基于思維水平促進學(xué)生空間觀念發(fā)展的數(shù)學(xué)活動設(shè)計

陳春芳

【摘? ?要】教師在設(shè)計數(shù)學(xué)活動時，不僅要充分利用學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗，還要考慮學(xué)生的思維特點。在“圖形與幾何”領(lǐng)域，基于學(xué)生的思維水平，教師可設(shè)計實物與圖形相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)活動，操作與想象相互結(jié)合的數(shù)學(xué)活動，既開放又體現(xiàn)綜合性的主題實踐活動，等等。通過數(shù)學(xué)活動促進學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何;思維水平;空間觀念

通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一。義務(wù)教育階段，學(xué)生在“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)的主要內(nèi)容是直觀幾何。教師需要通過設(shè)計一系列活動幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗，建立空間觀念。

教師在設(shè)計數(shù)學(xué)活動時不僅要充分利用學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗，還要考慮學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的思維特點。20世紀(jì)50年代，荷蘭學(xué)者范希爾夫婦把幾何思維劃分為5個水平：直觀水平、分析水平、非形式化的演繹水平、形式化的演繹水平和嚴(yán)密性水平。這一幾何思維發(fā)展理論認為，幾何學(xué)習(xí)不是一個連續(xù)的過程，而是跳躍的分階段的過程，上述5個思維水平之間存在次序性。為了幫助學(xué)生從一個水平過渡到下一個水平，數(shù)學(xué)活動扮演著極其重要的角色。在設(shè)計數(shù)學(xué)活動時教師要特別關(guān)注學(xué)生的幾何思維水平是怎樣的，學(xué)生的認知困難在哪里，在此基礎(chǔ)上設(shè)計符合學(xué)生認知規(guī)律和思維水平的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

一、設(shè)計實物與圖形相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)活動

在對“空間觀念”進行描述時，“想象”一詞非常重要。心理學(xué)把人對頭腦中已有表象進行改造，創(chuàng)造出新形象的過程稱作想象。沒有想象，很難對現(xiàn)實世界進行了解與把握，很難做到發(fā)明與創(chuàng)造，因此發(fā)展學(xué)生的空間觀念要重視對想象能力的培養(yǎng)。教學(xué)中，教師要注重在實物與圖形之間搭建橋梁，設(shè)計物與形聯(lián)系的數(shù)學(xué)活動，在想象中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

（一）在從實物到圖形的抽象活動中培養(yǎng)空間觀念

經(jīng)歷從實物中抽象出幾何圖形的過程，是學(xué)生發(fā)展空間觀念的第一步。如在教學(xué)“長方體和正方體的認識”時，教師請學(xué)生在課前收集了很多外形是長方體或正方體的物品，包括茶葉盒、香皂盒、禮品盒等，課堂上教師通過動畫演示將包裝盒的顏色、裝飾等去除，引導(dǎo)學(xué)生充分關(guān)注物品的形狀、大小，幫助學(xué)生將自己展示的物品抽象成與之對應(yīng)的立體圖形。在這一過程中，學(xué)生的思維逐漸由實物直觀過渡到圖形直觀，最終發(fā)現(xiàn)長方體圖形的本質(zhì)屬性，發(fā)展了空間觀念。

（二）在借助圖形推想實物的活動中培養(yǎng)空間觀念

學(xué)生的幾何思維在圖形直觀的基礎(chǔ)上進一步發(fā)展，將達到想象直觀水平。教學(xué)中，教師要設(shè)計能幫助學(xué)生借助想象發(fā)展空間觀念的活動。如呈現(xiàn)立體圖形的三視圖及相關(guān)的數(shù)據(jù)（如圖1），請學(xué)生借助信息想象圖形，并猜測可能是什么物體。

