(jié)：利用軸對(duì)稱性可以求角度，結(jié)合垂徑定理可以求弦長(zhǎng).最終得出：要確定一個(gè)圓，除了已知圓心和半徑外，不在同一直線上的三點(diǎn)也可以確定一個(gè)圓.

設(shè)計(jì)目的：回顧圓的定義及圓的基本組成要素：圓心定位置，半徑定大小.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不在同一直線上的三點(diǎn)也可以唯一確定一個(gè)圓.結(jié)合確定圓心的方法，引申出圓的軸對(duì)稱性，結(jié)合圓的軸對(duì)稱性找出求角度和弦長(zhǎng)的一般方法.

板塊2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

圖4任務(wù)1：在圖4中，以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作⊙A，若B，E，F(xiàn)三點(diǎn)：①恰有一點(diǎn)在⊙A內(nèi)，則r的范圍為;②恰有兩點(diǎn)在⊙A內(nèi)，r的范圍為;③恰有三點(diǎn)在⊙A內(nèi)，則r的范圍為;

任務(wù)2：若點(diǎn)E到⊙A上點(diǎn)的最近距離為4，最遠(yuǎn)距離為6，則⊙A的半徑為.

小結(jié)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系通過點(diǎn)心距與半徑的大小關(guān)系來確定，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想，任務(wù)2中體現(xiàn)了分類討論的思想，可以分點(diǎn)E在圓內(nèi)、點(diǎn)E在圓外來考慮.

設(shè)計(jì)目的：根據(jù)教材內(nèi)容編寫次序由淺入深、層層遞進(jìn)式復(fù)習(xí)，方便學(xué)生回顧已學(xué)的知識(shí)點(diǎn).

板塊3 圓心角、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系

任務(wù)1：在圖5中，弦AB=弦EF，∠AOB=∠EOF，弧AB=弧EF三個(gè)條件中，其中一個(gè)成立，另外兩個(gè)條件也成立.利用中心對(duì)稱性，可得△AOB≌△FOE，△BOE≌△AOF，對(duì)應(yīng)的邊和角均相等.

任務(wù)2：如圖6所示，觀察△AOB在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)的弧、弦、角和形還具有等量關(guān)系嗎？（預(yù)設(shè)，結(jié)論依舊成立）

圖5? 圖6

圖7練習(xí)：如圖7所示，已知⊙O的半徑為5，弦A′B′，EF所對(duì)的圓心角分別是∠A′OB′，∠EOF，∠A′OB′與∠EOF互補(bǔ)，①若弦EF=6，則弦A′B′的長(zhǎng)為.②若∠OA′B′=30°，則∠EOF的度數(shù)為.

小結(jié)：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)直徑所對(duì)的圓周角為90°，90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑;同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半.

設(shè)計(jì)目的：研究問題遵循從特殊到一般的步驟，在梳理知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)向?qū)W生滲透思想方法.口述練習(xí)主要考查的是學(xué)生利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性解決問題的能力.

板塊4 回歸本“圓”

任務(wù)1：如圖8，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為.

圖8

練習(xí)：若∠CAD=90°，∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，則∠CBD=.

小結(jié)：在解題過程中，要注意隱藏的圓，簡(jiǎn)化解題過程.

設(shè)計(jì)意圖：考查圓周角與圓心角的關(guān)系，同時(shí)讓學(xué)生加深對(duì)圓的理解：圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，讓學(xué)生回歸本“圓”.

課堂小結(jié)：本堂課復(fù)習(xí)了圓、圓的對(duì)稱性、確定圓的條件和圓周角四節(jié)課的內(nèi)容，重點(diǎn)復(fù)習(xí)圓周角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，在研究問題時(shí)應(yīng)追根溯“圓”.

思考題：AB是半圓的直徑，圖9中，點(diǎn)C在半圓外，圖10中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求畫圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（1）在圖9中，畫出△ABC的三條高的交點(diǎn);

（2）在圖10中，畫出△ABC中AB邊上的高，簡(jiǎn)要說說你的作圖依據(jù).

圖9 圖10 圖11

小結(jié)：可以利用直徑所對(duì)的圓周角等于90°，巧妙構(gòu)造各邊的高線.

變式：如圖11所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，∠BAD是△ABC的一個(gè)外角，它的平分線交⊙O于點(diǎn)E.不使用圓規(guī)，請(qǐng)你僅用一把不帶刻度的直尺作出∠BAC的平分線，并說說你的理由.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用弧、圓周角、圓心角之間最基礎(chǔ)的性質(zhì)巧妙構(gòu)造輔助線解決問題.

知識(shí)導(dǎo)圖設(shè)計(jì)：

復(fù)習(xí)要回歸本“圓”（源）

三、教學(xué)反思

1.引入要小步快走

課堂雖然以實(shí)際情境引入，但是起點(diǎn)略微拔得過高，導(dǎo)致后續(xù)的問題串施展不開，也不利于后面教學(xué)活動(dòng)的順利開展.“破鏡重圓”固然是好事，但是對(duì)于知識(shí)記憶模糊的初三學(xué)生，過高的引入門檻會(huì)讓他們望而卻步.因此在這里應(yīng)當(dāng)降低引入門檻.教師可以充分利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)工具，讓學(xué)生動(dòng)手操作.例如，讓學(xué)生拿出一張圓形紙片，通過折疊的方式找到它的圓心.接下來“破鏡重圓”，先把學(xué)生帶入圓中，然后再逐級(jí)增加思維含量，引入時(shí)不僅要考慮學(xué)優(yōu)生，還要照顧絕大多數(shù)的中等生和學(xué)困生，讓他們有事可做.

2.從整體建構(gòu)角度架構(gòu)復(fù)習(xí)課

知識(shí)點(diǎn)并不是獨(dú)立存在的，蘇霍姆林斯基曾指出：教師要弄明白已知和未知之間的關(guān)系，因?yàn)檫@關(guān)系到學(xué)生掌握知識(shí)的質(zhì)量及在頭腦中的保持狀態(tài)，同時(shí)也會(huì)有效激發(fā)學(xué)生的興趣.教師必須讓學(xué)生從整章層面去理解圓包含的基本概念、定理和性質(zhì)，然后有的放矢地搭建知識(shí)體系，詳略得當(dāng)?shù)靥幚碇仉y點(diǎn).追求現(xiàn)實(shí)情境引入固然重要，但是復(fù)習(xí)課更應(yīng)注重的是知識(shí)的重構(gòu)與組建，是知識(shí)的融會(huì)貫通.因此在這里，教師可以先拋出圓的知識(shí)導(dǎo)圖，讓學(xué)生通過練習(xí)的方式填充相應(yīng)的文字和符號(hào)，這樣既增加了知識(shí)的系統(tǒng)性，又大大提升了復(fù)習(xí)課的效率.

3.回歸課本，追根溯源

書本中的練習(xí)都是經(jīng)過精挑細(xì)選的，很多題目具有一定的代表性，因此復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)應(yīng)該以書本上的簡(jiǎn)單練習(xí)為主，注重知識(shí)的回顧，又可以兼顧絕大部分學(xué)生.與此同時(shí)，教師可以在簡(jiǎn)單問題基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)變式，以檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

4.滲透核心素養(yǎng)

幾何教學(xué)重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力和抽象能力，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀.羅增儒教授指出：“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體”，因此教師在教學(xué)時(shí)，適當(dāng)設(shè)置有意義的小組探究活動(dòng)，有益于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成與發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.