在猜測過程中，學(xué)生根據(jù)空間知覺得到初步判斷：長10米的物體，肯定不是家用冰箱。那么，長10米的物體可能是什么？首先，學(xué)生想到測量教室的大小，教室的長大約是8米，寬大約是6米，高大約是3米。其次，借助教室的表象，再次想象三視圖中所描述的物體的大小，發(fā)現(xiàn)其長與教室的長差不多，寬比教室的一半還小，高和教室的高度相差不大。從而想象出三視圖所描述圖形的原型，可能是公共汽車。在這個過程中，學(xué)生由開始的空間知覺，到借助教室大小形成空間表象，最后在與教室大小的比較中想象出三視圖描述的物體的大小，即形成空間觀念。這一從知覺到表象再到合理想象的遞進發(fā)展過程，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

二、設(shè)計操作與想象相互結(jié)合的數(shù)學(xué)活動

小學(xué)生形成、發(fā)展空間觀念主要依靠“視”與“觸”。在整個小學(xué)階段，觸覺、運動覺與視覺的協(xié)同活動，始終是學(xué)生獲得空間觀念的有力支撐。

（一）基于學(xué)情，在分類活動中建立對幾何概念的直觀理解

借助分類活動辨析圖形特征，是學(xué)生發(fā)展空間觀念的有效方式之一。如在教學(xué)“平行四邊形的認識”時，教師設(shè)計了讓學(xué)生將圖形進行分類的活動，引導(dǎo)學(xué)生在觀察對比的過程中感悟平行四邊形、梯形等圖形之間的關(guān)系。在分類對比活動中，學(xué)生逐步借助直觀發(fā)現(xiàn)了平行四邊形區(qū)別于其他圖形的本質(zhì)特征，加深了對平行四邊形的認識。

（二）把握核心，在開放性活動中抽象出立體圖形的本質(zhì)特征

開放性活動有助于學(xué)生更好地把握圖形的核心要素，抓住圖形的本質(zhì)特征。仍以“長方體和正方體的認識”教學(xué)為例，長方體是學(xué)生從抽象的角度認識的第一個三維圖形，學(xué)生要由對二維圖形特征的認識過渡到對三維圖形特征的認識。隨著圖形維度的增加，學(xué)生對圖形特征的探索從長、寬拓展到長、寬、高以及面，并且在頭腦中逐步建立起對立體圖形各要素之間關(guān)系的理解。

教學(xué)時，教師為每個小組提供了不同規(guī)格的學(xué)具，請學(xué)生嘗試選擇學(xué)具拼搭長方體。學(xué)生需要根據(jù)各學(xué)具袋中給出的小棒長度和數(shù)量（如表1），先想象所拼成的長方體的樣子，再動手操作拼搭長方體。

從如下課堂教學(xué)片段中可以發(fā)現(xiàn)，在拼搭的過程中，學(xué)生需要觀察學(xué)具袋中每類小棒的長短和數(shù)量，通過不斷將實物與頭腦中想象的圖形對接，逐步建立長、寬、高三個要素之間的聯(lián)系。

生：我們組選擇的是1號學(xué)具袋中的小棒。我們發(fā)現(xiàn)4厘米的小棒根數(shù)最少，有4根。8厘米長的小棒和6厘米長的小棒都比4根多。于是我們每一種長度選擇4根，作為長方體的長、寬、高，就拼成了一個長方體。

生：我們組選擇的是3號學(xué)具袋中的小棒。雖然8厘米的小棒不夠4根，不能選擇，但6厘米的小棒數(shù)量是8根，4厘米的小棒夠4根，這樣我們組拼成對面是正方形的特殊長方體。

生：我們組選擇的是4號學(xué)具袋中的學(xué)具，只能選擇12根4厘米的小棒拼成一個棱長為4厘米的正方體。正方體也是特殊的長方體。

師：有沒有哪個組選擇的是2號學(xué)具袋中的學(xué)具？

（學(xué)生搖頭）

師：為什么你們不選擇2號學(xué)具袋中的學(xué)具呢？

生：長方體的特征是長、寬、高各有4條，也就是需要3組4根的小棒。如果是特殊的，對面是正方形的長方體，則需要一組8根小棒加上一組4根小棒。更特殊的正方體需要的是12根同樣長度的小棒。而2號學(xué)具袋中的小棒數(shù)量不足，沒法拼成長方體。

在選擇學(xué)具拼搭長方體、正方體的過程中，學(xué)生對長方體、正方體“棱”的特征的認識逐步加深。通過開放性的操作活動，學(xué)生的空間觀念得到了發(fā)展。

（三）方法習(xí)得，在數(shù)形結(jié)合的畫圖中培養(yǎng)空間觀念

畫圖是“圖形與幾何”領(lǐng)域常規(guī)的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生可以通過畫圖豐富對幾何圖形的認知，促進空間觀念的發(fā)展。

如請學(xué)生解決這樣一個問題：“有一個長方體，‘左面’是長5分米、寬6分米的長方形，‘后面’是長9分米、寬5分米的長方形，請問這個長方體‘上面’的面積是多少？”學(xué)生需要借助畫圖，先將只有左和后兩個面的長方體部分圖還原成長方體原圖，再借助圖形直觀找到長方體“上面”的相關(guān)數(shù)據(jù)，進而找到問題的答案。在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生畫圖的意識與習(xí)慣，教給學(xué)生畫圖的基本方法，在圖形直觀與想象直觀間搭建平臺，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

三、設(shè)計既開放又體現(xiàn)綜合性的主題實踐活動

綜合性主題實踐活動是為了讓學(xué)生綜合利用所學(xué)知識解決問題而設(shè)計的活動。同樣在“長方體”相關(guān)教學(xué)中，教師設(shè)計了“制作收納盒”的綜合性活動，讓學(xué)生自主設(shè)計、制作收納盒。

在動手操作前，學(xué)生首先聯(lián)系生活實際，提出制作收納盒需要考慮的問題：收納盒的材質(zhì)、大小尺寸、擺放位置等。課堂上教師提出要求：各組制作的收納盒將放在班級置物架上進行展覽，每個小組可用的展示臺面大小不超過5平方分米，并為學(xué)生提供制作收納盒的學(xué)具（標(biāo)有數(shù)據(jù)的大小不同的長方形，有的能夠使用，有的不能夠使用）。學(xué)生在對這些學(xué)具進行分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際情況選擇材料，設(shè)計并制作收納盒。有的小組先選擇一塊長方形作為長方體的底面，底面決定了拼成的長方體的長和寬，在此數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上選擇合適的長方形作為前后面和左右面，拼成之后，再根據(jù)條件進行驗證，判斷是否能夠放在面積是5平方分米的置物架上。也有的小組先根據(jù)材料設(shè)計方案，將不同長方形的長和寬與長方體的長、寬、高建立對應(yīng)關(guān)系，再完成收納盒的制作。還有的小組為了能制作出更符合本組設(shè)計意愿的收納盒，選擇了先在白紙上設(shè)計出收納盒的展開圖再制作。在以上過程中，學(xué)生無論采用何種操作方式，也無論最終能否成功制作出收納盒，他們都在綜合運用數(shù)學(xué)知識，在建立二維圖形與三維圖形各要素對應(yīng)關(guān)系的過程中，加深對長方體性質(zhì)、特征的理解和把握。

兒童空間觀念的形成是一個漸進的過程，這個過程與兒童空間思維水平發(fā)展的階段性相聯(lián)系。“圖形與幾何”教學(xué)必須根據(jù)學(xué)生的認知特點和幾何思維水平設(shè)計數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在有效的活動中積累經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念。

參考文獻：

[1]吳正憲，張秋爽，李惠玲.和吳正憲老師一起讀數(shù)學(xué)新課標(biāo)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

[2]MARTIN J L.教與學(xué)的新方法·數(shù)學(xué)[M].王嶸，李慶，李亞玲，等譯.北京：北京師范大學(xué)出版社，2004.

[3]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

（北京市順義區(qū)石園小學(xué)? ?101300）